2008 入學統一考試數學二試題及答案解析一，選擇題：(8432分.每小題給出的四個選項中，只有一項設f(x)x2(x1)(x2)，則f(x)的零點個數為 】(A) (B) (C) (D)【答案】應選【詳解f(x)4x33x24xx(4x23x4)f(x0f(x有三個零點．故應 f(x)，函數在區間[0,a]上有連續導數，則定積0

xf(x)dx表示 】曲邊梯形ABCD的面積 (B)梯形ABCD的面積(C)曲邊三角形ACD面積 (D)三角形ACD面積【答案 【詳解】axf(x)dxaxdf(x)af(aaf(x 為曲邊梯形的面積，所以 的面積．故應選yCexCcos2xCsin2x（C,C,C為任意的常數）解的是 】

yy4y4y0 (B)yy4y4y0 yy4y4y0 (D)yy4y4y0【答案【詳解yCexCcos2xCsin2x， (1)(2i)(2i)(1)(2342yy4y4y0．應選f(x

ln|x

，(x0)間斷點的情況 】有一個可去間斷點，一個跳躍間斷點 有一跳躍間斷點，一個無窮間斷點(C)有兩個無窮間斷點 (D)有兩個跳躍間斷點【答案設函數f(x)在(,)內單調有界，{xn}為數列，下列命題正確的是 】若{xn}收斂，則{f(xn)}收 (B)若{xn}單調，則{f(xn)}收(C)若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂 (D)若{f(xn)}單調，則{xn}收斂【答案【詳解】若若{xn單調，則由函數f(x)在()內單調有界知，若{f(xn)}單調有因此若{f(xn)}收斂．故應選

f(u2v2f(xx則 】

1xyu,u1F(uv

dudvu2(A)vf(u2 (B)vf

vf(u2u

vfu【答案【詳解】利用極坐標2f(u2v2 uf(r2 2DF(u,v)D

u2v2dudv0dv rdrv1f(r Fvf(u2．故應選設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣．若A30，則下列結論正確的是 】EA不可逆，則EA不可逆 (B)EA不可逆，則EA可逆(C)EA可逆，則EA可逆 (D)EA可逆，則EA不可逆【答案】應選【詳解】(EA)(EAA2EA3E(EA)(EAA2EA3EEAEA均可逆．故應選 2 設A ，則在實數域上，與A合同矩陣為 1 1 2

2 (B)

(C)

(D) 1 【答案【詳解EA

(1)24223(1)(3)2則1,3，記D ， 1 ED

(1)24223(1)(3).1cos[xf(已知函數f(x)連續，且 1，則f(0)x0(ex1)f(微分方程(yx2ex)dxxdy0的通解 【答案yx(Cex曲線sin(xy)ln(yx)x在點(0,1)的切線方程 【答案yx【詳解2曲線y(x5)x3的拐點坐標 【答案(1,6)【詳解y設z ，x

【答案

2(ln21)2設3階矩陣A的特征值為2,3,．若行列式|2A|48，則 【答案】應填sinxsin(sinx)sin求極限 sinxsin(sinx)sin 【詳解1

limsinxsin(sin ＝limcosxcos(sinx)cosxlim1cos(sin

1(sin

1sin2xo(sin2limsin(sinxcosxlim

，或lim 16

2limsinxsin(sinx)sinxlimsinxsin(sinx)sin sin＝limtsintlim1cos

tlim

（limsintt t t 3t t03t t016設函數y

y(x由參數方程xx(t

xx(t)是初值問題dx2tex

的解

d2ydx2．1dx2tex0exdx2tdt，積分得ext2Cx由條xt

0，得C1，即ext21 xln(1t2)xln(1t2方程組 兩端同時對t求導

． 2tln(1t2 dt(1t2)ln(1t2)

d(1t2)ln(1t2d2從

d(1t2)ln(1t2) dt 2tln(1t2) (1t2)[ln(1t2)1]1t17（9分）

1x2arcsin

dx0

，故1x2arcsinx2x2arcsin 1x2

dx是反常積分令arcsinxt，有xsint，t )21x2arcsinxdx

2tsin2tdt

2(

cos2t 1 1 2tdsin2t 2sin4 4 1cos

．22． 【2】1x2arcsinxdx11x2d(arcsin 21x2(arcsinx)221x(arcsinx)2

1x(arcsinx)2 令arcsinxt，有xsint，t )221x(arcsinx)2dx1t2sin2 24

2(t2cos 0

2tcos0 1x2arcsin 1所以 dx161D【詳解】將區域D分成如圖所示得兩個子區域D1,D2D3．于 D xydxdy1dxdy1dxdy1dx1xydy2dxdy1dxx D

15ln212ln219ln2 f(x)[0,上具有連續導數的單調增加函數，且f(0)1t[0，直x0xtyf(x)x軸所圍成的曲邊梯形x軸旋轉一生成一旋轉體，若該旋轉體的側面面積在數值上等于其體積的2倍，求函數f(x)的表達式【詳解】根據題意 旋轉體體積Vtf2(x)dxS2tf(x)1f2(x)dx 所 2tf2(x)dx2tf(x)1f2(x) 上式兩邊同時對tf2(t)f(t y2解 ln(y y21)tC，y y21y(0)1，得C1y2所 y et或yfy2

1(etet)2b3證明積分中值定理：若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則至少存在一點[a,b]，af(x)dxf()(ba；b3一點(13)，使得()0．【證法1】若函數f(x)在閉區間[ab上連續，則必存在最大值M和最小值m．mf(x)M，x即

m(ba)af(x)dxM(ba)bm bf(x)dxMbaab根據閉區間上連續函數的介值定理，在[a,b]上至少存在一點[a,b]，使因此而的證

f() 1bf(x)dxbaa3（II）存在[23，使2x)dx33．3由(2)(1)，利用微分中值定理，存在1(12)，使 2由(2(，利用微分中值定理，存在2(2,)，使 存在存在(1,2(13，使（21）(本題滿分11分求函數ux2y2z2zx2y2xyz4【詳解1】作日函F(x,y,z)x2y2z2(x2y2z)(xyz4)令F2x2xxFxF

2y2y2zx2y2zxyz4【2】由題意知，ux4y42x2y2x2y2xyx2y24F4x34xy22x(12x)Fx4y34x2y2y(12yFxy4x2y2F2x2xxFxF

2y2y2zx2y2zxyz4

x

b x bA ，x2，b2 ? ? 1 x b n n 證明行列式|A|(n1)ana為何值時，該方程組有惟一解，并求x1當a為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解

12an2D2

13a2假設結論對小于n的情況成立．將Dn按第一行展開Dn2aDn1

1

aa2anan1a2(n1)an(n A(n1)an【注】本題（1）也可用遞推法． D a 得 n nD an2(Dan2DanD(n n n n 【證法2】消元法．記|A

12ar1r1 3 2 12a

320

14 3

12arnrn1 3 2 n0

1n1 (n1)an【詳解】當a0時，方程組系數行列式Dn0，故方程組有惟一解．由法則，將Dn得第一列換成b，得行列式為

2 a

1所以xDn11

2a

n (n x1 1 x 2 0 ?? 1xn1 0x n 此時方程組系數矩陣得秩和增廣矩陣得秩均為n1，所以