先考核考考甫和信點

【集合部分】

1、集合相關觀念

(1)集合性質：確定性、互異性、無序性

(2)〃個元素集合有2〃個子集，有2“-1個真子集，有2,「2個非空真子集

(3)空集是任何一個集合的子集，是一切非空集合的真子集

(4)交集“n”；并集“U”；補集“c廣”

交：AB<^>{x\xeA,SxGB}并：AB<^>{x\x^A^xGB}補：Ao{xwU,且x任A}

Cu

n,,【函數、導數】

1、函數的單調性

①設七、％€【。,句,"1<”2那么

/⑷-/(4)<。0/(》)在［a，以上是增函數；/(X，-/(%2)>0=/(x)在［。力］上是減函數?

②設函數y=/(x)在某個區間內可導，

若((x)>0，貝!)/(?為增函數；若((x)<0，則/(x)為減函數.

2、'函數的奇偶性(1)定義：對于定義域內任意的x，若/(—x)=/(x),則一⑴是偶

函數；若f(-x)=-f(x)，則f(x)是奇函數。

(2)奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。

奇函數/⑴在原點有定義，則/(0)=0

3、函數的周期性：若/(x+T)=/(x),則T叫做這個函數的一個周期。(差為定值想

周期)

(1)三角函數的最小正周期：兀

y=Asin(cox+(p),y=Acos(o)x+<p):T=271;y=tancox:T=__

MI

4、兩個函數圖象的對稱性(和為定值想對稱)

①如果函數y=/Q)對于一■切xeR,都有f(a+x)=/G-x),那么函數y=/Q)的圖

象關于直線x=a對稱Oy=/(x+a)是偶函數；

②若都有/Q_x)=/G+x)，那么函數y=/Q)的圖象關于直線”父±對稱；

5、極值、最值(極值點處的導數值為零，最值只在極值點處或端5處)

求函數y=/(x)的極值的方法是：解方程/()=0.當/，(x)=0時：

(7)如果在x附近的左側(6)〉0，右側/G)<0,那么/(J)是極大值；

0o

⑵如果在X。附近的左側尸(x)<0,右側尸(x)>0,那么/［)是極小值.

6、圖象變暖問題°

(1)平移變換：i)y=/(x)fy=/(x±a)，(a>0)------左"+”右“一”；

注)y=/(x)~^y=f(x)±k,(k>0)上"+"下"一"；

(2)對稱變換：

i)=f(x)>y=-f(-x)；ii)y=/(x)涮>y=-/(x)；道)

y=/(x)制>y=f(-x)；iv)y=〃x)>X=/(>)；

(3)翻折變換：

1

i)y=f(X)^y=f(\X\]------(去左翻右)丫軸右不動，右向左翻(/㈤在V左側圖

象去掉)；

ii)y=/(X)fy="(X)【------(留上翻下)X軸上不動，下向上翻(|/(幻|在,下面

無圖象)；

(4)伸縮變換

i)y=f(X)-y=/(⑼，(3>0)------縱坐標不變，橫坐標變為原來的)倍；

co

ii)y=/(x)->y=Af(x)，(A>0)------橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍；

7、函數零點的求法：

⑴直接法(求/(x)=0的根)；⑵圖象法；⑶二分法.

⑷零點定理：若y=/(x)在句上滿足/⑷./。八。，貝！l.y=/(x)在(凡為內至少有一個

零點。

8、基本運算

(D指數運算：.dn=d>n+n；Cltn+=Clm-n；(。利)”=；3加巾—(4。"

°對數運算：logM+logN=log(MN)；logM-logN=log—;logM〃=〃logM;

aaaaaaNaa

log1=0；loga-\\a\ogah=h?logN_1。，N；loghn=_logb5

aaalogamma

tna

(3)導數運算：①c=0(c為常數)②(物)=心-】；特別地，(囪=J_，(3=，

2jxxX2

③0)=⑥④；(Injc)=_⑤(sinx),=cosx；(cosx),=-sinx

X

@導數的四則運算法則：他土寸=a，土M：㈣，=?+

6導數定義：f(x)在點x處的導數記作?fix+Ax)-/(.<)

6函數在點°)‘LO5X4燈。上點K一

y=f(x)%處的導數的幾何意義:函數y=f(X)%處的導數是曲線

=x

y=/(M在P(X,/(X))處的切線的斜率k=/a)，相應的切覆療程是y~yf()(x-x)?

原函數圖象只看升降判增減；導函數圖象只看上下定正負

9、二次函數：(1)解析式：①一般式：f(x)=ax2+尿+c；

②頂點式：f(x)=a(x-h)2+k9(/z,Z)為頂點；③零點式：/⑴=a(x-x)(x-x)(aWO).

⑵二次函數y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸方程是“_上，頂點坐標是〃b4ac-b2}0

2卜一,\

⑶二次函數問題解決需考慮的因素：①開口方向；②引稱軸；③判別磁坐標

軸交點；⑤端點值

10、指數函數圖象

2

（2）值域：（0,+oo）

（3）過點Q1），即X=O時），=1

（4）在R上是增函數（4）在/?上是減函數

(5)x<0時,0〈y〈l;x)0(5)x<0時，y>l;x>0

時,y>l時,0〈y〈l

1)

0

13、正弦、余弦、正切函數的性質:

y=sinxy=cosxy=tanx

卜

卜V.

yyp;J\,

圖象u

-0~0￥71

4

定義

{x|x^^+kJt,keZ\

域RR

值域i-iaji-iajR

nx=2&兀,kGZ時,y=1

x=2kn+—keZJff,y=i

fmax

最值23

x=2/at+n9keZ^t,y=-1無

71,mln

x=2E__,AwZ時，y=-l

周期T=2兀T=2兀T=71

性

奇偶奇偶奇

3

性

在上單在［2kn-n,2kn｝上單調

［21兀一］,24兀+：）

單調在上單

調遞增遞增（E-2■，內c+工）

性22

在上單在［2人再2kit4-71］上單調調遞增

kEZ［2A-JI+1,2依+?）

調遞減遞減

對稱軸方程：

對稱對稱軸方程：*_以無對稱軸

71

性x=lot—對稱中心把

2對稱中心（依+］,0）

\2，U）

keZ對稱中心(-0)

【三角函數、三角恒等變換與解三角形】

1、角度制與弧度制的互化：角度+180Ox?；《?兀x1800角度

(1)it=180。，1。三，1弧度=(吧)。=57.3O=5718

18071,?y

（2）圓心角弧度：|a|，;扇形面積公式：S=h-Rsina（+）

11R-------------------12

2、三角函數定義:角a終邊上任一點（非原點）P（x,y）,淡他

則：sina=2,cosa=￡,tana=2三角函數符號由才字（如疝鞭）cosa(+)

X，

3、誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”

4、特殊角的三角函數值

ftitJTft3K

.0ft2jr

67

1

3.0正i9>10

C?W1正20-101

2

tana01730f、〃白0

5、同角三角函數的基本關系：sin2x+cos2x=1；sin'=tanx

COSx

6、兩角和與差的正余弦，正切公式：

(cos(a+^)=cosacosB-sinasinI；枷a+B)=sirucof+c(ms呻.,n(a+0)=禺虢繇

aa

[cos()=coscos+sinsin[sin(t-p)=siraco^3-co$xsin(3

tan(a-p)=tana-tanP

1+tanatanp

2tana

7、倍角公式：sin2a=2sinacosa；tan2a=；

1-tan2a

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

1-cos2a,sinacosa=〔sin2a

=（降寨公式）eg一年⑼3=

22

8、輔助角公式：asinx+Z2cosx=J〃2+Z72sin(x+(p)，其中tan(p=?

，a

()=6=><[>=：；"/71?b1nQ

=<P=_?

3a36-a4

4

9、正弦定理a=b=c=2R(2R是AA8C外接圓直徑)

sinAsinBsinC

邊化角：a=2RsinA,h=2RsinB,c=2RsinC

角化邊：sinA=_^_，sinB=_^_?sinC=c

2R2R2R

11、余弦定理：在AABC中，―次+s也“OSA，

拉=e+e-2aoeosB'C2=。2+。2-2a6cosc?

推論：cosA=以型2一*.,B=F———'cosC="2+"-

2bcCOS2ac2ab

12、三角形面積公式：S=-absinC=-/?<?sinA=-acsinB

isABC222

【平面向量】

1>平面向量的坐標運算:設￡=(4);)，ci=(x^y)，

①7+方=(尤+尤+y)?②￡一萬二(x-x-y)?(§)九1（菽,Xy）?

1212Z、12，Z1'/

,,，)，則AB=OB-OA=X-x,y一

A(x,y),B(x(y”產卜代一M）2+3J?

11222121

2、向量的三角形法則與平行四邊形法貝灰L…7

^AC+CB=AB（尾首接，首尾連少27/NS'

⑵08-04=AB（同起點，爭向期工--J_Ja

aa

3、重要性質：設方=G,y\^=（x,），）-

n±^<=>^-->=O<=>x+y=0②證明平仃:3〃萬o"=九-oxy-xy=0

abah

③求向量的模T>2—-④求夾角：為IXX+“221

a=|a|2=x2+y2COS。=_____=?°『？_

1|aI」WJ#+,.我+咚

⑤a.0=xjc+yy;”力=卜|.卜|cos9（9為。與。的夾角）

一"【不等式】

1、均值不等式（一正二定三相等）（積定和最小，和定積最大）

（1》-若a，bGR，<Z2+Z?2*>2ab（當且僅當a=8時等號成立）

若x，>eR+，貝!lx+y?2j^（當且僅當x=y時等號成立）

（2）若a，beR，則必<（a+/?）2<〃2+優（當且僅當4=。時等號成立）

4—2

2、目標函數的類型：（判斷出+為+C>0（或<0），觀察B的符號與不等式開口的符

號，同上異下，或代點計算）①愉距"型：z=Ar+如②“斜率”型：z/或z=T；

xx-a

③“距離”型：z=X2+y2或Z="尤2+產；z=（x-a）2+（y-與2或Z=J（x_42）2+（y-/?）2.

【數列】

1、數列的通項公式與前n項的和的關系

a=11,（數列｛a｝的前n項的和為s=a+a++〃）

?I5-s,n>2""12n

2、等至藪。的有關性質

(1)定義：a]—a=d(常數)(2)通項公式:a=a.+(n-1)d—a^n-m)d

。前n項布W式：地中(…

3="、1■"i=na+-----------a

212

@若m+n=p+q，那么。+a=a+a6等差中項：2A=a+b；2a=?+at

mnpqn"+1M-1

5

{〃}等差數列，則S,s一s,s-S仍成等差

〃k2kk3k2k

3、等比數列的有關性質

（I）定義:工=g（常數）通項公式：a=aq?-i=aqn-m

an1tn

0前n項和公式：卜q=1

5齊〃。[二伏）=?！?。9qx

1

,,I~i-q

辱觸贖K+['則⑹等比中項：G2=ab；a2=aa

nn-1〃+1

。3則"—鼻一%仍成等比數列?（qW—l或人為奇數）

【立體幾何】

1、柱體、椎體、球體的側面積、表面積、體積計算公式（利用長方體與正方體模板）

圓柱側面積=2兀〃，表面積=2獻+2”2圓椎側面積=?！?表面積=兀〃+口2

v=1s〃（S是底面積、/?是高）v=1s/2（S是錐體的底面積、力是錐體的高）.

柱體3錐歸5

球的半徑是R,則其體積"雪依，其表面積S=4兀H2.注意：s=2』

v

-3原圖形直觀圖

2、線線位置關系：平行、相交、異面。面面位置關系：平行、相交。

線面位置關系:直線在平面內、直線和平面平行、直線和平面相交。

3、平行的判定與性質

（1）直線與平面平行的判定（2）平面與平面平行的判定

判定定理：平面外一條直線與此平面勺的判定定理：一個平面內的兩條相

交直線與

一條直線平行，則該直線與此平面平To另一個平面平行，則這兩個平面

彩仃。]a*ca1

?叫一Csb="l

3/

（斗）直線與平面平行的性質（4）平面與平面平行的性質

性質定理：一條直線與一個平面平行則過這性質定理：如果兩個平行平面

同時與

條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行第三個平面相交，那么它們的

交線平行_____,

aP]/a-------a/

“斤01b/pbany=a=>ab

anP=IlII[

7、垂直的判定與性質C

BY="II

（5）直線與平面垂直的判定（6）平面與平面垂直的判定

判定定理：一條直線與一個平面內的兩條判定定理：一個平面過另一個平

面的一條

相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。垂線，則這兩個平面互相垂直。

pm

y-

6

aua

bUOL

m_La

I

mLa'\

mLb

(7)直線與平面垂直的性質定理(8)平面與平面垂直的性質定

理

性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.性質定理：兩個平面垂直，則一

直于交線的直線與另一個平面

ac0=耳=

aLb

1、斜率公式：①…(J例甥服點P(x,y)、

P(x,y))

kn&_1=tana|aw—|11i222

x—%[2)

②曲線y=f(x)在點尸(；,J)處的切線的斜率k呼QY

0v00o

2、直線的五種方程(一般兩點斜截距)

(1)點斜式丫-7=總-\)(直線/過點平”且斜率為A).

⑵斜截式y=I+8(b為直線/在y軸上而篇距).

⑶一般式Ar+8y+C=0(其中A、B不同時為0).

3、兩條直線的平行和垂直

(1)若/：y=kx+b>I：y=kx+h①/||/ak=k,bob②/_L/akk=-1

11122212121251212

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，暈注意斜率的存在與蕊、

(2))若/\Ax+By+C=0\Ax+By+C=0,且A、A、B、B都不為零，

111122221212

(I)////<^AB=A8且(2)/和/相交OA5WA3；

12k2211221121221

(3)/和/重合=A5且3c=BC；Q)/1/oAA+BB=0?

注：①與直線/：4+為+。=0本行的直線可表示為Ax+Bj+C=0；

②與直線/：Ax+8y+C=0垂直的直線可表示為8x-Ay+J=0；

4、距離公式

0平面兩點間的距離公式：d=J(x-x)2+(y-y)2(A(x,y)，B[x,J)).

V21211122

0點到直線的距離："JAy44q(點P(x,v),直線/：Ar+3y+C=0

/A2+B20°

<3)平行線Ax+By+C=0和Ax+B)，+C=0的距離公式,l￡cSL

11TAZB：

5、圓的方程

(i)標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心S/)；半徑廠

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>^?圓心幺二)；半徑「=△-凄”尸

^2^22

7

6、直線與圓的位置關系：直線Ar+By+C-0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2

d>r=相離=△<()；4=7=相切=△=()；

d<r<=>相交oA>0.弦長=2Jr2-d2,其中Q=中+劭+Q.

J-2+B2

7、兩圓位置關系：設兩圓圓心分別為0,0,半徑分別為r?r,po\=d

1212I1

①d>.+qo外離o4條公切線；②d=.+qo外切o3條公切線

③|廠1<d<1+r2Q相交o2條公切線；④d=內切o1條公切線；

⑤0<d<匕-q|o內含。無公切線.

注：①圓山鉆線方程：過圓工2+y2=r2上的「廣心。)點的切線方程為+y0y=r2；

②圓上的動點到圓外的點或直線的最長距/(［：「)或最短距離(；一J

8、橢圓的幾何性質

癡ftAA?Lt在在在ja1

在平科與兩個定點4H的距主等于家數入的點“的隨跡M中,必1|?幼

■

I3M

眺K$r,

v"X2

標址方程143T(a>b>0)p-4-y-1(4Ab>0)

題用-3<x<iJLa<y^a

A(-aO)、AM0)AJO.-ahA；(Qa)

*2

B"0.孫B.(b.Q]

**￥&=*長率*M=2a

4(Y,0)、K(C,0)?行(0，Y),K(0,c)

在工年上=W港萬空中VX的分叁配大；

二■■的住之在J差上=林每方叁4\14為分母較大.

疑|耳￡|=左"'=〃_/)

關于加J仙原力對賽

國心平“V1).X-tyWM'iSH.fiLtiAJS

9、雙曲線的幾何性質

動層P到定點廣的儂與毋像6蝠的

取

距離d相藩融3遴.即|"|一〃

總由的as-上自a/j編上

住互傳古ySteT對)曲修半軸

在￥■內與兩個anF,_瑪的龜—Z三的域對色萼2aKAM的*統|"FJ-卜”.|■M

f=2/7i1<p>0>i*=-2/nCp>0)

小；朱

KME此￡■^ZI

/苛

標^-y=l(a>Q,fr>0)儂訪ao0)

四。3)

苞國x?75?.i>a.yQR工yNa.xsJi住三季小mf)

3點A"-a⑼、AJqO)AJOyj、A、(O,aj

離心率。=1

,長五飛的長=2a1■的長=2。

時建仝關于工時、下無利古?關于良點中￡時若對赤性美于i加描

露點元!f0)、八<。0)幾("由文F(fiU?E)

后走優月|=2c(a=a-?6K|D2|=2廣

?d

導旺岳?川寐口”>I1iY

?^程1e

b,a

線萬程》-±三)'-±L您半校陽-%+§問f

3、拋物線的幾何性質

動WP到定坐F作魚!!!”宜力反HT3TM，；

即網;d

JK14ss.，.他負健

「=2戶Cp>Q),i:~~2px(j?>0)

匯”

m)u1uL

1n二8

0(0.0)

注：①直線與圓錐曲線相交的弦長公式：|AB|=’⑴.2)［「(”x)24xx］=Z777?

②焦點三角形處理方法：定義+勾股定理+正余定理

③過拋物線焦點的弦長|A8|=x+匕、+￡=x+x+P

122212

④若雙曲線方程為￡1-密=1n漸近線方程：星-接=0=)，=±Lr?

。2。2a

⑤若漸近線方程為八±外。?0=＞雙曲線可設為政謠工

【懶阜他計】

1、看圖注意縱軸標識

(1)頻率分布直方圖：(1)頻率=空義組距(2)頻率是長方形的高(3)頻

組距組距

率=頻數

一總數

(2;平均數=各長方形底邊的中點坐標X各長方形的面積的和：

X=x^py+Xj)2+...+xpn

國微毓鬻辨鬻耦醯轆藪整髓坐標

(5)方差：S2=i_?一矛1+Q-尤\+....+Q_丁)］作用：衡量數據波動程度

n12"

2、回歸方程必過定點__=19廣松5一，其中—-1X

y=a^bx（京,）?-----------x=-JT,y=-

i2L,r2-nx2〃.1『n；-i

//=1u

a=y-bx2X洌聯表

注：①心得知越大，說明殘差平方和越小，則模型抵否構越力孑起計

②R2越接近于I,則回歸效果越好。VTb?*b

卡方統計量：一此八兒g，其中”〃+〃+，+〃

XJ

(a+b)(c+d)(。+c)(b+d)

隨機變量K2越大，說明兩個分類變量，關系越強；避,i*b*c-d

古典概型：p(A)=A包含的基本事件的個數；幾何概型：P(A)=--事件4的區域長.度一(”面積或體視一

基本事件的總數—全部結果的區域長度(面積或體積)

9

【簡易邏輯、復數】

1、邏輯聯結詞：或（V）,且（A），非（「）

若“A,/為真，當且僅當p、q均為真；若pvq為假，當且僅當p、q均為假;

若「p為真,當且僅當〃為假；

全稱命題P*VxGM,p（x）9全稱命題P的否定「P*3xGM0

特稱命題P：HreM,p（x）；特稱命題P的否定「P：VxGM,-ip（x）5

2、原命題：若A，則8;逆否命題：若「B，則Y

命題的否定（非〃）：若A，貝MB（命題的否定條件不否，結論否）

逆命題:

函數—次函數y=Q才2+Z?x+c（〃也c是常數，〃W0）若B，則

圖象a>0a<0A；否命

題：若

Y，則

Y（否命

題是條件

和結論全

否）

3、充分與

必要條件

①若

p=q'

qnp，則

p是q的

充分不必

要條件；②若pnq,qnp,則p是4的必要不充分條件

年唐p=>q,q=p，則〃是4的充要條件；④若pnq，q=p,則p是《的既不充分也

不必要條件

4、復數部分：(1)/2=_1,若z=a+bi

①a為實部，b為虛部，|z|=y|a2+b2>其共軻復數z=a-bi

②z=a+Z?i且在復平面內對應的點的坐標為(a,Z?)

(2)若z=a+bi，z=c+di

12

/z+z=(a+c)+(Z?+d)i；z-z=(a-c)+[b-d)i

②；(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad

z?z=(ac-bd)+(ad+bc)i—=____.,、=_________+_________

12z(c+di)(c-di)C2+d2z

2C2+〃2

10

￡

\，/0X

0

開拋物線開口I可上，并I可上無拋物線開口I可下，并I可下無限延

口限延伸；伸；

對稱

軸

對稱軸是x=-上，頂點坐標是（.2,竺士）；

頂2a2a4a

點

性仕河橋相削左側，即當在對稱軸的左側，即當XV—二

XV_2時，y隨X的增大而

時，隨的增大而增大；在對

增減2ayx

減小；在對稱軸的右側，即稱軸的右側，即當圖時，

性x>—y

質當x>一b時，y隨X的增大

隨