韶關學院2014-2015學年第一學期

《概率統計》(公共課)復習題

1.P3-4互斥的定義

2.P14幾何概型，例1.11

3.P19-20貝葉斯公式，例1.19

4.P28習題4

5.P30習題33

6.P40泊松分布的分布律

7.P44-45例2.9

8.P49標準正態分布的密度曲線圖形

9.P51正態分布的3o?原則

10.P52標準正態分布的上a分位點的定義

11.P56習題2

12.P58習題16(1),18,

13.P60習題44

14.P61習題47,49,50

15.P85-86習題13,19(1)

16.P110泊松分布的期望與方差，正態分布的期望與方差

17.P111習題7

18.P116-117切比雪夫不等式的應用，例5.1

19.P131-13272(〃)分布的定義，密度曲線圖形及上。分位點的定義,

t分布的定義，F分布的定義

20.P133樣本均值的期望與方差

21.P136習題6

22.P138-139矩法估計，例7.1

23.P140-142極大似然估計，例7.5

24.P144-145無偏估計量的定義

25.P152習題7

26.P153習題14

P28第四題

4.設4,8為隨機事件，且尸(/)=0.7/(/-8)=0.3,求尸(48).

【解】P(48)=1-P(48)=1-[P(X)-P(力-8)]

=1—[0.7—0.3]=).6

P33第33題

33.二人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為L,求將此密碼破譯出

534

的概率.

【解】設4=｛第i人能破譯｝01,2,3),貝IJ

p(U]，.尸(4//、)=I-P(4)P(4)P(/3)

"I

4---23

=1-----x-x—=0.6

534

P56第2題

12.設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣,

以*表示取出的次品個數，求:

(1)X的分布律；

(2)X的分布函數并作圖：

(3)

P{X—}SP{\<X^—],P{\X—},P{1<X<2].

222

【解】

X=0,1,2.

C：a22

P{X=0)=3-,

CIS35

故X的分布律為

X012

p22121

353535

(2)當xvO時，F(x)=P(X4)=0

22

當0Wx<l時、F(x)=P(XWx)=P(A=0)=—

35

34

當lWx<2時、F(x)=P(XO=P(A=0)+P(A=1)=—

35

當x，2時，F(x)=P(XWx)=1

故X的分布函數

f0,x<0

0<x<1

35

F(x)=,

34

1<x<2

35'

1,x>2

I

(3)

122

P(X<-)=F(-)=----?

2235

333434

P[\<X<>一)=尸(一)一尸。)=——--=0

223535

3312

P(14XM-)=P(X=1)+P(1<XM—)=—

2235

341

P(1<X<2)=F(2)-F(l)-P(^=2)=1----=0.

3535

P58第16(1)

L16.設某種儀器內裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數為

100

x>100,

小尸4x

[0,x<100.

求：⑴在開始150小時內沒有電子管損壞的概率;

(2)'在這段時間內有一只電子管損壞的概率；

(3)'F(x).

【解】

?solOO

(1)P{X<150)=f——dx

J1002

v3

28

P1=[P(X>150)]3=(一)3--------

327

第18題

18.設隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布.現對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測

值大于3的概率.

【解】X~U[2,5],即

2MxV5

/(x)=43

[o,其他

512

P(X>3)=f-dx=—

L33

故所求概率為

22，1323_20

〃=C；(一)2_+C(_)3

33327

P60習題44

44.若隨機變量X在（1,6）上服從均勻分布,則方程”+31=0有實根的概率是多少?

【解】

I—,1<x<6

I/（x）=45

[o,其他

24

P^X-4O）=P^X之2）+「（JTM-2）=P（X之2）=一

5

P61習題47,49,50

47.某地抽樣調杳結果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態分布，平均成績為72

分，96分以上的占考生總數的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.

[解】設X為考生的外語成績，則PN（72,a2）

(X-7296-7224

0.023=P、X>96)=P--------------->----------------=1-3(——)

1b<T)b

24

故O(——)=0.977

CT

查表知=2，即CT=12

從而X?N(72,I122)

f60-72X-7284-72

故「(60EX484)=P----------------4---------------M---------------

I121212

=3(1)—<1>(-1)=26(1

=0.682

49.設隨機變量X在區間（1,2）上服從均勻分布，試求隨機變量Ae2y的概率密度力（以

_.,_f1,I<x<2

【解】/X(x)=<

[0,其他

因為P=1,故P<e2<K<e4)=1

2

當y^c時Fy(y)=代丫￡尸)=0.

2X

當e2P<€時，Fr(x)=P(Ky)=P(e?y)

=F(1<XJIny

2

-少,1

=[dx=-Iny—1

2

當yNe’時，Fr(y)HP(Y?y)=1

電尸工/

14

即Fr(y)=j--In-1,e<y<e

I2

[1,yNe，

14

,.f—，e<^<e

故/rU)=12>

0,其他

50.設隨機變坦X的密度函數為

一le,%N0,

[0,x<0.

求隨機變量的密度函數力3).(1995研考)

【解】p(間)=i

當yWl時，Fr(y)=P(Yy)=0

當介1時，4。)=P(Y?))=P(eT?川=P(X?Iny)

f1

1-----?y>I

即y

[o.Xi

i

,,—>y

故fr(y)=y

P85-86習題13,19(1)

I13.設二維隨機變量(x,y)的聯合分布律為

258

0.40.150.300.35

0.80.050.120.03

(1)可與關于x和關于丫的邊緣分布；

(2)X與Y是否相互獨立？

【解】(i)x和丫的邊緣分布如下表

258

P{Y-yt}

0.40.150.300.350.8

0.80.050.120.030.2

0.20.420.38

?{X=xt}

(2)因尸{X=2}1-.1}=0.2x0.8=0.16*0.15=P(,X=2,7=0.4),

故X與丫不獨立.

19.設隨機變量(x,y)的分布律為

X012345

000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

2[0.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05

(1)求尸{X=2IY=2},P{Y=3I心0}；

.s.,、尸{*=2,r=2}

【解】(1)P[X=2|r=2)=------------------------

P{Y=2)

P{X=2,r=2}0.05

-5——9

「0.25：

XP{X=…2}

，=o

P{Y=3,X=0}

P{Y=3\X=0}=--------------------------

P{X=0}

I

p{x=o,y=3}o.oi

￡P(x=o,y=>}003?一

Pill習題7

7.設隨機變量X,y相互獨立，且￡(X)=E(Y)=3,O(X)72,D(r)=16,求E(3X-2Y),

DC2X-3Y).

【解】(1)E(3X-2Y)=3￡(Jf)-2E(r)=3x3-2x3=3.

(2)D(2X-3r)=22D(X)+(-3)2Dr=4xl2+9xI6=192.

P136習題6

6.設總體X服從標準正態分布，X,X?,…,&是來自總體X的一個簡單隨機樣本，試問統

計量I

(,1)±X：

六二---且——,n>5

n

/■6

服從何種分布？

【解】/=EX；~/2(5),/；=ZX；~X\n-5)

/-I”

且/與小相互獨立.

所以

y2/5

Y=一~F(5,n-5)

X；/一

P152習題7

7.設M，匕是從正態總體N(〃，。2)中抽取的樣本

211311

萬]=一*]+_*2；/2=一片1+_*2；03=_*]+_#2；

334422

試證品,萬2,凡都是〃的無偏估計量，并求出每一估計量的方差.

?，“E.，八(21)2121

【證明】(1)￡(，］)=：EI—Xx+一為2Ih—E(Xx)+—E(X2)=一〃?—〃h幺,

(331J3333

E(凡)-E(*J+三￡(*2)=〃，

44

歷(凡)=+(%2)=7/,

22

所以a,萬z,晶均是〃的無偏估計量.

2

(2)D(//,)=+D(X2)=--Xa=——,

Q(a)=［：］D(x,)+i1］

力(H)=(O9。A(2)^—

P153習題14

14.設總體x的概率分布為

X0123

P022絢-舟?1-20

其中仇0?9＜工)是未知參數，利用總體的如卜樣本值3,1,3,0,3,1,2,3,求19的矩估

2

計值和極大似然估計他.

【解】

-43ix

(l)￡(X)