工程力學下冊超靜定系統第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四●

12.1概述

靜不定結構也稱為超靜定結構，和相應的靜定結構相比，具有強度高、剛度大的優點，因此工程實際中的結構大多是靜不定結構。本章主要介紹靜不定結構的定義、靜不定次數的判斷以及靜不定結構的求解方法，重點介紹用力法求解靜不定結構。首先對超靜定結構作全面的討論。

第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四1.平面桿系由直桿以鉸結點相連接組成桿系，若載荷只作用于結點上，則每一桿件只承受拉伸或壓縮，這種桿系稱為桁架[見圖14.1(a)]。圖14.1第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四若直桿以剛結點相連接組成桿系在載荷作用下，各桿可以承受拉、壓、彎曲和扭轉，這樣的桿系稱為剛架[見圖14.1(b)]。至于如圖14.1(d)所示桿系是連續跨過若干支座的梁通常稱為連續梁。圖14.1桿系各桿的軸線在同一平面內，且它就是各桿的形心主慣性平面；同時，外力也都作用于這一平面內。這種桿系稱為平面桿系。后面的討論以平面桿系為主。2.外超靜定和內超靜定以往討論的超靜定結構，多數是支座反力不能全由平衡方程求出的情況，這種超靜定結構稱為外靜不定，如圖14.1(b)和圖14.1(d)所示就是這種超靜定結構。至于如圖14.1(a)和圖14.1(c)所示結構雖支座反力可由靜力平衡方程確定，但桿件的內力卻不能全部由平衡方程求出，仍然是超靜定結構，這種超靜定結構稱為外靜不定。與此相反，靜定結構的支座反力和內力由平衡方程，并利用截面法，便可全部確定。第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四3．超靜定結構的多余約束圖14.2如圖14.2(a)和圖14.2(b)所示靜定梁各有三個反力，使梁只可能有變形引起的位移，在xy平面內任何剛性位移或轉動都是不可能的。這樣的結構稱為幾何不變或運動學不變的結構。上述三個反力所代表的約束都是保持結構幾何不變所必需的。例如解除簡支梁的右端鉸支座；或解除懸臂梁固定端對轉動的約束使之變為鉸支座，這兩種情況都將使梁變成如圖14.2(c)所示機構，它可繞左端鉸鏈A轉動，是幾何可變的。第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四與靜定結構不同，超靜定結構的一些支座往往并不是維持幾何不變所必需的。例如解除如圖14.1(b)所示剛架的支座B，它仍然是幾何不變的結構。因此把這類約束稱為多余約束。與多余約束對應的約束力就稱為多余約束力。結構的支座或支座反力是結構的外部約束?，F在從靜定與超靜定結構的比較來討論內部約束。如圖14.3(a)所示是一個靜定剛架，切口兩側的A、B兩截面可以有相對的位移和轉動。如用鉸鏈將A、B連接[見圖14.3(b)]，這就限制了A、B兩截面沿垂直和水平兩個方向的相對位移，構成結構的內部約束，相當于增加了兩對內部約束力，如圖14.3(c)所示。推廣開來，如把剛架上面的兩根桿件改成連為一體的一根桿件[見圖14.3(d)]，這就約束了A、B兩截面的相對轉動和位移，等于增加了三對內部約束力[見圖14.3(e)]。第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四圖14.3第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四4．基本靜定結構另一方面在解題時需將超靜定系統變化為靜定系統。解除超靜定結構的某些約束后，可以把它變為靜定結構。如解除如圖14.4(a)所示超靜定結構的支座C，并將截面D切開，便成為如圖14.4(b)所示靜定結構。解除支座C相當于解除了一個外部約束，切開截面D又等于解除了三個內部約束?？梢娤喈斢诮獬怂膫€約束。或者說，與相應的靜定結構相比，如圖11.4(a)所示超靜定結構多出四個約束，稱為四次超靜定結構。又如在圖14.l(a)中，把桁架的任一根桿件切開，就成為靜定結構。桁架各桿只承受拉伸或壓縮，切開一根桿件只相當于解除一個內部約束，所以它是一次超靜定結構。第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四圖14.4解除超靜定結構的某些約束后得到的靜定結構，稱為原超定結構的基本靜定系或靜定基。圖14.4(b)所示的靜定結構就是圖14.4(a)所示超靜定結構的基本靜定系?；眷o定系可以有不同的選擇，不是唯一的。第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四圖14.5(a)所示剛架有兩個多余約束，是二次超靜定梁?？梢越獬潭ㄣq支座得到由圖14.5(b)所示的基本靜定系。也可將剛架的固定端除去，并裝上移動鉸鏈就得到如圖14.5(c)所示的基本靜定系。在基本靜定系上，除原有載荷外，還應該用相應的多余約束力代替被解除的多余約束，這就得到圖14.5(b)或圖14.5(c)所示的基本靜定系。有時把載荷和多余約束力作用下的基本靜定系稱為相當系統。圖14.5第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四基本靜定系統基選取可遵循的原則：(1)基本靜定系統基必須能維持靜力平衡，且為幾何不變系統。(2)基本靜定系統要便于計算，即要有利于建立變形協調條件。一般來說，求解變形時，懸臂梁最為簡單，其次是簡支梁，最后為外伸梁。第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四5．超靜定次數的確定(1)根據結構約束性質可確定內、外約束力總數。內、外約束力總數與獨立靜力平衡方程總數之差即為超靜定結構的超靜定次數。(2)外超靜定次數的判斷：根據結構與受力性質，確定其是空間或是平面承載結構，即可確定全部約束的個數。根據作用力的類型，可確定獨立平衡方程數，二者之差為超靜定次數。如圖14.7(b)所示，外載荷為平面力系，則為三次外超靜定系，而圖14.7(c)為空間力系，則為六次外超靜定。(3)內超靜定次數的確定。桁架：直桿用鉸鏈相連接，載荷只作用于結點，桿只受拉壓力的桿系，其基本幾何不變系由三桿組成[見圖14.6(a)]。而圖14.6(b)仍由基本不變系擴展而成，仍是靜定系，而圖14.6(c)由于在基本系中增加了一約束桿，因而為一次超靜定。第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四圖14.6圖14.7第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四剛架：桿以剛結點相連接，各桿可以承受拉、壓、彎曲和扭轉，這樣的桿系為平面剛架(圖14.7)。對于閉口框架，則需用截面法切開一個切口使其變為靜定結構(幾何不變可承載結構)，其截面上作為平面受力結構[見圖14.7(b)]，出現三個內力(軸向力,彎矩，剪切力)，為三次超靜定，而對于空間受力結構[見圖14.7(c)]則為六次超靜定。對于大型結構，若為平面問題，則每增加一個閉合框架，結構超靜定次數便增加三次，而一個平面受力閉合圓環與之類似，也是三次超靜定。(4)混合超靜定次數的確定。先判斷外超靜定次數，后判斷內超靜定次數，二者之和為結構超靜定次數。圖14.8第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四●

12.2用力法求解靜不定結構

求解靜不定結構的方法一般有兩種方法：力法和位移法。

力法：以多余約束力為基本未知量，將變形或位移表示為未知力的函數，通過變形協調條件作為補充方程來求解未知約束力，這種方法稱為力法，又叫柔度法。

位移法：以結點位移作為基本未知量，將力通過結構關系表示成位移的函數。通過結點平衡條件，解出未知量，這種方法稱為位移法，又叫剛度法。本文使用力法，不涉及位移法。第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.1】如圖14.9(a)所示是車削工件安有尾頂針的簡化模型。這是一次靜不定，解除B端約束成懸臂梁(靜定基，亦可解除左端轉動約束，簡化為簡支梁)，B端加上多余約束支座反力為及外載荷F成相當系統[見圖14.9(b)]?，F求解相當系統中的未知多余約束反力。圖14.9第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四解：在，作用下，懸臂梁的B端位移為其中，是由于C處作用有外載引起的B點在方向的位移[見圖14.9(c)]，而是支反力引起的B點在方向的位移[見圖14.9(d)]。因原系統B端是鉸支座，在方向上不應有位移，與原系統比較知相當系統的B點的位移應為零，故(14-1)這就是變形幾何方程或協調方程，為了得到一個補充方程(補充獨立平衡方程不足)，在計算時，可在靜定基上沿方向作用單位力[見圖14.9(e)]，B點沿方向單位力引起的位移為，對線彈性結構應有第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四代入式(14-1)有(14-2)表達式(14-2)就稱為正則方程，其中，與可用莫爾積分或其他方法求得。,代入協調方程式(14-2)可解得求得后，則可解出相當系統所有內力、位移。此相當系統的解即原系統的解。第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四現在來總結一下解題步驟：(1)分析超靜定結構，畫出基本靜定系圖，如圖14.9(b)所示。(2)在靜定基上分別畫出已知力受力圖，如圖14.9(c)所示；與未知力方向對應的單位力圖，如圖14.9(e)所示。(3)計算、。(4)求解得未知的約束反力。第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.2】剛架尺寸及受力如圖14.10(a)所示，若F、EI均為已知，試畫剛架彎矩圖。圖14.1第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四解：(1)基本靜定系如圖14.10(b)所示。(2)正則方程：(3)計算和

BC段：

AC段：第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四(4)畫彎矩圖。畫彎矩圖如下所示。第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.3】桁架尺寸、受力如圖14.11(a)所示，若F、EA均為已知，試求各桿的內力。圖14.11第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四解：(1)基本靜定系如圖14.11(b)所示。(2)正則方程：。(3)計算和。第24頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.4】梁抗彎度EI，桿拉壓剛度EA為已知，，計算截面C的撓度。圖14.12第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四解：這里為了說明方便，將圖14.12中桿件編號為①②③，AB為梁。(1)基本靜定系如圖14.12(b)所示。(2)正則方程：。(3)計算和。因為所以第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四(4)計算截面C的撓度。在靜定基上C點加一單位力，則

由于桿1已斷開

；第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四若不斷開桿1；梁中點受力直接用簡支梁的公式第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四可將上述思想推廣到n次靜不定系統，如解除n個多余約束后的未知多余約束力為，它們將引起作用點的相應的位移為，而原系統由于與外載荷共同作用對此位移限制為零(或已知)，故有(14-3)根據位移互等定理有(14-4)稱為柔度因數，是引起的作用點方向上的位移；是外載荷引起的處的相應位移。式(14-3)稱為靜不定力法正則方程，它們是對應于n個多余未知力的變形協調條件，是求解靜不定問題的補充方程。第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四下面以圖14.13為例說明各因數的物理意義。圖14.13第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.5】如圖14.14(a)所示為一靜不定剛架，設剛架相同，求支座反力。圖14.14第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四解：如圖14.14(a)所示為三次靜不定結構，解除B端約束，代之以多余約束反力，，，圖14.14(b)為相當系統，按式(12-3)，、均可用莫爾定理計算，即有第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四將以上值代入式(14-3)，整理后得解此聯立方程，求出其中，負號表示與所設方向相反，應向下。求出多余約束力，即求出了支座B的支座反力，進一步即可作出內力圖。第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四●

14.3對稱及對稱性質的利用利用結構上載荷的對稱或反對稱性可使正則方程得到一些簡化。結構幾何尺寸、形狀、構件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結構為對稱結構[見圖14.15(a)]。當在對稱結構上受力也對稱于結構對稱軸，則此結構將產生對稱變形[見圖14.15(b)]。如外力反對稱于結構對稱軸，則結構將產生反對稱變形[見圖14.15(c)]。與此相似，桿件的內力也可分成對稱和反對稱的。例如平面結構的桿件的橫截面上一般有剪切力、彎矩和軸向力即三個內力(見圖14.16)。對所考察的截面來說彎矩M和軸向力是對稱的內力，剪切力則是反對稱的內力。第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四圖14.16圖14.15正確利用對稱、反對稱性質，則可推知某些未知量，可大大簡化計算過程。如對稱變形對稱截面上[見圖14.15(b)]，反對稱內力等于零或已知；反對稱變形[見圖14.15(c)]反對稱截面上，對稱內力M為零或已知。第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四●14.3.1對稱問題以圖14.17(a)對稱變形為例，切開結構對稱截面，此為三次超靜定，應有三個多余未知力，即軸向力，剪切力與彎矩，則可證明其反對稱內力應為零，正則方程為①②③圖14.17第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四用積分法計算及時，所要用的載荷彎矩圖以及=1，=1，=1時的彎矩圖分別見圖14.17(b)、(c)、(d)、(e)，其中，，均對稱于對稱軸，而反對稱于對稱軸。由莫爾積分知，對稱函數與反對稱函數相乘在區間積分應為零，即有將此結果代入①、②、③，此時圖14.17的正則方程為(14-5a)(14-5b)(14-5c)從式(14-5b)可知，=0，在對稱的結構上受對稱的載荷作用時，在對稱截面上，反對稱的內力等于零。以后在解題時可作為已知條件用。這就是說利用對稱性可減少求解方程的個數，這是講解本節的目的。第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四●14.3.2反對稱問題以圖14.18(c)為例，在對稱面切開后，其多余未知力也是，與，同上類似證明，其對稱內力與應等于零，只需一個協調方程，即可解出，即有圖14.18第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四將此結果代入式①、②、③，此時圖14.18的正則方程為由式(14-6b)得，由式(14-6a)、式(14-6c)得。在對稱的結構上受反對稱的載荷作用時，在對稱截面上，對稱的內力等于零。同理以后在解題時可作為已知條件用。(14-6a)(14-6b)(14-6c)第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四●14.3.3既非對稱也非反對稱問題

對于某些載荷既非對稱，也非反對稱，可將它們化為對稱和反對稱兩種情況的疊加，如圖14.19所示。載荷作用在對稱軸上的情形如下。

圖14.19第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.6】如圖14.20(a)所示，AB為剛性桿受力F，求各桿的內力。圖14.20解：首先將圖14.20(a)簡化到圖14.20(b)，這樣就可將問題簡化成對稱和反對稱問題。單獨有力F作用時為對稱問題，單獨有力偶M作用時為反對稱問題。對稱問題：反對稱問題：

第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.7】已知抗彎剛度為EI，半徑為R的圓環，直徑CD方向受一對力F[見圖14.21(a)],求圓環內彎矩M。圖14.21第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四解：(1)超靜定次數：封閉圓環為三次超靜定。在C處截開，則有三個多余未知力：彎矩，軸向力，剪切力。(2)對稱性：直徑CD為一對稱軸，對稱截面C上剪切力為零，對稱截面D上彎矩和軸力與截面C上相等。由豎直方向力的平衡可得。故只有彎矩未知[見圖14.21(c)]。(3)根據對稱性，選1/4半圓環為靜定基，作用于1/4圓環的力如圖14.21(c)所示，則協調條件應是D截面在F及彎矩作用下轉角應為零(由對稱性可知)，所以有④(4),的計算。靜定基上施加外力F如圖14.21(d)所示，單位力偶如圖14.21(e)所示，用莫爾定理求與。由單位力偶引起的彎矩

由外力引起彎矩的第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四故有

(5)求未知力。由式④得(6)圓環內彎矩M為第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四●

12.4連續梁及三彎矩方程

為減小跨度很大直梁的彎曲變形和應力，常在其中間安置若干中間支座[見圖14.22(a)]，在建筑、橋梁以及機械中常見的這類結構稱為連續梁。撤去中間支座，該梁是兩端鉸支的靜定梁，因此中間支座就是其多余約束，有多少個中間支座，就有多少個多余約束。中間支座數就是連續梁的超靜定次數。圖14.22第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四對連續梁采用下述記號：從左到右把支座依次編號為0，1，2，…[見圖14.22(a)]，把跨度依次編號為，，，…。設所有支座在同一水平線上，并無不同沉陷。且設只有支座0為固定鉸支座，其余皆為可動鉸支座。這樣，如梁只有兩端鉸支座，它將是兩端簡支的靜定梁。于是增加一個中間支座就增加了1個多余約束．靜不定的次數就等于中間支座的數目。連續梁是超靜定結構，靜定基可有多種選擇，如果選撤去中間支座為靜定基，則因每個支座反力將對靜定梁的每個中間支座位置上的位移有影響，因此正則方程中每個方程都將包含多余約束反力，使計算非常繁瑣。第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四圖14.23第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四如果設想將每個中間支座上的梁切開[見圖14.23(a)]，并裝上鉸鏈，將連續梁變成若干個簡支梁，每個簡支梁都是一個靜定基，這相當于把每個支座上梁的內約束解除，即將其內力彎矩，，…，，，作為多余約束力[見圖14.23(b)]，則每個支座上方的鉸鏈兩側截面上需加上大小相等、方向相反的一對力偶矩，與其相應的位移是兩側截面的相對轉角。于是多余約束處的變形協調條件是梁中間支座處兩側截面的相對轉角為零。如對中間任一支座i來說[見圖14.23(a)]，其變形協調條件為(14-7)方程式(14-7)中只涉及三個未知量，，。，，及可用莫爾積分來求。第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四(1)求。靜定基上只作用外載荷時[見圖14.23(b)]，跨度上彎矩圖為，跨度上彎矩圖為[見圖14.23(c)]。當時，跨度和內彎矩分別為,由莫爾積分得式中，是外載單獨作用下，跨度內彎矩圖的微面積[見圖14.23(c)]，而是彎矩圖面積對左側的靜矩，如以表示跨度內彎矩圖面積的形心到左端的距離，則。同理，表示外載荷單獨作用下，跨度內彎矩圖面積的形心到右端的距離，則。第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四于是有式中，第一項可看作是跨度右端按逆時針方向的轉角，第二項看作跨度按順時針方向的轉角。兩項和就是鉸鏈i兩側截面在外載荷單獨作用下的相對轉角。(2)，，的計算。當n支座鉸鏈處作用有時，用莫爾積分有而，也可類似求得第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四(3)三彎矩方程。將，，，代入式(14-7)得三彎矩方程(14-8)式中，i代表任一支座，如i=1，2，…，n，則可得到n個聯立方程，解個中間支座多余力，，…，，此n個聯立方程中每個方程只涉及三個多余力，求解比較方便。第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四【例14.8】如圖14.24所示左端z為固定端，右端為自由端的連續梁受力作用，其抗彎剛度為，試用三彎矩方程求解B、C、D處的彎矩。圖14.24第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四解：為能應用三彎矩方程，將固定端視為跨度為無限小()的簡支梁AB，而外伸端的載荷可向支座D簡化，得一力F與彎矩，原結構[見圖14.24(a)]變化為圖14.24(b)。將A、B、C、D四處支座處分別用0、1、2、3表示，則對1、2兩支座應用三彎矩方程式(14.8)，并將，，，代入得

得,,第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四

14-1什么叫多余約束？選定多余約束的原則是什么？如何確定超靜定結構的超靜定次數？14-2什么叫基本結構？它所要求滿足的唯一條件是什么？14-3什么叫相當系統？在什么條件下，相當系統同原超靜定系統完全等價？相當系統的主要性質是什么？14-4力法正則方程的物理意義是什么？是否可以說力法的實質是疊加法？為什么？14-5試舉例說明力法正則方程中自由項和系數的物理意義。14-6試舉例說明：對同一個超靜定結構，可以取得幾個不同的基本結構。14-7對稱結構受對稱載荷時，在沿其對稱軸所截取的截面上內力和位移有何特點？受反對稱載荷作用時，又有何特點？怎樣利用這些特點使計算得以簡化？14-8什么叫內超靜定？如何區分外超靜定結構和內超靜定結構？分析這兩種問題的方法有何異同？

思考題第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四習題如圖14.25所示結構中梁ABC的兩端固定，在點B剛好與圓環接觸，圓環下方為光滑剛性平面。在圖示載荷作用下，多余約束力的個數有如下四種答案，試判斷哪一種是正確的。(A)5個(B)6個(C)7個(D)8個圖14.2514-1第55頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四14-2圖14.26如圖14.26所示結構中，已知載荷情況。這時利用對稱性或反對稱性，結構的未知約束力個數有如下四種答案，試判斷哪一種是正確的。(A)2個(B)3個(C)4個(D)5個第56頁，共63頁，2023年，2月20日，星期四14-3圖14.27關于求解圖