225-4-2.數(shù)數(shù)二教學(xué)目本講主要對課本中的：約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。本講核心目標(biāo)：讓孩子對數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個深入的認(rèn)識，例如）數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)；（2整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)任何一個數(shù)字都可以表示為eq\o\ac(△,☆)

eq\o\ac(△,☆)

eq\o\ac(△,☆)

的結(jié)構(gòu)，一、

而且表達(dá)形式唯”知識點約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念(1)約數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因整能整數(shù)除叫b的數(shù)，就叫做的約數(shù)；(2)公約數(shù):如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的數(shù)，稱這個整數(shù)為它們公約”最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個就是最大公約數(shù)；0被除約數(shù)與倍數(shù)之外1．最大公約數(shù)的方法①解因法先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來．例如：231，252，以(231,252)；218②除：找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：396，以；3③轉(zhuǎn)除：一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是為．么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的．例如，求和的大公約數(shù)：600315；315285；31528530150；以1515和的大公約是．2．大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)，得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大約數(shù)乘以n．3．一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)；出各個分?jǐn)?shù)的分子的b最大公約數(shù)；即所求．a(chǎn)4．?dāng)?shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系約數(shù)是對一個數(shù)說的；公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)倍數(shù)一個整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)公倍數(shù)在個或兩個以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，那么這些倍就叫做它們的公倍數(shù)(3)最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的個稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。1.求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：231，2522所以②短除法求最小公倍數(shù)；218例如：3

，所以；③[b]

a(,)

．2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積．兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)．3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟b先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)出個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)求各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即a3為所求．例如：[,]4124注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整例如：34．?dāng)?shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系倍數(shù)是對一個數(shù)說的；最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)．兩個自數(shù)別以們的大約，得商質(zhì)

4如果為、B的大公約數(shù)，且ma，，么、b互質(zhì)，所以A、B的小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：mb，兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是A、B、A、A及小公倍數(shù)的約數(shù)．．兩個數(shù)最公和小公的積于兩數(shù)乘。即(ab),]，性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。．對于任3連續(xù)的然，果個續(xù)的偶為)奇奇那這個的積于三數(shù)最公數(shù)例如：5，就的小公倍數(shù)b)偶偶那這個的積于三數(shù)小公數(shù)倍例如：6336，的最小公倍數(shù)為336性（不是一個常見考點是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系233233個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積”。四、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1．任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指(次數(shù)加1后所得的乘積。如1400嚴(yán)分解質(zhì)因數(shù)之后為2，以它的約數(shù)(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個。包括和本身約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應(yīng)重點講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在篇講過的數(shù)字唯分解定理”形式基之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原還原構(gòu)”出來，者構(gòu)造出可能的最。2．任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：210002

3

，以21000所有約數(shù)的和為(1

2

3

2

7)74880此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)性的記憶即可。例題精模塊一、倍數(shù)【1】N為然，N，N、…、N與都有于l的公約．N的小為少【考點】倍數(shù)【難度】【型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，六年級，初賽，第8題【解析690，連續(xù)數(shù)中，最多有5個是倍數(shù)，也有可能有個是2的倍數(shù)．如果有個續(xù)奇數(shù)，這5個續(xù)數(shù)中最多有的倍數(shù)個的數(shù)，1個的倍數(shù)，所以必然有一個數(shù)不是2、、5的倍數(shù)，即與沒有大于l的約數(shù)．所以9個中有個數(shù)，則N、、、、N是偶數(shù)，剩下的個數(shù)中，有2個倍數(shù)5的數(shù)個倍數(shù)4個奇數(shù)中NN是倍數(shù)一是5的數(shù)，一個是23的數(shù)，那么這兩個最小只能為23和，故23，．的小值為19【答案】19模塊二、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【2】有個子，走9分鐘一燈每整響一鈴中2點，子鐘鈴亮．：下次響又燈幾鐘【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【難度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第10題【解析】因為子鐘每到整點響，所以我們只要考慮哪個整點亮燈就行了．從中12點，每鐘亮一次燈，要過多少個分鐘才到整點呢？由于1小＝60分，這個問題換句話說就是9分的多少倍是60分的整數(shù)倍呢即求9分最公倍數(shù)和60的小公倍數(shù)是．這就是說，從正午起過180分鐘，也就是3小，電子鐘會再次既響鈴又亮燈．答：下一次既響鈴又亮燈時是下午點鐘．【答案】點【3】甲乙人時A點背出，米的形道走甲每鐘80米，乙分走50米兩至經(jīng)多時才在A點相？【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】解答【解析甲乙走一圈分別需要鐘和分，因此他們要是在A點次相遇，兩人都要走整圈數(shù)，所以所需的時間應(yīng)是5和最小公倍數(shù)分鐘．【答案】40分鐘【4】動園飼員三猴分生，只給一，每猴可粒如分第群，則只子得粒；只給三，每猴可得粒那平給三猴，只得少？【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】填空【解析依題意得:花生總粒數(shù)群猴子只數(shù)群猴子只數(shù)三猴子只數(shù),由可知，花生總粒數(shù)是，15公倍數(shù)，其最小公倍數(shù)是．花生總粒數(shù)是60，，180那么：第一群猴子只數(shù)是5，15，；二群猴子只數(shù)是4，，；三猴子只數(shù)是36，；所以，三群猴子的總只數(shù)是12，24，，因，平均分給三群猴子，每只猴子所得花生粒數(shù)總是粒．【答案】5【固加工某機(jī)零要過道序第一工每工每時完6個件第二工每工人小可成10個件第三工每工每時完15個件要使加工產(chǎn)衡三道序少需多名人（假設(shè)三工可同進(jìn)）【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】填空【解析為使生產(chǎn)均衡,則三道工序每小時生產(chǎn)的零件個應(yīng)相,第一、二、三道工序上分別有a、b、個人有c,那的小值為的小公倍即所以,,,三道工序最少共需要名人．【答案】10名工人【5】在根木上有種度，第種度將棍成0等，二刻線把棍成12等第三種度把棍成15等份如果每刻線木鋸木總被成少？【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度4星【型】解答【解析從目中可以知道，木棍鋸成的段數(shù)，比鋸的次數(shù)大；鋸的次數(shù)并不一是三種刻度線的總和，因為當(dāng)兩種刻度線重合在一起的時候，就會少鋸一次．所以本題的關(guān)鍵在于計算出有多少兩種刻線或者三種刻度線重疊在一起的位置．把木棍看成是1、12的小公倍數(shù)個單位，那么每個等分線將表示的數(shù)都是整數(shù)，而且重合位置表示的數(shù)都是等分線段長度的公倍數(shù)，利用求公倍數(shù)的數(shù)的方法計算出重合的刻度線的條數(shù)．先木棍60等，每一等分作為一個單位，則第一種刻度線相鄰兩刻度間占6個單位，第二種占5個位，第三種占4個位，分點共有個)．單處二種刻度重合次、40單位處二種刻度重合；12、24、48單位處二種刻度重合次所以沒有三種刻度線重疊在一起的位置．所以共有不重合刻度4個從而分成28段【答案】28段【6】大后一，明爸同步測個形圃周，倆起和行向全同，明步厘，爸步長厘米由兩腳有合，以各完圈，地留下60個印求形圃周．【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度4星【型】解答【解析必求出相鄰兩次腳印重合所走的路程以及走完全程腳印重合的次數(shù)．兩人從起點出發(fā)第一次腳印重合所走的路程是相同的，是兩人步長的最小公倍數(shù)，厘．在厘米里，兩人留下的腳印數(shù)分別是：(個)，72個由于兩人有1個印重合，所實際上只有()腳印完全程共重合次周長為(厘米【答案】【7】一士排一橫，一從左右至報，二從右左1至報。次報的有5名，列兵多名。【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度4星【型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，級，決賽，第題10分【解析】[46]=12，所以每名報名情況重復(fù)一次.12為個周期，我們先來看看名士兵報數(shù)的情況：1、3、、1、、、4、12、3、6、4、、2、、65、4、2、1如果不經(jīng)過移動，那么兩組數(shù)就不會出現(xiàn)在同一個位置同時出現(xiàn)的情況！要使同一個位置同時出現(xiàn)，么我們可以移動第二行全部的數(shù)，移動的情況有：第二行的數(shù)全部往后移動3個位或者7個位；第二行的數(shù)全部往前移動一個單位個單位或者6個單位而無論何種移動每個周期內(nèi)同時出現(xiàn)情況只有即每相鄰的12人只會有一個人同時報那要使人數(shù)最，就需移動的單位盡可能的多因此我們選移動個位的一種情況，那么士兵就最多可以有12人【答案】人【8】有、、三人操跑上步，每鐘米，每鐘米，每鐘70米已操跑周為米，果個同同從一點出，幾鐘，個可以次聚【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度4星【型】解答【解析由意，甲、乙、丙相聚時他們兩兩路程之差恰好是400米的倍數(shù)，甲和乙每分鐘差(米)，需要分乙才能第一次追上甲；同理，乙每分鐘比丙多走12050米)則需要鐘乙才能追上丙；同理，甲每分鐘比丙多走(米，則需要鐘甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的時間則為108，的公倍數(shù)．因為以三人相聚需要過40鐘，即分鐘后，三個人可以首次相聚．【答案】40分鐘【9】如，、、C是三個順咬的輪當(dāng)A轉(zhuǎn)圈，恰轉(zhuǎn)圈：轉(zhuǎn)圈時C恰好轉(zhuǎn)5圈則A、、的數(shù)最數(shù)別多少A

B

C【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】第四屆，IMC六級，復(fù)賽【解析當(dāng)A轉(zhuǎn)圈時恰好轉(zhuǎn)圈則A、齒數(shù)的比值為3:同理B、的數(shù)比值為5:。以A、、C齒數(shù)比值為15:，以此時A齒至少為15，B的數(shù)至少是20，C齒至少是。【答案】齒數(shù)至少為，的數(shù)至少是，齒至是。【】有一緊的動輪每個子都有一通軸的志（如圖動輪的徑厘，動的徑90厘．始動，個子的志在條線上問主輪少了轉(zhuǎn)，輪標(biāo)線在條線？【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第8題【解析】與的最小公倍是．＝6，所以主動輪轉(zhuǎn)了個半圈，即轉(zhuǎn)了，兩輪的標(biāo)志線又在一條直線上【答案】轉(zhuǎn)11【】一次試參的生中得優(yōu)得良中其的差已參考的學(xué)不73人那得的生多人【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】中，入學(xué)試題11【解析由意參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得，得中，可知參加考試的學(xué)生人數(shù)是7，3，2的數(shù)，732因為，2最小公倍數(shù)為42，，以參加的學(xué)生總為人．那么得的學(xué)生111有：(1)人732【答案】1111【固一次考，加學(xué)中得優(yōu)得良得中其的差已參考的生滿10073人那得的生多人【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】解答11【解析由意參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得良，得”可知參加考試的學(xué)生人數(shù)是7，4，3的數(shù)，7因為74，3的小公倍數(shù)為小于人)，所以參加的學(xué)生總數(shù)為人．那么得差的學(xué)生有：2823．【答案】23【】3條形道圓都操中旗處甲乙丙人別里、圈外沿樣方向1跑開時人都在桿正方，里跑長千，中跑長千，外跑長千8米甲小跑3千米乙小跑4千米丙小跑5千米他們同出，小后，3人第次時到發(fā)?【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】解答11113【解析甲完一圈需小時，乙跑一圈需小，丙跑一圈需小，他們時5164013回到出發(fā)點時都跑了整數(shù)圈，所以經(jīng)歷的時間為，，的數(shù)，即為它們的公倍數(shù)．1,所以，6小后，3人一次同時回到出發(fā).1640【答案】6時【】兩個然，b的最公數(shù)于50，a多種能數(shù)?【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，團(tuán)體決賽，口試題，第4，10分【解析】因為50=2×，，是50的數(shù)，它們只能取1，2，，，50。不妨設(shè)，當(dāng)取a時，＝1，25，10，50當(dāng)取＝25時＝2，所以，a＋有8種能不同數(shù)值。兩個自然數(shù)，b的小公倍數(shù)等于50，當(dāng)b時a＋取同數(shù)值可列表如下：

a+b515210027

共有8種值【答案】8【】已知ab,是三自數(shù)且a與的最小倍是，a與c的小倍是。求與2323323233最公數(shù)【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽10分第二大題，第題【解析】如果b不

2

的倍數(shù)，因為

，a一是

2

的數(shù)。由此可知

2

的數(shù)，但是

不是

2

的數(shù)。所以是

2

的數(shù)。同理可得是3

的倍數(shù)，所以

整除。因為

所60是倍數(shù)是的數(shù)以bc的小公倍數(shù)

是因

，所以

＝540，

＝當(dāng)a，b＝60時

，

；當(dāng)a，b＝12時，

；【答案】或108【】甲、乙數(shù)最公數(shù)，丙數(shù)最公數(shù)105，甲丙數(shù)的小倍是，那甲是少【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】解答【解析對分解質(zhì)因數(shù):90

因為126是的倍數(shù)，又126不的倍數(shù)，所以甲中不含因數(shù)．如果乙也不含因數(shù)，么甲、乙的最小公倍數(shù)也不含因數(shù)，但90是的倍數(shù)，所乙含有因數(shù)5因為105不2的數(shù)，所以乙也不是2的倍數(shù)，即乙中不含因數(shù)，于是甲必含有數(shù)2因為105不9的數(shù)，所以乙也不是的數(shù)，即最多含有1個因數(shù)．由于甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90中含有因數(shù)，所以甲必含有個數(shù)3那么甲2．總結(jié)：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)含有兩數(shù)的所有質(zhì)因子，并且這些質(zhì)因數(shù)的個數(shù)為兩數(shù)中此質(zhì)因數(shù)個數(shù)的最大值．如b，則A、B的小公倍數(shù)含有質(zhì)因子，3，5，11，并且它們的個數(shù)為a、中有質(zhì)因子多的那個數(shù)的個.即依次含有個3個2個，1個1個，故[a,b]

3

2

【答案】18【】a>>是3個整數(shù)ab的最公數(shù)是15,的最公數(shù)；b的小倍是b的小倍是那是多少【考點】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)綜合【度3星【型】解答【解析由(a,)=75=3×5

2

,[ab]=450=

2

×2×5

2

又

﹥b

所以或75150[bc5×7.當(dāng)

75

時有

,c，因為兩個數(shù)的最大公約數(shù)與b,c7c,