1量子力學光電子學科與工程學院王可嘉第九講力學量完全集與守恒量中心力場的徑向方程2目錄一、態疊加原理與力學量完全集二、守恒量與力學量完全集三、守恒量與能級簡并四、中心力場的徑向方程3一、態疊加原理與力學量完全集（1）1、態疊加原理的回顧設算符的本征函數和本征值為和，描述體系狀態的任一波函數可表示為:其中體系處在的概率是，且2、波函數的展開(1)、一維諧振子能量本征值:本征函數:構成一組正交歸一完備函數集4一、態疊加原理與力學量完全集（2）任一波函數可表示為:利用一維諧振子本征態：離散本征值情況展開(2)、動量本征態（連續本征值情況展開）動量本征函數:，本征值：按傅立葉定理，任何平方可積函數均可展開為：其中，展開系數為：從態疊加原理出發：是描述體系狀態的一個波函數5一、態疊加原理與力學量完全集（3）(3)、一般情況（非簡并情況）設任意力學量算符，其本征函數和本征值為和。若對任意都不簡并，則可以構成一組正交歸一完備的態矢量。因此系統的任意狀態均可展開為：其中體系處在的概率是，且一個問題：若對任意是簡并的，情況如何？6一、態疊加原理與力學量完全集（4）(4)、簡并情況下的波函數展開例：一維自由粒子，哈密頓算符為：本征態為：，本征值：任意本征值和為二重簡并。對任意波函數，一般情況：原因為：因為屬于同一個本征值的本征態之間的正交性得不到保證，即：7一、態疊加原理與力學量完全集（5）注意一維自由粒子的本征態為哈密頓算符的本征態，對于來說，雖然對于但是，可以尋找另外的算符，若，則有可能用的本征值對的共同本征函數進行分類，從而使同一個對應的簡并態之間的正交性得到保證。問題是：1、能找到這樣的嗎？2、如何進行分類？8一、態疊加原理與力學量完全集（6）(5)、例：一維自由粒子設為宇稱算符，不難證明，因此和擁有兩個共同本征函數：和不簡并設的本征值和，可將它們劃分為：

偶宇稱：

奇宇稱：因為和是正交歸一完備的，有：或9一、態疊加原理與力學量完全集（7）3、力學量完全集設有一組彼此對易的厄米算符，它們擁有共同本征函數，若構成正交歸一完備集，使得任給體系的一個量子態，總有，則稱構成體系的一組力學量完全集。例：和的共同本征態：一組量子數的籠統記號10一、態疊加原理與力學量完全集（8）3、哈密頓算符與力學量完全集尋找力學量完全集是個重要課題，可以證明：(1)若體系的本征值不簡并，其對應的本征函數就能構成正交歸一完備集，此時自身就構成體系的力學量完全集，如一維諧振子。(2)若體系的本征值簡并，總可以找到其它的力學量，其算符與對易，而構成體系的力學量完全集。體系任一量子態，都可以用它們的共同本征函數來展開：如一維自由粒子，構成體系的力學量完全集。11二、守恒量與力學量完全集（1）1、力學量平均值的時間依賴特性（1）設體系處于量子態下，算符在下的平均值為：含時薛定諤方程：12二、守恒量與力學量完全集（2）1、力學量平均值的時間依賴特性（2）13二、守恒量與力學量完全集（3）2、守恒量與力學量完全集若有若有在任何態下的平均值都不隨時間改變，稱此時對應的力學量為體系的一個守恒量。即：和，為守恒量。因此，若能夠成力學量完全集，則可稱為守恒量完全集。14三、守恒量與能級簡并（1）能級是否簡并，決定了能否單獨構成力學量完全集。

【定理】：設體系有兩個彼此不對易的守恒量和即，但則體系能級是簡并的。

【證】：和有共同本征函數即：又即：，也是的對應本征值的本征態所以一個對應和兩個態，因此可能是能級簡并的。15三、守恒量與能級簡并（2）一個問題：和會不會是同一個態？答案是否定的

【證】：不是的本征態，但即是的本征態。所以和不會是同一個態。因此是能級簡并的。即16+r氫原子中，電子的勢能函數：堿金屬原子中，電子的勢能函數：它們都是球對稱的，稱之為中心力場。四、中心力場的徑向方程(1)17四、中心力場的徑向方程(2)設質量為的粒子在中心勢場

中運動，則哈密頓量：考慮到中心勢場

是球對稱的，采用球坐標能量本征方程寫為：

任務：如何確定本征態和本征值18四、中心力場的徑向方程(3)能量本征方程寫為：設為角動量算符，可證明：所以能級是簡并的即：對自身的本征函數來說，屬于同一能級的簡并態之間的正交性得不到保證，換句話說：自身不能構成力學量完全集，根據前面的結果，關鍵任務是：尋找力學量完全集，找到其共同本征函數即：19四、中心力場的徑向方程(4)中心任務：尋找力學量完全集，找到其共同本征函數解釋：盡管對可能是簡并的，但可以用對進行分類，從而使得屬于同一能級的簡并態的正交性問題得到保證。

任務第一步：如何尋找因為，所以可以組成完全集根據分離變量法：，注意到：球坐標下，和只對和起作用，且和擁有共同本征函數：球諧函數，即：20四、中心力場的徑向方程(5)即：也就是：是的共同本征函數：21四、中心力場的徑向方程(6)將代入能量本征方程：得到關于的徑向方程：令：有：稱為徑向波函數，取決于的形式。22四、中心力場的徑向方程(7)是能量