2015—2016學年第一學期《線性代數》期末試卷答案（32學時必修）專業班級 姓名 學號 開課系室 應用數學系考試日期 20期年1月15日題號 d四五六七總分本題滿分1515211612147本題得分

閱卷人注意事項：1．請用黑色或藍色筆在試卷正面答題(請勿用鉛筆答題)，反面及附頁可作草稿紙；2．答題時請注意書寫清楚，保持卷面清潔；3．本試卷共七道大題，滿分100分；試卷本請勿撕開，否則作廢；4.本試卷正文共7頁。說明：試卷中的字母E表示單位矩陣；A*表示矩陣A的伴隨矩陣;R(A)表示矩陣A的秩；A-1表示可逆矩陣A的逆矩陣.一、填空題(請從下面6個題目中任選5個小題，每小題3分；若6個題目都做，按照前面5個題目給分)1.5階行列式中，項aaaaa前面的符號為【負】.2431521345TOC\o"1-5"\h\z—13 1.設D=01 02,A(i=1,2,3,4)是D的第4行元素的代數余子3—14 4i' /5 31式，則A+2A—A+2A等于【0】.本題滿分15分本本題滿分15分本題得分11001J11001J"102、TOC\o"1-5"\h\z.設B=020,A為4x3矩陣，且R(A)=2，則R(AB)=[2 ].、T03,.若向量組a二(1,1,0),a=(1,3,-1),a=(5,3,t)線性相關，則t=[1 】.1 2 35.設A是3階實的對稱矩陣，是線性方程組5.設A是3階實的對稱矩陣，是線性方程組Ax二0的解，0二是線1.2.本題滿分15分1.2.本題滿分15分本題得分(2-10、(210、(1-10、(A)-110;(B)110；(C)-120;(D)、00"、001,、00"mJ性方程組(A+E)x=0的解，則常數m=【1].6.設A和B是3階方陣，A的3個特征值分別為-3,3,0，若E+B=AB,則行列式IB-1+2E1=【-8 】.二、選擇題(共5個小題，每小題3分)設A為3階矩陣,且1A1=1，則行列式1-2A*1等于【A】.,、 ，、 1 ，、 ，、-2; (B)-1； (C)-1； (D)2.2(110、矩陣120的逆矩陣為【A工1001J(110、1103.設A是n階非零矩陣，滿足A=A2，若A中E，則【A工|AI=1; (C)A可逆； (D)A滿秩.4.6,B=1-1 -317V30-140）0,C二AB-1,則C-1的第3行第1列的元素為2,(A)4; (B) 8;0； (D) -1.a是使二次型fa是使二次型f(x,x,x)正1 2 3（D）以上選項都不對.本題滿分21分本題得分5.設f(x,x,x)=2x2+2x2+2x2+2axx+2axx+2axx,1 2 3 1 2 3 12 13 23定的正整數，則必有【B1(A)a=2; (B)a=1; (C)a=3;三、求解下列各題（共3小題，每小題7分）1.若a邛,y線性無關，a+2P,2P+ky，P+3y線性相關，求k.解：因為a+2P,2P+ky與P+3y線性相關，所以必定存在不全為TOC\o"1-5"\h\z零的數九，九，九，使得1 2 3九（a+2P）+九（2P+ky）+九（P+3y）=01 2 3 2分整理得：九a+(2九+2九+九)P+(k九+3九)y=01 1 2 3 2 3由于a,P,y線性無關，因此可得 8由于九，九，九不全為零，即上述齊次線性方程組有非零解，因此1 2 3100221=0，由此得k=6.0k32.設A=0)，B=2-12、a1，若R(AB+B)=2，求a.30,解：由R(AB+B)=2可知|AB+B|=0，由此可得|A+E||B|=02-10又|A+E\=0 1 0=2W02-21因此|B|=02分因此可得a=-5.分'203.設矩陣A=0a10200、t0，且A,B相似，求a與t的值.03)解：由A,B相似可知A,B的特征值相同，而易知B的特征值為-1,t,3,因此A的特征值也為-1,t,3利用特征值的性質可得J2+a+1=-1+1+3 5[2(a-4)=—3t分解得a=1,t=2. 7分四、（共2小題，每小題8分）1.求向量組的一個最大無關組，并將其余向量用這f1031、解：令A=(a,a,a,a)=-130-112 3 42172142140)最簡形，

本題滿分16分一最大無關組表示出來.本題,把A進行行變換，化為行得分=C=(p1

pp)3 4且p且p=3P+p+0p，

3 1 2 4且a=3a+a+0a.

3 1 2 4則p，p，p是C的列向量組的一個最大無關組，1 2 4故a，a，a是A的列向量組的一個最大無關組,1 2 4分2.2.'21問a滿足什么條件，才能使得A二03(004)a共有兩個線性無關的特征向量?33,得A得A的特征值:本題滿分12分本題得分TOC\o"1-5"\h\z2-入 1 4解：由|A-入E\=0 3-入a解：0 0 3-入要使A有兩個線性無關的特征向量，則特征值3對應一個線性無關的特征向量，即(A-3E)x=0的解空間的維數為1,則R(A-3E)=2， 6分x +x=',五、問九為何值時，線性方程組]4x+x+2x3=X+2無解，有無窮多解，1 2 36x+x+4x=2X+312 3并在有無窮多解時求出其通解.’101人、解：記方程組的增廣矩陣為，則B=412入+2,[6142X+3)’101人、對其進行行變換，化為行階梯形：B-01-2-3X+2,1000 -X+1)易知，當入W1時，R(A)=2中R(B)=3,方程組無解；當入=1時，R(A)=R(B)=2,方程組有無窮多解;6分 3 J 3 J011-200與原方程組同解的方程組為Ii工工;,【2 3由此可得原方程組的通解為=k2+-112六、求實二次型f(x,x,x)=x2+4x2+4x2—4xx+4xx—8xx的秩，1 2 3 1 2 3 12 13 23并求正交變換x=夕”化二次型為標準形.(1 —2 2〉(1—22)解：記二次型的矩陣為A=—2 4 —4,A?000，k2 —4 4,k000,故二次型 f 的秩為 1.4分1—九由|A—九E|二—22—224—九—4二0，—4 4—九本題滿分14分本題得分九=9,九=九=0,1 2 3當九=9,求解(A—9E)x=0的一個基礎解系：己

1 1(1 \1-21，單位化:1

kJP1(1 \13_23(2、-2、當卜八=0,求解Ax=0的一個基礎解系:正交化:單位化:P21,22P3二-2545 4至51 7/ _r-\245153545112分14分14分本題滿分7分本題得分令P=Qpp），則可得正交變換x=Py，1 2 3二次型的標準形為：f(y,y,y)=9y2+0y2+0y2123 1 2 3?七、（請從下面2個題目中任選1個，若2個題目都做，按照第1題給分）1.“設A是n階實的反對稱矩陣，則對于任何n維實的列向量a，a和Aa正交，且A-E可逆”.您認為該結論成立嗎？請說明理由.解：該結論成立。由于A為反對稱陣，則At=-A,對于任意n維實的列向量a,有:所以Aa1=0,即a和Aa正交;考慮(A-E)x=0，即Ax=x，等式兩邊同時左乘xt，得xtAx=xtx=0，由此得：x=0，即(A-E)x=0只有零解，所以|A-E|豐0，A-E可逆.2.