-#-高二第二學期期末考試理科數學試題

一、選擇題：本大題共小題，每小題分，共吩。在每小題給出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項。已知集合A：、、'「；：：，二：、；「貝UAAUB=0 州.=(-4,0) ACB={0}ADB【答案】【解析】【分析】先化簡集合A,再判斷選項的正誤得解【詳解】由題得集合A=：'、?<'、<?所以'J…：?<'、<：或'、、：，AHB={0},故答案為：【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力已知比=1-1(為虛數單位，貝物=A=l+i =BB1Ci1D【答案】B【解析】【分析】1-i由題得/一，再利用復數的除法計算得解11-1(1-1)11+1【詳解】由題得/ ： ，故答案為：B1J-1【點睛】本題主要考查復數的運算，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x2+l,則貝T)=A1=B= =2【答案】【解析】【分析】利用奇函數的性質求出-1)，的值【詳解】由題得好1)=-。1)=-(廣+1)=-2,故答案為：【點睛】 本題主要考查奇函數的性質，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力奇函數X下列命題中，真命題是若'；?、ER，且X\2,則X\、中至少有一個大于1下X.ER丁X、-下X匕=。的充要條件是二0下X：n￡N 二【答案】【解析】【分析】逐一判斷每一個選項的真假得解【詳解】對于選項假設xW1,yW1,所以x賓2,與已知矛盾，所以原命題正確當x射，2xx,故錯誤.當 時，滿足 ，但1-1不成立，故 的充要條件是1-1錯誤，Vx￡R,x>o故mx￡R,e'。三.錯誤，故正確的命題是A故答案為：【點睛】（1）本題主要考查命題的真假的判斷，考查全稱命題和特稱命題的真假，考查充要條件和反證法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力（2）對于含有“至少”“至多”的命題的證明，一般利用反證法因為對數函數丫=1。82乂（2>0且2#1）是增函數，而丫―'團'是對數函數，所以丫—1°8仍是增函2 2數，上面的推理錯誤的是大前提小前提推理形式以上都是【答案】【解析】【分析】由于三段論的大前提“對數函數' 二口，：是增函數”是錯誤的，所以選【詳解】由于三段論的大前提“對數函數'9個:，:目，：是增函數”是錯誤的，只有當時，對數函數 才是增函數，故答案為：TOC\o"1-5"\h\z【點睛】 本題主要考查三段論，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力 一個三段論，只有大前提正確，小前提正確和推理形式正確，結論才是正確的已知向量a=(x2—1,2+x)，6=(*1)，若@〃3，貝收=1 廣 1T彳諄 -DZ 乙【答案】【解析】【分析】根據〃得到(xM)，1-(x+2)，x=0,解方程即得的值【詳解】根據〃得至此、二；'、、-x；：.?.2xr-故答案為：【點睛】 本題主要考查向量平行的坐標表示，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力 如果1=1，%),=2色)，則］I的充要條件是X/2—乂2%=。2若二項式(xL-)”的展開式中二項式系數的和是，則展開式中的常數項為X-240 -160【答案】【解析】【分析】由二項式定義得到二項展開式的二項式系數和為2,由此得到，然后求通項，化簡得到常數項，即可得到答案【詳解】由已知得到y=「；4,所以n32所以展開式的通項為，二「戶’；二；「、八 ”X令l>3f="得到「4’所以展開式的常數項為」;「1：2：「故選【點睛】本題主要考查了二項展開式的二項式系數以及特征項的求法，其中熟記二項展開式的系數問題和二項展開式的通項是解答此類問題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題把邊長為1的正方形ABCD沿對角線D折起，使得平面ABD，平面CBD,形成三棱錐OABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為

【答案】【解析】取的中點E連結???平面，平面?J三角形直角?J三角形直角△是三棱錐的側視圖，???△的面積???△的面積P二1"在1-X—X—,22 24故選:某班級有名同學去報名參加校學生會的項社團活動。若甲，乙兩位同學不參加同一社團，每個社團都有人參加，每個人只參加一個社團，則不同的報名方案數為【答案】【解析】【分析】依題意，分U」」、3）和;22：兩組，先分組，后排列，最后求和即可【詳解】依題意，名同學可分為兩組，第一組為」」」.3）,利用間接法，有；；二A：二八種，第二組為;一"利用間接法，有Cjx第二組為;一"利用間接法，有CjxA；=932所以分類計數原理，可得S*,；」 「」種，故選【點睛】本題主要考查了排列、組合及簡單的計數原理，著重考查了分類討論思想和轉化思想的應用，以及推理與運算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關鍵 xy 一 一一 1 ? 一 ,，已知雙曲線C：--=1（&>0上>0）的離心率圓的圓心是拋物線y= 的焦點，且截a2b2 8雙曲線的漸近線所得的弦長為2則圓的方程為x2+(y12x2+(y12—)32656426564x2+(y-2)2=2【答案】【解析】【分析】運用離心率公式和基本量akc的關系可得「的關系，即可得到雙曲線的漸近線的方程，求得拋物線的焦點坐標，可得\點的坐標，求得''到漸近線的距離，結合弦長公式，可得半徑為，進而得到所求圓的方程TOC\o"1-5"\h\z【詳解】由題意、,-，即c， ,ab 廠可得雙曲線的漸近線方程為' 一、；，即為、 卜,a12圓的圓心是拋物線' 的焦點，可得',」「、.：，O圓'、.截雙曲線的漸近線所得的弦長為2由圓心到直線'/、、的距離為。T=,V3+1可得？=?產—1,解得：也，可圓的方程為、；'「、二'二，故選【點睛】本題主要考查了雙曲線的方程和幾何性質的應用，其中解答中涉及到雙曲線的離心率的求法，圓的標準方程的求法，以及運用點到直線的距離公式和圓的弦長公式等知識點的綜合應用，著重考查了推理與運算能力5設隨機變量」：、：「；：；、若二：了則二：的值為()TOC\o"1-5"\h\z32 11 65 1681 27 8C 8D【答案】【解析】、 0, 、2 5 「I1, 、 q24 7： \" 11p化>i)=1—PC=。)=1—C機一p)2=g,則Ijp=；PS>2)=i-cjc-)4-^-k-)-=—oJ J -3 -i：3-Li'1已知函數f(x)=eX-2mx+3的圖像為曲線，若曲線存在與直線y=§x垂直的切線，則實數的取值范圍是G+s) (B88 卜W S.【答案】【解析】【分析】求函數的導數，利用導數的幾何意義以及直線垂直的等價條件，轉化為e'Tm=-3有解，即可得到結論【詳解】由題意，函數2的導數:、2：二，1若曲線存在與直線'、了垂直的切線，則切線的斜率為k=e'Tni*滿足/e.Tm)=T,即/Trn=-3有解，3因為？ni=e'+3有解，又因為、「二、，即二：二，3所以實數''的取值范圍是: 一，故選【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用，以及方程的有解問題，其中解答中把曲線1存在與直線'T垂直的切線，轉化為6-23=-%有解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力二、填空題：本大題共小題每小題分共分。71J.+cosx)dx等于兀2【答案】「2【解析】TOC\o"1-5"\h\z兀 n2 2 兀試題分析：J(1+cosx)dx=2，(1+cosx)dx=2(x+srnx)2=兀+2兀。 02考點：定積分下表提供了某學生做題數量（道）與做題時間（分鐘）的幾組對應數據:（道）（分鐘）根據上表提供的數據，得關于的線性回歸方程為=。入+0.35,則表中的值為_【答案】【解析】【分析】現求出樣本的中心點，再代入回歸直線的方程，即可求得的值_3+4+5+6 _2.5+t+4+4,511+t【詳解】由題意可得、——：——：、' 因為對的回歸直線方程是：7x+。3匚11+t所以 ，解得t=3【點睛】本題主要考查了回歸直線方程的應用，其中解答的關鍵是利用回歸直線方程恒過樣本中心點，代入求解，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題某班有 名同學，一次數學考試的成績服從正態分布用110,10，已知P（100三X三110）=0.34,估計該班學生數學成績在 分以上有人【答案】【解析】試題分析：由題設 120）=034所以三三:二；二=二—二三二三二二二；：二；上故；上故應填考點：正態分布的性質及運用.【易錯點晴】正態分布是隨機變量的概率分布中最有意義最有研究價值的概率分布之一本題

這個分布的是最優秀的分布的原因是從正態分布的圖象來看服從這一分布的數據較為集中的分分布在對稱軸二二二的兩邊而且整個圖象關于二二對稱所以解答這類問題時一定要借助圖象的對稱性及所有概率（面積）之和為［這一性質否則解題就沒了思路這一點務必要學會并加以應用71已知函數:、、二'X-、：'、、的圖像關于直線'、-對稱，則L8【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結合題意可得=47，即可求解，得到答案【詳解】由題意，函數1工）= ，兀71 元—sm—+acos-71 元—sm—+acos-4 4冗所以f（-鼻）O兩邊平方得⑦+1/=。，解得：L-解：（15/fjc）=占加2七十。仃。52H=馬/加（2區+白|（tan&=（i）.?「圖象關于直線工二-二對稱，—— 【點睛】本）1=1—占片+日式口嚀1二卜苧+乎 .兩邊平方得..（a-1-1）2=0,即□=—1；題主要考查了三角函數的圖象與性質的應用，其中根據輔助角公式把函數化簡為三角函數的形式八："是研究三角函數性質的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題三、解答題：本大題共小題，共分。解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟。在銳角三角形4c中，角-EC的對邊分別為:ikc，且、二二'、.c、、、A；：（）求角A的大小；（）若=V3,sinB=3smC，求a的值【答案】（）”（）6【解析】【分析】

利用二倍角公式化簡sm2A-cosA=0即得 的值 先利用正弦定理化簡smB=后smC得「，再利用余弦定理求的值【詳解】⑴"sin2A-c0sA=0,**-2sinAcosA-cosA=0 ，cosA（2sinA-1）=0TOC\o"1-5"\h\z 1 冗又因為為銳角三角形，，c。」,；：,，、：，..'、-,.<=-\o"CurrentDocument"2 6⑵正、：「、，G：,%。6= ,r '.DCCO'、：\\ :小：「卜.」co、一,,：a=l6【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力某學生社團對本校學生學習方法開展問卷調查的過程中發現，在回收上來的 份有效問卷中，同學們背英語單詞的時間安排有兩種：白天背和晚上臨睡前背。為研究背單詞時間安排對記憶效果的影響，該社團以的比例對這 名學生按時間安排進行分層抽樣，并完成一項試驗，試驗方法是：使兩組學生記憶個無意義音節（如 均要求剛能全部記清就停止識記，并在小時后進行記憶測驗。不同的是，甲組同學識記結束后一直不睡覺，小時后測驗；乙組同學識記停止后立刻睡覺，小時后叫醒測驗。兩組同學識記停止小時后的準確回憶（保持）情況如圖（區間含左端點不含右端點）。甲組（白天識記）乙組（睡前記憶）甲組（白天識記）乙組（睡前記憶）（）估計 名被調查的學生中識記停止小時后個音節的保持率大于或等于 的人（）估計 名被調查的學生中識記停止小時后個音節的保持率大于或等于 的人數；（）從乙組準確回憶個數在N3nmx=l+1。'范圍內的學生中隨機選人，記：能準確回憶（）從乙組準確回憶個數在N3（）從本次試驗的結果來看，上述兩種時間安排方法中哪種方法背英語單詞記憶效果更好?計算并說明理由。【答案】（1）180；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖能求出1000名被調查的學生中識記停止8小時后40個音節保持率大于等于60%的人數；（2）由題意知的可能取值為。」23,分別求出相應的概率，由此得到隨機變量的分布列，求解數學期望；（3）分別求出甲組學生的平均保持率和乙組學生的平均保持率，由此得到臨睡前背英語單詞的效果更好.【詳解】（1）因為1000X5%=50,由圖可知，甲組有4+10+8+4+2+1+1=30（人）所以乙組有20人，又因為40X60%=24,所以識記停止8小時后，40個音節的保持率大于或等于60%的甲組有1人，乙組有（0.0625+0.0375）X4X20=8（人）所以（1+8）：5%=180（人），估計1000名被調查的學生中約有180人.（2）由圖可知，乙組在［12,24）范圍內的學生有0.025+0.025+0.075X4X20=10（人）在［20,24）范圍內的有0.075X4X20=6（人），的可能取值為012,3C6C41 3P(X=0)= =—,P(X=1)= =—「3 301 ' 03 10=10 -1001231303101218C/1c3coC6c41P(X2) P(X=C 2Jo，，，Jo所以的分布列為1 3 1 1 9E(X)=0x——+1X—+2x-+3x-=-30 10 2 6 5(3)2X4+6X10+10X8+14X4+18X2+22X1+26X1=288甲組學生的平均保持率為一,,、=乂。。40x30(6X0.0125+10X0.0125+14X0.025+18X0.025+22X0.075+26X0.0625+30X0.0375)432X4X20=432,乙組學生的平均保持率為 ,40x20所以臨睡前背英語單詞記憶效果更好【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，以及離散型隨機變量的分布列與數學期望問題，其中解答認真審題，合理分析，正確求解隨機變量的取值及對應的概率是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力如圖平面PAC1平面ABC,AC，EC,APAC為等邊三角形PEIIBC過BC作平面交AP,AE分AMAN別于點''設廠-（）求證：MNII平面ABC；（2）求的值使得平面-EC與平面\、.所成的銳二面角的大小為:「【答案】（）詳見解析（2）X=^-l【解析】試題分析：（）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，AMAN而線線平行的尋找與論證，往往需結合平幾條件，如三角形相似，本題可根據工=T得AEAP\\"已’而已"：；，因此kN"（2）利用空間向量研究二面角，首先利用垂直關系建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解兩個平面的法向量，利用向量數量積求夾角，最后根據向量夾角與二面角之間關系得等量關系，求的值試題解析：（）證明：如圖以點C為原點建立空間直角坐標系C-xyz不妨設…—2a-， 1g1小則AN ,『 1 J3 1 后一，.、口，- 一—~由———"得\]1 一，「」」則MN（H-/.LH..N）易知口，-，1）是平面「上”一AHAF 2 2 2 2的一個法向量且、-卜而=。故0,卜而又因為MN《平面ABCP.MNII平面ABCT f 1 [3 T()MN=(0-k|it,O),CM-(l--4A|it—X)設平面CMN法向量為i=(xi，yi，z。貝I」2—93?卜而=0,3&1=0故可取￡=(1,0,0)又4=(0。1)是平面ABC的一個法向量由A/3a扁向 ，|cos0|==為平面ABC與平面CMN所成銳二面角的度數 以及。=45"得2片+4*4=0.InollnJ解得入=由T或％=T-小舍去 故入=出T.考點：線面平行判定定理，利用空間向量研究二面角【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.2 2XV設FJ?分別為橢圓E=十'=l(a>b>C))的左、右焦點，點A為橢圓E的左頂點，點B為橢圓EL1Lab的上頂點，且「王卜二()若橢圓E的離心率為j,求橢圓E的方程；3()設P為橢圓E上一點，且在第一象限內，直線F2P與y軸相交于點Q,若以PQ為直徑的圓經過點，，證明：點在直線x'、二「上.2【答案】()-+y2=l;()見解析3【解析】【分析】根據題意得到關于 的方程組，解方程組即得橢圓的方程. 設P(x°,yo),根據以PQy0y。為直徑的圓經過點一得到、「k；； ，再根據l為橢圓二上一點得1廣C+x0c-x0TOC\o"1-5"\h\z2 2 ?\o"CurrentDocument"xn yn / i--，解方程組得J -J,即證點L在直線'、\二上.\o"CurrentDocument"a24-a2 °2)。 2【詳解】().??點A為橢圓E的左頂點，點B為橢圓E的上頂點，cJa2- !—。.。、-a」))、B")h),又 ，,??&=：/=[,aa32x，橢圓的方程為：一一=132 2、c xy()證明：由題意知/+M=4,從而橢圓E的方程為：；+—=1,則：LALa4-aFj-)，一4，設:、「二，由題意知'、。'，則直線「「的斜率：、「二一直線「P的斜率—，■■■直1C+Xo 2Xo-CTOC\o"1-5"\h\zy0 y0線『、：的方程為： ，當、、"時，\ 「X0-C \)■c/y0\ y0即點7卜——中■??直線-7的斜率:、 ——，:以工為直徑的圓經過點一\ ^0-c/ 1c-xo\o"CurrentDocument"yo yo————化簡得\::。二：：，①廣C+x0c-x0\o"CurrentDocument"2\o"CurrentDocument"一一，，I xoYo _又.」P為橢圓E上一點，且在第一象限內，.??一+——=l,xo,yo>O，②a4-aa2 1由①②解得—?、,'[―,?.F+]"=，即點P在直線x\二「上02 2【點睛】()本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能r，……、，…，…一，，，一，一，… 丫。y。力 本題解題的關鍵是根據以PQ為直徑的圓經過點Fl得到kFp-Kfq= =-11 C+x0c-x0已知函數。\)1nxm\2.U(x)；nn\--x,niER,令卜(xi x一xi1()當m=±時，求函數f(x)的單調遞增區間；()若關于x的不等式F(x)三mxT恒成立，求整數m的最小值；【答案】()遞增區間為(0,1);()最小值為【解析】

1試題分析：()當!n=±時對f(x)求導求其單調增區間；()先化簡F(x)三mxT為F(x)-mx+1三0恒成立問題轉化為求G比)=F，：xLM三T)的最大值來求解9 1 1一又J試題解析：()f(x)=lnx—x>0，f&)=x= ，(x>0)xx由任二。得J.F。又、「所以;；X ，所以fix)的單增區間為(。」)，/ 、R 12八、 r()令G(x)=F(x)-(mxT)=lnx--mx+(l-m)x+12、1 、-mx+(1—m)x+1所以「；\:—nnx-:n: x x當'：；：時，因為、、「所以行㈢。所以GF在。、+。上是遞增函數，3又因為'：；：二二 ；：所以關于'、的不等于n：x不能恒成立當m0當m0時,G'(x)=1m(x—)(x+1)

m,11,1,令「得'【所以當 時，,''、「；當一時，,」'「，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1因此函數,八:在XE；一是增函數，在X「一，：是減函數m m11故函數,z的最大值為,一：—二m2m1 1 1令n；n「一：二二:，因為n；：一；：，n；1一二】；；2m 2 4又因為n；nn在n】￡;；：一：上是減函數，所以當m二？時，n;n;一所以整數二的最小值為考點：導數與單調性；分類討論的數學思想；恒成立問題.【思路點晴】本題第一問是基本的求單調區間問題只需按求函數單調性的方法來求解就可以