1、全等三角形及其應用【知識精讀】1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應頂點。互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，記作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。 3.全等三角形的的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等；4.尋找對應元素的方法（1）根據對應頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應頂點為頂點的角是對應角；以對應頂點為端點的邊是對應邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應頂點的字母都寫在對應的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應的元素。（2）根據已知的對應元素尋找全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應關系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經過下列各種運動而形成的。翻折如圖（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直線AO翻折180得到的；旋轉如圖（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA繞著點O旋轉180得到的；平移如圖（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移動而得到的。5.判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2）推論：角角邊定理6.注意問題：（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，a:三個角對應相等，即AAA；b:有兩邊和其中一角對應相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識。【分類解析】全等三角形知識的應用證明線段（或角）相等例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分別位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先證明ΔACD≌ΔABE，再證明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.證明：在ΔACD和ΔABE中，∴ΔACD≌ΔABE(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形對應角相等）又∵AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）∴BF=FC（全等三角形對應邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：AB∥CD分析：要證AB∥CD，需證∠C＝∠A，而要證∠C＝∠A，又需證ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.顯然證明ΔABF≌ΔCDE條件已具備，故可先證兩個三角形全等，再證∠C＝∠A,進一步證明AB∥CD.證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定義）在ΔABF與ΔCDE中，∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A(全等三角形對應角相等)∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關系，可利用加倍法或折半法將問題轉化為證明兩條線段相等例3：如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE.求證：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中點F，連接BF，再證ΔCEB≌ΔCFB.這里注意利用BF是ΔACD中位線這個條件。證明：取CD中點F，連接BF∴BF=EQ\F(1,2)AC,且BF∥AC（三角形中位線定理）∴∠ACB＝∠2(兩直線平行內錯角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3（等邊對等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB與ΔCFB中，∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)∴CE=CF=EQ\F(1,2)CD（全等三角形對應邊相等）即CD=2CE（ⅱ）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在ΔAEC與ΔBEF中，∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)∴AC=BF,∠4＝∠3(全等三角形對應邊、對應角相等)∴BF∥AC(內錯角相等兩直線平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD（等角的補角相等）在ΔCFB與ΔCDB中，∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS)∴CF=CD即CD=2CE說明：關于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)（B為AD中點是利用這個辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ΔADC、ΔBDO為等腰三角形，AO、BC的大小關系和位置關系分別如何？證明你的結論。分析：本題沒有直接給出待證的結論，而是讓同學們先根據已知條件推斷出結論，然后再證明所得出的結論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC，AO⊥BC.證明：延長AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ΔADO≌ΔCDB(SAS)∴AO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形對應邊、對應角相等）∵∠AOD＝∠COE（對頂角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC5、中考點撥：例1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結ED，并延長ED到點F，使DF＝DE，連結FC．求證：∠F＝∠A．分析：證明兩個角相等，常證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在已知圖形中∠A、∠F不在全等的兩個三角形中，但由已知可證得EF∥AC，因此把∠A通過同位角轉到△BDE中的∠BED，只要證△EBD≌△FCD即可．證明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．說明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時，要注意結合圖形，挖掘圖中存在的對項角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內錯角等相等的關系。例2如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED分析：把已知條件標注在圖上，需構造和△AEC全等的三角形，因此過D點作DF∥AC交BE于F點，證明△AEC≌△FED即可。證明：過D點作DF∥AC交BE于F點∵△ABC為等邊三角形∴△BFD為等邊三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中，∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形對應邊相等）題型展示：例1如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，構造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需證DE＝BE問題便可以解決．證明：在AB上截取AE＝AC，連結DE．∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴DE＝DC，∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED，即ED＝DC，∴AB＝AC＋DC．剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AE＝AC是利用了角平分線是角的對稱軸的特性，構造全等三角形，另一種方法是補短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉化為證明線段相等的問題，實際上仍是構造全等三角形，這種轉化圖形的能力是中考命題的重點考查的內容．【實戰模擬】1.下列判斷正確的是（）（A）有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等（B）有兩邊對應相等，且有一角為30°的兩個等腰三角形全等（C）有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等（D）有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等2.已知：如圖，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分∠BAC．求證：OB＝OC．3.如圖，已知C為線段AB上的一點，ACM和CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：CEF是等邊三角形。4.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．求證：AD<EQEQ\F(1,2)(AB+AC)5.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜邊上AB上任一點，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，CH⊥AB于H點，交AE于G．求證：BD＝CG．

【試題答案】1.D2.證明：∵AO平分∠ODB，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE、CE交于點O，∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°,∠BOD＝∠COE。∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC3.分析由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲證CEF是等邊三角形，只要證明CEF是等腰三角形。先證CAN≌MCB，得1=2.再證CFN≌CEB，即可推得CEF是等邊三角形的結論。證明：在CAN和MCB，∵AC=MC，CN=CB，CAN=MCB=120，∴ACN≌MCB中，∴FCB和CEB中，∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，∴CFN≌CEB，∴CF=CE，又∵ECF=60，∴CEF是等邊三角形.4.分析：關于線段不等的問題，一般利用在同一個三角形中三邊關系來討論，由于AB、AC、AD不在同一個三角形，應設法將這三條線段轉化在同一個三角形中，也就是將線段相等地轉化，而轉化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．證明：延長AD到E，使DE＝AD，連結BE在ACD與EBD中∴ACD≌EBD（SAS）∴AC＝EB（全等三角形對應邊相等）在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB＋AC＞2AD（等量代換）說明：一般在有中點的條件時，考慮延長中線來構造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個三角形中，欲證BD與CG相等，設法證△CGE≌△BDF。由于全等條件不充分，可先證△AEC≌△CFB證明：在Rt△AEC與Rt△CFB中，∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延長線于F∴∠AEC＝∠CFB＝90°又∠ACB＝90°∴∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF∴Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE＝BF在Rt△BFD與Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，∴Rt△BFD≌Rt△CEG∴BD＝CG2全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.應用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數量關系．（1）如圖①當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數量關系是；（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由．二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2、如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證;AB＝AC+BD3、如圖，已知在內，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC應用：三、平移變換例1AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.例2如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.應用：1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；(第23題圖)OPAMNEB(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五、旋轉例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數.例2D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。當繞點D轉動時，求證DE=DF。若AB=2，求四邊形DECF的面積。例3如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為；應用：1、已知四邊形中，，，，，，繞點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．當繞點旋轉到時（如圖1），易證．當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．（圖（圖1）（圖2）（圖3）2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長;(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,,BD=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．圖1圖2圖3（=1\*ROMANI）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是；此時；（=2\*ROMANII）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（=1\*ROMANI）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（=3\*ROMANIII）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q=（用、L表示）．3、全等三角形培優競賽訓練題1、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）直接寫出線段EG與CG的數量關系；（2）將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉45o，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．（3）將圖1中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？FBAFBACE圖3DFBADCEG圖2FBADCEG圖12、數學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．，且EF交正方形外角的平行線CF于點F，求證：AE=EF．經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證，所以．在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．AADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖33、已知中，為邊的中點，繞點旋轉，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當繞點旋轉到于時（如圖1），易證當繞點旋轉到不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．AAECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F4、在中，將繞點順時針旋轉角得交于點，分別交于兩點．（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉過程中，線段與有怎樣的數量關系？并證明你的結論；AADBECFADBECF（2）如圖2，當時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）在（2）的情況下，求的長．

5、如圖9，若和為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，是等邊三角形．（1）當把繞A點旋轉到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分）（2）當繞A點旋轉到圖11的位置時，是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，與的面積之比；若不是，請說明理由．（6分）圖9 圖10圖11圖9 圖10圖11圖86、點C為線段AB上一點，△ACM,△CBN都是等邊三角形，線段AN,MC交于點E，BM,CN交于點F。求證：（1）AN=MB.（2）△CEF為等邊三角形。（3）將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉一定角度，其他條件不變，（1）中的結論是否依然成立？(只回答不證明)，（4）AN與BM相交所夾銳角是否發生變化，（只回答不證明)。

7、問題：已知中，，點是內的一點，且，．探究與度數的比值．請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．（1）當時，依問題中的條件補全右圖．觀察圖形，與得數量關系為________；當退出時，可進一步推出的度數為_______；可得到與度數的比值為_________．（2）當時，請你畫出圖