本文格式為Word版，下載可任意編輯——電磁場數學方法作業題數學物理方法作業題數學物理方程習題

第一章分開變量法

1、求解定解問題：

utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（P-223）?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、長為l的弦，兩端固定，弦中張力為T，在距一端為x0的一點以力F0把弦拉開，然后撤出這力，求解弦的震動。[提醒：定解問題為

utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?F0l?x0x,(0?x?x0),??Tlu(x,0)???F0x0(l?x),(x?x?l),0??Tlut|t?0?0.](P-227)

3、求解細桿導熱問題，桿長l，兩端保持為零度，初始溫度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。[定解問題為

k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tC???](P-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解問題

??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0.??3?x?u?u?Asin,?0.?t?0l?tt?0?

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4、長為l的均勻桿，兩端受壓從而長度縮為l(1?2?)，放手后自由振動，求解桿的這一振動。[提醒：定解問題為

?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](P-236)?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、長為l的桿，一端固定，另一端受力F0而伸長，求解桿在放手后的振動。[提醒：定解問題為

?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??](P-238)x?uxF?0?u(x,0)??0dx??0dx,?xYS?ut|t?0?0.??6、長為l的桿，上端固定在電梯天花板，桿身豎直，下端自由、電梯下降，當速度為v0時突然中止，求解桿的振動。[提醒：定解問題為

?vtt?a2x?0,(0?x?l),??v(0,t)?0,(l,t)|x?l?0,](P-242)?v(x,0)?v0,??vt(x,0)|t?0?0.?7、求解細桿導熱問題，桿長l，初始溫度均勻為u0，兩端分別保持溫度為u1和u2。[提醒：定解問題為

?ut?a2uxx?0,??u|x?0?u1,u|x?l?u2,](P-251)?u|t?0?u0.?8、在矩形區域0?x?a,0?y?b上求解拉氏方程?u?0，使滿足邊界條件

u|x?0?Ay(b?y),u|x?a?0.u|y?0?Bsin?xa,u|y?b?0.(P-265)

9、均勻的薄板占據區域0?x?a,0?y??，邊界上溫度u|x?0?0,u|x?a?0,u|y?0?u0，

limu?0。[提醒：泛定方程為：uxx?uyy?0.](P-269)

y??10、矩形膜，邊長l1和l2，邊緣固定，求它的本征振動模式。[提醒：定解問題為

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utt?a2(uxx?uyy)?0,(0?x?l1,0?y?l2),u|x?0?0,u|x?l1?0,u|y?0?0,u|x?l2?0.11、細圓環，半徑為R，初始溫度分布已知為f(?)，?是以環心為極點的極角，環的表面是絕熱的。求解環內溫度變化狀況。[提醒：其定解問題為

](P-271)

?ut?a2u???0,0???2?,?ut?f(?),](P-274)??u(??2?)?u(?).?12、在圓形域內求解?u?0使滿足邊界條件

(1)u|??a?Acos?,(2)u|??a?A?Bsin?。[提醒：泛定方程為u???1u???0???a?u?0,??.](P-275)2????0???2??1?13、半圓形薄板，板面絕熱，邊界直徑上溫度保持零度，圓周上保持u0，求穩定狀態下的板上溫度分布。[提醒：定解問題為

11?u?u???????2u???0,(0???R,0????),??u|??0?0,](P-276)??u|????0,(0???R),?u|??R?u0,0????).??14、在以原點為心，以R1和R2為半徑的兩個同心圓所圍城的環域上求解?u?0，使滿足邊界條件u|??R1?f1(?),u|??R2?f1(?)。[提醒：泛定方程為

2u???1?u???R1???R2?u?0,??.](P-282)2??0???2????115、兩端固定的弦在線密度為?f(x,t)???(x)sin?t的橫向力作用下振動，求解其振動狀況，研究共振的可能性，并求共振時的解。[提醒：定解問題為

?utt?a2uxx??(x)sin?t,??u|x?0?0,u|x?l?0,](P-292)?u|?0,u|?0.t?0tt?0?16、兩端固定弦在點x0受諧變力?f(x,t)??f0sin?t作用而振動，求解振動狀況。[提醒：外加力的線密度課表為?f(x,t)??f0sin?t?(x?x0)，所以定解問題為

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?utt?a2uxx?f0sin?t?(x?x0),?u|x?0?0,u|x?l?0,](P-297)??u|t?0?0,ut|t?0?0.?bb217、在矩形域0?x?a,??y?上求解?u??2且u在邊界上的值為零。(P-303)

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其次章球函數

??1、在本來是勻強的靜電場E0中放置導體球，球的半徑為a，試研究導體球怎樣改變了勻強

靜電場。[提醒：定解問題為

?2u?0,（1）

?u|r????E0z??E0rcos?,(設導體放入前，u|r?0=0),（2）和（3）](P-369)?u|r?a?C.?2、在點電荷4??0q的電場中放置導體球，球的半徑為a，球心與點電荷相距d(d?a)，求解這個靜電場。[提醒：定解問題為

??2v?0,?q??u??v,](P-370)D??v|?0,?r?a??v|r???0.3、求解

??2u?0,(r?a),(P-372)?2u|?cos?.?r?04、在球坐標系中利用分開變量法求以下定解問題。

??2u?0(0?r?a)??1??2?ur?a?4sin??cos?sin???（08~09）

2????u有限?r?0

5、用一層不導電的物質把半徑為a的導體球殼分隔為兩個半球殼，使半球各充電到電勢為v1和v2，試解電場中的電勢分布。[提醒：定解問題為

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??????2ui?0,(r?a),?ui|r?0有限，(自然邊界條件)(P-373)?????v,(0???)或(0?x?1),1??2?u|?.?ir?a???v,(????)或(?1?x?0)?2??2?6、半球的球面保持一定溫度u0，半球底面（1）保持0C，（2）絕熱，試求這個半球里的穩定溫度分布。[提醒：定解問題為

??2?u?0,(r?a),???u|r?0有限，u|r?a?u0,](P-375)?u|??0.????2第三章柱函數

1、半徑為R的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是旋轉拋物面u|t?0?(1??2/R2)H，初速為零，求解膜的振動狀況。[提醒：定解問題為

1?2u?a(u?u)?0,???tt?????u|??0有限，u|??R?0,](P-399)?2??u|t?0?H(1?2),ut|t?0?0.?R?12、利用遞推公式證明J2(x)?J0??(x)?J0?(x)并計算?x4J1(x)dx

x3、半徑為R的圓形膜，在?0,?0受到沖量K作用，求解其后的振動。[提醒：定解問題為

utt?a2?2u?0,（1）

（膜邊緣固定），??u|??R?0,（2）?u|有限，???0?（初位移為零），?u|t?0?0,?（3）](P-401)k?u|=?(?-?)??(?-?)。00?tt?0p??04、半徑為R的圓形膜，邊緣固定，求其本征頻率和本征振動。[提醒：定解問題為

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?utt?a2?2u?0,(0????,0???R),?u|??0有限，u|??R?0,](P-403)??u|??0?u|????0.?5、半徑為R而高為H的圓柱體下底和側面保持零度，上底溫度分布為f(?)??2，求柱體內各點的穩恒溫度。[提醒：定解問題為

??2u?0,?2?u|Z?0?0,u|Z?H??,](P-404)?u|有限，u|?0.??R???06、圓柱體半徑為R，高為H，上底有均勻分布的強度為q0的熱流流入，下底有同樣熱流流出，柱側保持為0C，求柱內的穩恒溫度。[提醒：定解問題為

?????u|???zZ?0???u|???zZ?H???2u?0,q(熱流方向與z軸反向)，R](P-409)

q0(熱流方向與z軸同向)，Ru|??R?0.7、確定球形鈾塊的臨界半徑。[提醒：鈾塊厚度超過臨界厚度，則中子濃度獎隨著時間而增長以致鈾塊爆炸，其定解問題為

?ut?a2?2u??u,](P-422)?u|?0.?r?R8、均質球，半徑為r0，初始溫度分布為f(r)，把球面溫度保持為零度而使它冷卻，求解球內各處溫度變化狀況。[提醒：定解問題為

?ut?a2?2u?0,??u|r?r0?0,](P-424)??u|t?0?f(r).9、半徑為r0的球面徑向速度分布為???0中輻射出去的聲場中的速度勢，設r0?由因子

1(3cos2??1)?cos?t，試求解這個球在空氣4?(波長)。此題徑向速度對空間中的方向的依靠性

1(3cos2??1)即P2(cos?)描寫，因而是軸對稱四級聲源。[提醒：三