屆高中畢業(yè)班理科數(shù)學(xué)質(zhì)量檢查試題數(shù)學(xué)(理科)試題本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)，共8頁(yè)，全卷滿分150分，考試時(shí)間分鐘．參照公式：假如事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．假如事件假如事件

A、B互相獨(dú)立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰巧發(fā)生

k次的概率Pn(k)=Cnkpk(1p)nk．球的表面積公式S=4πR2，此中R表示球的半徑．3球的體積公式V=4πR，此中R表示球的半徑．第I卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共12小題。每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合題目要求的。請(qǐng)把正確答案填在題目后邊的括號(hào)內(nèi)．1．復(fù)數(shù)i(1一i)等于()A．1+iB．1一iC．一1+iD．一1一i2．設(shè)全集為R，A={x|—1＜x＜1}，B={x|x≥0}，則CR(A∪B)等于()A．{x|0≤x＜1}B．{x|x≥0}C．{x|x≤-1}D．{x|x＞-1}3．已知某一隨機(jī)變量ξ的概率散布列以下，且Eξ=6.3，則a的值為()ξ4a9P0.50.1bA．5B．6C．7D．84．已知A、B為球面上的兩點(diǎn)，O為球心，且AB=3，∠AOB=120°，則球的體積為()A．9πB．43πC．36πD．323π25．已知條件p:k=3，條件q：直線y=kx+2與圓x2+y2=1相切，則p是q的()A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件6．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn是an。與1的等差中項(xiàng)，則an等于()A．1B．-1C．(-1)nD．(-1)n-17．若m、n為兩條不一樣的直線，α、β為兩個(gè)不一樣的平面，則以下命題正確的選項(xiàng)是()A．若m∥α，nα，則m∥nB．若m∥α，mβ，α∩β=n，則m∥nC．若m∥α，n∥α，則m∥nD．若α∩β=m，m⊥n，則n⊥α8．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期為2π，其圖象的一部分以下圖，則此函數(shù)的分析式能夠?qū)懗?)A．f(x)=sin(2—2x)B．f(x)=sin(2x一2)C．f(x)=sin(x一1)D．f(x)=sin(1一x)9．已知函數(shù)y=f(x+1)的圖象對(duì)于點(diǎn)(-1，0)成中心對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)必定是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)lO．已知f(x)31x(x0),則方程f(x)=2的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()x24x3(x0),A．0B．1C．2D．311．某學(xué)校開(kāi)設(shè)10門選修課程，此中3門是技術(shù)類課程，2門是理論類課程．學(xué)校規(guī)定每位學(xué)生應(yīng)選修4門，且技術(shù)類課程和理論類課程每類至多項(xiàng)選擇修1門，則不一樣的選修方法種數(shù)是()A．50B．100C．11OD．11512．若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(2)=0，則f(x)f(x)＜0x的解集為()A．(-2,0)∪(0,2)B．(-∞，-2)∪(0,2)C．(-∞，-2)∪(2，+∞)D．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題：本大題共4小題，每題4分。共16分．請(qǐng)把正確答案填在題目后邊的橫線上．13．二項(xiàng)式(x16的睜開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____________.x2)14．橢圓的焦點(diǎn)及其短軸端點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上，則此橢圓的離心率為_(kāi)___．15．已知向量a=(1，1)，b=(sinx，-cosx)，x∈(0，π)，若a∥b，則x的值是_______．16．閱讀下邊資料，并回答下列問(wèn)題：設(shè)D和D1是兩個(gè)平面地區(qū)，且D1D．在地區(qū)D內(nèi)任取一點(diǎn)M，記“點(diǎn)M落D1的面積在地區(qū)D1內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)=.D的面積已知有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)知足a∈[O，3]，b∈[0，2]，則對(duì)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)數(shù)根的概率是________．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明。證明過(guò)程或演算步驟．17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)求f(3π)的值；8(Ⅱ)求f(x)的單一遞加區(qū)間．18．(本小題滿分12分)在數(shù)列an中，a1=1，an+1=an(c為常數(shù)，n∈Nx)，且a1，a2，a5成公比不等can1于1的等比數(shù)列．(I)求證：數(shù)列1是等差數(shù)列；an(Ⅱ)求c的值；(Ⅲ)設(shè)bn=aa，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為SlimSn．nn+1n，求x19．(本小題滿分12分)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為AA1，和CC1的中點(diǎn)．求證：EF∥平面ACD，；(Ⅱ)求異面直線EF與AB所成的角；(Ⅲ)在棱BB1上能否存在一點(diǎn)P，使得二面角P-AC-B的大小為30°?若存在，求出BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．20．(本小題滿分12分)國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉．已知某種鉆石的價(jià)值υ(美元)與其重量ω(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元．寫(xiě)出υ對(duì)于ω的函數(shù)關(guān)系式；(Ⅱ)若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；(Ⅲ)試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時(shí)，按重量比為1：1切割，價(jià)值損失的百分率最大．(注：價(jià)值損失的百分率=原有價(jià)值現(xiàn)有價(jià)值×100％；在切割過(guò)程中的重量損原有價(jià)值耗忽視不計(jì))21．(本小題滿分

12分)已知定點(diǎn)A(a，O)(a>0)，B為x軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)．以其兩對(duì)角線的交點(diǎn)恰巧落在y軸上．

AB為邊作菱形

ABCD，使求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作直線l與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)R(-a，0)，問(wèn)當(dāng)l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∠PRQ能否能夠?yàn)殁g角?請(qǐng)給出結(jié)論，并加以證明．22．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0處獲得極值．(I)務(wù)實(shí)數(shù)a的值；(Ⅱ)若對(duì)于x的方程，f(x)=5xb在區(qū)間[O，2]上恰有兩個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)根，務(wù)實(shí)2數(shù)b的取值范圍；(Ⅲ)證明：對(duì)隨意的正整數(shù)n，不等式lnn1n1都成立．nn2數(shù)學(xué)(理科)試題參照答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一、本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參照，假如考生的解法與本解答不一樣，可依據(jù)試題的主要考察內(nèi)容對(duì)比評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)擬訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，假如后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超出該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；假如后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：此題考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每題5分，滿分60分．1．A2．C3．C4．B5．A6．D7．B8．D9．A10．D11．D12．A二、填空題：此題考察基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每題4分。滿分16分．13．15；14．2；15．3π；16．2243三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．本小題主要考察三角函數(shù)的倍角公式、和角公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考察理解能力和運(yùn)算能力．滿分12分．解：f(x)1cos2x1sin2x(4分)222(2sin2x2cos2x)12222(6分)2sin(2x)1242(I)f(3)2sin11(8分)8222(II)令2k22x42k(10分)22k32x2k44即k3xk(kZ)時(shí)，f(x)單一遞加.8833∴f(x)單一遞加區(qū)間為[k](kZ)(12分)8，k818．本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列乞降等基礎(chǔ)知識(shí)考察化歸與轉(zhuǎn)變的思想方法；考察推理與運(yùn)算能力．滿分12分．解法一：(I)Qan1an，且a1=1，然an≠0can111can11an1ananc，又c常數(shù)，an∴數(shù)列1是等差數(shù)列.??????????????????(4分)an(Ⅱ)由(Ⅰ)知，11(n1)c1(n1)c???????????(5分)ana1a11,a211.1,a51c4c11125成等比數(shù)列，(2，解得c=0或c=2.(7分)14c1c當(dāng)c=0，an+1=an，不合意，舍去.∴c=2.??????????????????????????(8分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2，∴an1.????????????????(9分)2n1Qbnanan1(2n11)1(11).????(10分)1)(2n22n12n1Sn1[(11)(11)L(111)]23352n2n111(11分)(12n).????????????????????211(12分)limSn..??????????????????????x2an解法二：(Ⅰ)Qan1，且a1=1，然an≠0can11can11(2分)an1anc，?????????????????an11c，又c常數(shù)，an1an∴數(shù)列1是等差數(shù)列?????????????????(4分)an(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.19．本小主要考直與直、直與平面的地點(diǎn)關(guān)系、二面角的觀點(diǎn)等基知；考空想象能力。思能力和探究、解決的能力．分12分．解法一：如分以DA、DC、DD1所在的直x、y、z成立空直角坐系D-xyz，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)．????(2分)(Ⅰ)易知平面ACD1的一個(gè)法向量是uuuurDB1=(2，2，2).???????(4分)uuur又∵EF=(-1,2，-1)，uuuruuuur由EF·DB1=-2+4-2=0，uuuruuuur∴EF⊥DB1，而EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1????????????????????(6分)uuuruuuruuuruuuruuur46EFAB(Ⅱ)∵AB=(0,2，0)，cos<EF,AB>=uuuruuur263|EF||AB|∴異面直EF與AB所成的角arccos6????????(8分).3(Ⅲ)點(diǎn)P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP的一個(gè)法向量rn=(x，y，z)，ruuur0,nACruuurnAP0.uuuruuur∵AP=(0，2，t),AC

=(-2，2，0)，2x2y0,r2).∴tz取n(1,1,2y0,tuuur易知平面ABC的一個(gè)法向量BB(0,0,2)，1uuurruuurr依意知，<BB1，n>=30°或<BB1，n>=150°，uuurr|4|3?????????∴|cos<BB1，n>|=t(10分)2422t24346.即t2(2t2)，解得t43∵6(0,2]，∴在棱16，3BB上存在一點(diǎn)P，當(dāng)BP的3二面角P-AC-B的大小30°.???????????(12分)uuuruuuur解法二：(Ⅰ)同解法一知EF=(-1,2，-1)，AD1=(-2,0，2)，uuuruuuruuuuruuurAC=(-2,2，0)，∴AC-AD1=EF，uuuruuuruuuur∴EF、AC、AD1共面.又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.???????????(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法三：(Ⅰ)取AD1的中點(diǎn)K，EK、KC，在△AA1D1中，EK∥AA1，且EK=1AA1，12CC1，CC1∥AA1，∴FCEK，∵FC=2∴四形EKCF平行四形，∴EF∥CK．又∵CK平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK，又AB∥CD，∴∠DCK就是異面直AB和EF所成的角(或角)．DK，∵CD⊥平面AD1，DK平面AD1，∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK=2，∴tan∠DCK=2，2∴異面直AB和EF所成的角arctan2．???????(8分)2(Ⅲ)假存在點(diǎn)P，使得二面角P—AC—B的大小30°．BD交AC于O點(diǎn)，OP，∵ABCD正方形，∴BO⊥AC，而OBOP在平面AC上的射影，由三垂定理得OP⊥AC，∴∠BOP二面角P—AC—B的平面角，∴∠BOP=30°，tan30°=BP,∴BP=32633OB∵61上存在一點(diǎn)6，33二面角P-AC-B的大小30°.??????????????(12分)解法四：(Ⅰ)取D1C1的中點(diǎn)H，EH，F(xiàn)H，A1C1，EA1D1的中點(diǎn)，∴EH∥AlCl，而A1C1∥AC，∴EH∥AC，又∵FCC1的中點(diǎn)，∴HF∥D1C．EH與HF訂交，D1C與AC訂交，∴平面EHF∥平面ACD1，EF平面EHF，∴EF∥平面ACD1．??????(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．20．本小主要考函數(shù)與不等式等基知；考運(yùn)用數(shù)學(xué)知剖析和解決的能力．分12分．2(2分)解法一：(Ⅰ)依意v=kω，????????????????????又當(dāng)ω=3，v=54000，∴k=6000，?????????????(3分)故vω2=6000ω2．?????????????????????(4分)(Ⅱ)石的重量a克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比l∶3切割后的價(jià)6000(132．?????????????????(6分)a)2+6000(a)44價(jià)失6000a2一[6000(1a)2+6000(3a)2]．?????????????(7分)44價(jià)失的百分率6000a2[6000(1a)26000(3a)2]440.37537.5%6000a2答：價(jià)失的百分率37.5％．??????????????(8分)(Ⅲ)若把一石按重量比m∶n切割成兩，價(jià)失的百分率1[(m)2(n)2]2mn，??????????(10分)mnmn(mn)22mn2(mn)21，?????????????又(m2(11分)(mn)2n)22等號(hào)當(dāng)且當(dāng)m=n成立.即重量比1∶1，價(jià)失的百分率達(dá)到最大??????(12分)解法二：(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一．(Ⅲ)一石切割成兩，其重量比1∶x，價(jià)失的百分率1[(1)2(x)2]22x,????????????(10分)1x1xx2x1又x>0，∴x2+1≥2x，故2x2x12x12x2x2x2等號(hào)當(dāng)且當(dāng)x=1成立．?????????????????(11分)故當(dāng)重量比1∶1，價(jià)失的百分率達(dá)到最大??????(12分)21．本小主要考拋物的幾何性、直與拋物的地點(diǎn)關(guān)系等基知；考分析幾何的基本思想方法；考剖析、解決的能九分12分．解法一：(Ⅰ)D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD菱形且AC、BD的交點(diǎn)在y上，B、C兩點(diǎn)坐(-x，0)、(-a，y)．由AC⊥BD得uuuruuurBD·CA＝（2x，y）·(2a，-y)4ax-y2=0，即y2=4ax.??????????(4分)注意到ABCD菱形，∴x≠0故跡E的方程y2=4ax（x≠0）.??????????????(5分)(Ⅱ)∠PRQ不行能角，即∠PRQ≤90°．?????????????(6分)明以下：當(dāng)PQ⊥x，P、Q點(diǎn)的坐(a，±2a)，又R(一a，0)，此∠PRQ=90°，成立；??????????????(7分)(2)當(dāng)PQ與x不垂直，直P(pán)Q的方程y=k(x一a)，y24ax,由得k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0yk(xa),P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x24a，x2.2uuuruuurkRP·RQ＝（x1+a）（x2+a）+y1y2=（x1+a）（x2+a）+k2（x1-a）（x2-a）=(1+k2)xak2)(x2+a221x2+(a-1+x2)+ak=(1+k2)a2+(a-ak2)(2a+4a)+a2+a2k2=4a>0k2k2?????????????????????(10分)uuuruuur即<RP,RQ>角，?????????????????(11分)上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．??????????(12分)解法二：(Ⅰ)D(x，y)，由ABCD菱形且AC、BD的交點(diǎn)在y上，C點(diǎn)坐(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得(xa)2(y0)2(xa)2(yy)2，化得y2=4ax．?????????????????????(4分)注意到ABCD菱形，∴x≠O，故跡E的方程y2=4ax(x≠O)．??????????????(5分)(Ⅱ)∠PRQ不行能角，即∠PRQ≤90°.???????????(6分)明以下：P（x1，y1），Q（x2，y2），同法一易知，x1x2=a2.又y12=4ax1，y22=4ax2，且｜PR｜2＝x1+x2+2a，因｜PR｜2+｜QR｜2-｜PQ｜2＝（x1+a）2+y12+（x2+a）2+y22-(x1+x2+2a)2=2ax1+2ax2-4a2≥22ax12ax2-4a2=4ax1x2-4a2=0?????(9分)進(jìn)而cos∠PRQ=|PR|2|QR|2|PQ|2≥0，????????(11分)2|PR||QR|即∠PRQ≤90°??????????????????????(12分)解法三：(Ⅰ)因ABCD菱形，且AC與BD的交點(diǎn)在y上，因此點(diǎn)C的橫坐-a，即點(diǎn)C在直x=-a上，進(jìn)而D到C的距離等于D到直x=-a的距離．又ABCD菱形，因此點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)D到直x=-a的距離相等，即跡E拋物，方程y2=4ax．??????????(4分)注意到ABCD菱形，∴x≠O，故跡E的方程y2=4ax(x≠O)．??????????????(5分)(Ⅱ)∠PRQ不行能角，即∠PRQ≤90°.???????????(6分)明以下：如，P、Q向x及準(zhǔn)x=-a引垂，垂足M、N、C、H，|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，因此∠PRM≤45°，???????(10分)同理可∠QRN≤45°，進(jìn)而∠PRQ≤90°.??????????(12分)解法四：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)∠PRQ不行能角，即∠PRQ≤90°.?????????(6分)明以下：P（x1，y1），y12=4ax1，tan∠PRM=|kPR|=|4ax1|=4ax1，?(8分)x1ax1a∵x1+a≥2ax1，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，???????(10分)同理可∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°.