2022年江蘇省南通市如東縣中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．下列各數中，比﹣2小的數是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．02．據國家統計局數據，2021年中國國內生產總值約1144000億元．將1144000用科學記數法表示為（）A．0.1144×107 B．1.144×107 C．0.1144×106 D．1.144×1063．下列計算正確的是（）A．﹣＝6 B．+2＝2 C．÷＝2 D．×＝34．下列調查中，適宜采用抽樣調查的是（）A．調查某班學生的身高情況 B．調查某批汽車的抗撞擊能力 C．調查亞運會100米游泳決賽運動員興奮劑的使用情況 D．調查一架“殲10”隱形戰斗機各零部件的質量5．如圖，根據三視圖，這個立體圖形的名稱是（）A．長方體 B．球體 C．圓柱 D．圓錐6．若一次函數y＝kx+b的圖象經過點A（2，0），點B（0，﹣3），則該函數圖象不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若菱形ABCD的對角線AC＝8，∠ABC＝60°，則菱形ABCD的面積為（）A．16 B．16 C．32 D．648．若關于x的不等式組的最大整數解是2，則實數a的取值范圍是（）A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．2≤a＜3 D．2＜a≤39．如圖，正方形ABCD中，AB＝4cm，動點E從點A出發，沿折線AB﹣BC運動到點C停止，過點E作EF⊥AE交CD于點F，設點E的運動路程為xcm，DF＝ycm，則y與x對應關系的圖象大致是（）A． B． C． D．10．如圖，平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），點B（x2，y2）在雙曲線y＝上，且0＜x1＜x2，分別過點A，點B作x軸的平行線，與雙曲線y＝（k＞3）分別交于點C，點D．若△AOB的面積為，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，第11～12小題每小題3分，第14～18小題每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把最終結果直接填寫在答題卡相應位置上）11．分解因式：4x2﹣9＝．12．一個正多邊形的一個外角等于45°，則這個正多邊形的邊數是．13．用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑是．14．《九章算術》中有一道題，原文是“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、雞價各幾何？”意思是：有若干人湊錢合伙買雞，如果每人出9文錢，多出11文錢；如果每人出6文錢，還差16文錢．問買雞的人數、雞的價錢各是多少？設有x人共同買雞，根據題意，則可列方程為．15．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，若這棟樓的樓高BC＝100m，則熱氣球A與該樓的水平距離為m（結果保留根號）．16．若實數m，n滿足m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，則（m﹣n）2的值為．17．平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m+2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ+QM最小值為．18．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉，得△DCE，點D，點E分別與點A，點B對應，邊CE，DE與邊AB相交，交點分別為點F，點G，若，則的值為．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（1）計算：2x（x﹣y）+（x﹣2y）2；（2）解方程：＝．20．如圖，比例規是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳AD和BC交叉構成，利用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短，如果把比例規的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA＝3OD，OB＝3OC），然后張開兩腳，使A、B兩個尖端分別在線段l的兩個端點上，這時CD與AB有什么關系？為什么？21．在一次體操比賽中，6個裁判員對某一運動員的打分數據（動作完成分）如下：9.6??8.8??8.8??8.9??8.6??8.7對打分數據有以下兩種處理方式：方式一：不去掉任何數據，用6個原始數據進行統計；平均分中位數方差8.9a0.107方式二：去掉一個最高分和一個最低分，用剩余的4個數據進行統計；平均分中位數方差b8.8c（1）a＝，b＝，c＝；（2）你認為把哪種方式統計出的平均分作為該運動員的最終得分更合理？寫出你的判定并說明理由．22．有一個質地均勻的正四面體（其四個面是四個全等的正三角形），四個面上分別寫有1，2，3，4這四個整數．（1）拋擲這個正四面體一次，向下一面的數字是2的概率為；（2）拋擲這個正四面體兩次，求向下一面的數字兩次相同的概率．23．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB為直徑作⊙O交AC與點D，過點D的切線交BC于點E．（1）求∠BED的度數；（2）若AB＝6，求圖中陰影部分的面積．24．某商品現在的售價為每件50元，每星期可賣出200件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出5件；每降價1元，每星期可多賣出25件．（1）設該商品每件定價為x元，每星期可賣出y件，分別求出當x＞50和x＜50時，y與x的函數關系式；（2）若該商品的進價為每件30元，如何定價才能使得每星期的利潤最大？請說明理由．25．已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如圖1，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，點B落在點F處，連接CF，設∠BAE＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）在（1）的條件下，延長CF交AD于點G，求△AFG的面積；（3）如圖2，點E是邊AB上的一個動點，將△BEC沿CE折疊，點B落在點F處，連接AF，DF，當△ADF是等腰三角形時，求tan∠BCE的值．26．定義：若兩個函數的圖象關于某一點P中心對稱，則稱這兩個函數關于點P互為“伴隨函數”．例如，函數y＝x2與y＝﹣x2關于原點O互為“伴隨函數”．（1）函數y＝x+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為，函數y＝（x﹣2）2+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為；（2）已知函數y＝x2﹣2x與函數G關于點P（m，3）互為“伴隨函數”．若當m＜x＜7時，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N關于點C互為“伴隨函數”，將二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．下列各數中，比﹣2小的數是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．0【分析】先根據正數都大于0，負數都小于0，可排除C、D，再根據兩個負數，絕對值大的反而小，可得比﹣2小的數是﹣3．解：根據兩個負數，絕對值大的反而小可知﹣3＜﹣2．故選：A．【點評】本題考查了有理數的大小比較，其方法如下：（1）負數＜0＜正數；（2）兩個負數，絕對值大的反而小．2．據國家統計局數據，2021年中國國內生產總值約1144000億元．將1144000用科學記數法表示為（）A．0.1144×107 B．1.144×107 C．0.1144×106 D．1.144×106【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．解：1144000＝1.144×106．故選：D．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．3．下列計算正確的是（）A．﹣＝6 B．+2＝2 C．÷＝2 D．×＝3【分析】利用二次根式的相應的法則對各項進行運算即可．解：A、，故A不符合題意；B、與2不屬于同類二次根式，不能運算，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．4．下列調查中，適宜采用抽樣調查的是（）A．調查某班學生的身高情況 B．調查某批汽車的抗撞擊能力 C．調查亞運會100米游泳決賽運動員興奮劑的使用情況 D．調查一架“殲10”隱形戰斗機各零部件的質量【分析】根據全面調查與抽樣調查的特點判斷即可．解：A、調查某班學生的身高情況適合采用全面調查，故此選項不符合題意；B、調查某批汽車的抗撞擊能力適宜采用抽樣調查，故此選項符合題意；C、調查亞運會100米游泳決賽運動員興奮劑的使用情況適合采用全面調查，故此選項不符合題意；D、調查一架“殲10”隱形戰斗機各零部件的質量適合采用全面調查，故此選項不符合題意；故選B．【點評】本題考查了全面調查與抽樣調查，熟練掌握全面調查與抽樣調查的特點是解題的關鍵．5．如圖，根據三視圖，這個立體圖形的名稱是（）A．長方體 B．球體 C．圓柱 D．圓錐【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．解：根據主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據俯視圖是圓可判斷出這個立體圖形的名稱是圓柱．故選：C．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，考查了學生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力和綜合能力．6．若一次函數y＝kx+b的圖象經過點A（2，0），點B（0，﹣3），則該函數圖象不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】描點、連線，畫出函數圖象，觀察函數圖象可得出該函數圖象不經過第二象限．解：描點、連線，畫出函數圖象，如圖所示.∴該函數圖象不經過第二象限．故選：B．【點評】本題考查了一次函數的圖象，依照題意，畫出函數圖象是解題的關鍵．7．若菱形ABCD的對角線AC＝8，∠ABC＝60°，則菱形ABCD的面積為（）A．16 B．16 C．32 D．64【分析】由菱形的性質可得OC的長，∠OBC＝30°，利用三角函數可得OB的長，從而可得BD的長，利用菱形的面積公式可得答案．解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，∠ABC＝60°，∴BO＝OD，AO＝CO＝AC＝4，∠OBC＝30°，∴OB＝，∴BD＝8，∴菱形ABCD的面積＝×AC×BD＝8×8＝32．故選：C．【點評】此題考查的是菱形的性質，解直角三角形等知識，正確畫出圖形是解決此題的關鍵．8．若關于x的不等式組的最大整數解是2，則實數a的取值范圍是（）A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．2≤a＜3 D．2＜a≤3【分析】首先解每個不等式，根據最大整數解為2，得出表達式的解集為2＜a+1≤3，進一步求解即可得出答案．解：由3x﹣3≤6得：x≤3，解不等式x﹣a＜1，得：x＜a+1，∵關于x的不等式組的最大整數解是2，∴2＜a+1≤3，∴1＜a≤2，故選：B．【點評】本題主要考查一元一次不等式組的整數解，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次不等式的能力，根據不等式組最大整數解得出關于a的不等式組是解題的關鍵．9．如圖，正方形ABCD中，AB＝4cm，動點E從點A出發，沿折線AB﹣BC運動到點C停止，過點E作EF⊥AE交CD于點F，設點E的運動路程為xcm，DF＝ycm，則y與x對應關系的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】分別求出點E在AB、BC段運動時函數的表達式，即可求解．解：①當點E在AB上運動時，y＝DF＝AE＝x，即：y＝x（0≤x≤4），為正比例函數；②當點E在BC上運動時，如下圖，則BE＝x﹣AB＝x﹣4，EC＝BC﹣BE＝4﹣（x﹣4）＝8﹣x，DF＝y，FC＝4﹣y，∵∠B＝∠C＝∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，∴∠FEC＝∠EAB，∴△ABE∽△ECF，即：，即，整理得：y＝x2﹣3x+12＝（4＜x≤8），為二次函數，∵＞0，∴拋物線開口向上，當x＝6時，y有最小值3，當x＝8時，y的最大值為4；故選：C．【點評】本題考查的是動點圖象問題，涉及到二次函數、正比例函數、相似三角形等知識，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解．10．如圖，平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），點B（x2，y2）在雙曲線y＝上，且0＜x1＜x2，分別過點A，點B作x軸的平行線，與雙曲線y＝（k＞3）分別交于點C，點D．若△AOB的面積為，則的值為（）A． B． C． D．【分析】過點A作AF⊥x軸于點F，過點B作BH⊥x軸于點H，先由點A和點B的坐標得到AF，BH，FH的長，然后求得△AOF，△BOH，梯形ABHF的面積，進而結合△AOB的面積列出方程求得x1和x2之間的關系，然后由AC∥BD∥x軸得到點C和點D的坐標，進而得到AC和BD的長，最后得到結果．解：如圖，過點A作AF⊥x軸于點F，過點B作BH⊥x軸于點H，∵A（x1，y1），點B（x2，y2）在雙曲線y＝上，∴AF＝，BH＝，FH＝x2﹣x1，S△AOF＝，S△BOH＝，∴S梯形ABHF＝FH?（AF+BH）＝，∵S△AOB＝S△AOF+S梯形ABHF﹣S△BOH＝+﹣＝＝，∴x12﹣x22＝x1x2，即，令t＝，則t﹣＝，t＞1，解得：t＝2或t＝﹣（舍），∴＝2，∵AC∥BD∥x軸，點C，點D在雙曲線y＝（k＞3）圖象上，∴點C（，），點D（，），∴AC＝﹣x1，BD＝﹣x2，∴＝，故選：C．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例系數k的幾何意義，分式方程，一元二次方程的知識，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數系數k的幾何意義．二、填空題（本大題共8小題，第11～12小題每小題3分，第14～18小題每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把最終結果直接填寫在答題卡相應位置上）11．分解因式：4x2﹣9＝（2x﹣3）（2x+3）．【分析】先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式進行分解因式．解：4x2﹣9＝（2x﹣3）（2x+3）．故答案為：（2x﹣3）（2x+3）．【點評】本題主要考查平方差公式分解因式，熟記公式結構是解題的關鍵．12．一個正多邊形的一個外角等于45°，則這個正多邊形的邊數是8．【分析】根據多邊形的外角和等于360°計算即可．解：360÷45＝8（條），故答案為：8．【點評】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°，正多邊形的每個外角都相等是解題的關鍵．13．用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑是2．【分析】易得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．解：扇形的弧長＝＝4π，∴圓錐的底面半徑為4π÷2π＝2．故答案為：2．【點評】考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．14．《九章算術》中有一道題，原文是“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、雞價各幾何？”意思是：有若干人湊錢合伙買雞，如果每人出9文錢，多出11文錢；如果每人出6文錢，還差16文錢．問買雞的人數、雞的價錢各是多少？設有x人共同買雞，根據題意，則可列方程為9x﹣11＝6x+16．【分析】利用雞的價錢不變，結合“如果每人出9文錢，多出11文錢；如果每人出6文錢，還差16文錢”，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．解：依題意得：9x﹣11＝6x+16．故答案為：9x﹣11＝6x+16．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．15．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，若這棟樓的樓高BC＝100m，則熱氣球A與該樓的水平距離為m（結果保留根號）．【分析】首先過點A作AD⊥BC于點D，根據題意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，設AD＝xm，然后利用三角函數求解即可求得答案．解：過點A作AD⊥BC于點D，則∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，設AD＝xm，在Rt△ABD中，BD＝AD?tan30°＝x（m），在Rt△ACD中，CD＝AD?tan60°＝x（m），∵x+x＝100，解得x＝25．∴熱氣球A與該樓的水平距離為25m．故答案為：25．【點評】本題考查了仰角俯角問題．注意準確構造直角三角形是解此題的關鍵．16．若實數m，n滿足m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，則（m﹣n）2的值為12．【分析】先將m2+n2+m2n2+8mn+9＝0變形為（m+n）2+（mn+3）2＝0，推出m+n＝0，mn+3＝0，然后將（m﹣n）2變形為（m+n）2﹣4mn，最后求值即可．解：∵m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，∴m2+n2+2mn+m2n2+6mn+9＝0，∴（m+n）2+（mn+3）2＝0，∴m+n＝0，mn+3＝0，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝12，故（m﹣n）2的值為12，故答案為：12．【點評】本題主要考查因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解答此題的關鍵．17．平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m+2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ+QM最小值為2．【分析】根據點P（m，m+2）可知，點P在一次函數y＝x+2的圖像上移動，作M關于x軸的對稱點M'，過點M作MP⊥AB于點P，交x軸于點Q，連接AM'，BM'，QM'，利用“垂線段最短“原理，可知此時PQ+QM最小，最小值為PM的長度，利用等腰三角形的性質求解PM'即可得出答案．解：如圖所示，由題意可知，點P（m，m+2）在一次函數y＝．x+2的圖像上移動，一次函數分別交x軸、y軸于點B，A，作M關于x軸的對稱點M，過點M作MP⊥AB于點P，交x軸于點Q，連接AM'，BM'，QM'，∴PQ+QM＝PQ+QM'≥MP，即PQ+OM得最小值為PM的長．∵M（1，1），∴M'（1，﹣1），∵A（0，2），B（﹣2，0），∴M'A＝M'B＝，∴AP＝BP，∴P（﹣1，﹣1），∴M'P＝＝2，即PQ+QM得最小值為2，故答案為：2．【點評】本題考查了最值問題，涉及到一次函數的性質、等腰三角形的性質以及根據兩點坐標求點之間的距離，思考問題時參照“將軍飲馬“模型，根據“垂線段最短“原理，將問題轉化為求垂線段的長度是解決本題的關鍵．18．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉，得△DCE，點D，點E分別與點A，點B對應，邊CE，DE與邊AB相交，交點分別為點F，點G，若，則的值為．【分析】利用勾股定理，求出HB，HF，CF的長度，進而求得EF的長度，利用相似三角形的性質得到比值即可．解：如圖，過點C作CH⊥AB，垂足為H，在Rt△ABC中，sinB＝＝，∴設AC＝3k，則AB＝5k，∴BC＝＝4k，∵AB?CH＝AC?BC＝2S△ABC，∴CH＝＝k，∵＝，∴BF＝＝2k，在Rt△HBC中，∵BH＝＝，∴HF＝BH﹣BF＝＝，在Rt△HFC中，CF＝＝＝k，∵△DCE由△ACB旋轉得到，∴∠E＝∠B，CE＝BC＝4k，∴EF＝CE﹣CF＝，∵∠GFE＝∠BFC，∴△EFG∽△BFC，∴，即＝．故答案為：．【點評】本題考查的是相似三角形的性質，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握解直角三角形的方法，熟練找到對應邊、相似比．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（1）計算：2x（x﹣y）+（x﹣2y）2；（2）解方程：＝．【分析】（1）原式利用單項式乘多項式法則，以及完全平方公式化簡，去括號合并即可得到結果；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．解：（1）原式＝2x2﹣2xy+x2﹣4xy+4y2＝3x2﹣6xy+4y2；（2）方程兩邊同時乘以x（x﹣1）得：4x﹣4＝3x，解得：x＝4，檢驗：當x＝4時，x（x﹣1）≠0，所以原分式方程的解為x＝4．【點評】此題考查了解分式方程，單項式乘多項式，以及完全平方公式，熟練掌握公式、運算法則及分式方程的解法是解本題的關鍵．20．如圖，比例規是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳AD和BC交叉構成，利用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短，如果把比例規的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA＝3OD，OB＝3OC），然后張開兩腳，使A、B兩個尖端分別在線段l的兩個端點上，這時CD與AB有什么關系？為什么？【分析】首先根據題意利用兩組對邊的比相等且夾角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性質求解．解：∵OA＝3OD，OB＝3CO，∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，∴AB＝3CD．【點評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解即可，體現了轉化的思想．21．在一次體操比賽中，6個裁判員對某一運動員的打分數據（動作完成分）如下：9.6??8.8??8.8??8.9??8.6??8.7對打分數據有以下兩種處理方式：方式一：不去掉任何數據，用6個原始數據進行統計；平均分中位數方差8.9a0.107方式二：去掉一個最高分和一個最低分，用剩余的4個數據進行統計；平均分中位數方差b8.8c（1）a＝8.8，b＝8.8，c＝0.005；（2）你認為把哪種方式統計出的平均分作為該運動員的最終得分更合理？寫出你的判定并說明理由．【分析】（1）依據中位數、平均數、方差的定義即可求解；（2）去掉一個最高分和一個最低分統計平均分的方法更合理，這樣可以減少極端值對數據的影響．解：（1）方式一：不去掉任何數據，這組數據的中位數為：a＝＝8.8；方式二：去掉一個最高分和一個最低分，平均數為b＝×（8.8+8.8+8.9+8.7）＝8.8，方差為：c＝×[（8.8﹣8.8）2+（8.8﹣8.8）2+（8.9﹣8.8）2+（8.7﹣8.8）2]＝0.005，故答案為：8.8，8.8，0.005；（3）方式二：去掉一個最高分和一個最低分，用剩余的4個數據進行統計更合理，理由：這樣可以減少極端值對數據的影響．【點評】本題主要考查了平均數和方差，方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．22．有一個質地均勻的正四面體（其四個面是四個全等的正三角形），四個面上分別寫有1，2，3，4這四個整數．（1）拋擲這個正四面體一次，向下一面的數字是2的概率為；（2）拋擲這個正四面體兩次，求向下一面的數字兩次相同的概率．【分析】（1）直接根據概率公式求解即可；（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與向下一面的數字兩次相同的情況，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）拋擲這個正四面體一次，向下一面的數字是2的概率為；故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，拋擲這個正四面體兩次，共有16種等可能的結果，其中向下一面的數字兩次相同的結果共有4種，∴P（向下一面的數字兩次相同）＝＝．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．23．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB為直徑作⊙O交AC與點D，過點D的切線交BC于點E．（1）求∠BED的度數；（2）若AB＝6，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接OD，根據切線的性質得到∠ODE＝90°，根據直角三角形的性質求出∠A＝30°，根據圓周角定理求出∠DOB，根據四邊形內角和等于360°計算，得到答案；（2）過點D作DF⊥AB，垂足為F，根據正弦的定義求出DF，根據扇形面積公式、三角形面積公式計算即可．解：（1）連接OD，∵DE與⊙O相切于點D，∴∠ODE＝90°，∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∵∠ODE＝∠ABC＝90°，∴∠DEB＝360°﹣∠DOB﹣∠ODE﹣∠ABC＝120°；（2）過點D作DF⊥AB，垂足為F，∵AB＝6，∴OA＝OD＝AB＝3，∵∠DOB＝60°，∴∠AOD＝120°，∵Rt△OFD中，sin∠DOF＝，∴DF＝OD?sin∠DOF＝3×＝，∴S陰影＝S扇形DOA﹣S△OAD＝﹣×3×＝3π﹣．【點評】本題考查的是切線的性質、扇形面積計算，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．24．某商品現在的售價為每件50元，每星期可賣出200件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出5件；每降價1元，每星期可多賣出25件．（1）設該商品每件定價為x元，每星期可賣出y件，分別求出當x＞50和x＜50時，y與x的函數關系式；（2）若該商品的進價為每件30元，如何定價才能使得每星期的利潤最大？請說明理由．【分析】（1）若x＞50，則商品漲價，若x＜50，則商品降價，由此題干所給條件可列出對應函數關系式；（2）設該商品每件定價為x元，每星期的利潤為W元；根據利潤＝每件的利潤×所售的件數，即可列出函數解析式，根據函數的性質即可求得如何定價才能使利潤最大．解：（1）當x＞50時，y＝200﹣5（x﹣50）＝﹣5x+450；當x＜50時，y＝200+25（50﹣x）＝﹣25x+1450；（2）設該商品每件定價為x元，每星期的利潤為W元．當x＞50時，W＝（x﹣30）（﹣5x+450）＝﹣5x2+600x﹣13500（50＜x≤90）；∴當x＝60時，W最大＝30×150＝4500；當x＜50時，W＝（x﹣30）（﹣25x+1450）＝﹣25x2+2200x﹣43500（30≤x＜50）；∴當x＝44時，W最大＝14×350＝4900；當x＝50時，W＝（50﹣30）×200＝4000；∵4900＞4500＞4000，∴該商品每件定價為44元時，每星期的利潤最大．【點評】此題考查二次函數的實際運用，最值問題一般的解決方法是轉化為函數問題，根據函數的性質求解．25．已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如圖1，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，點B落在點F處，連接CF，設∠BAE＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）在（1）的條件下，延長CF交AD于點G，求△AFG的面積；（3）如圖2，點E是邊AB上的一個動點，將△BEC沿CE折疊，點B落在點F處，連接AF，DF，當△ADF是等腰三角形時，求tan∠BCE的值．【分析】（1）根據矩形的性質得∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α．由折疊的性質可得∠AEB＝∠AEF＝∠BEF，BE＝EF，由點E為BC的中點得BE＝EC＝EC＝EF．可得∠BCF＝∠EFC．根據三角形外角的性質即可求解；（2）證明四邊形AECG是平行四邊形．得AG＝EC＝4．由∠BCF＝∠AEB得tan∠BCF＝tan∠AEB＝．即tan∠NCF＝．設NC＝2x，FN＝3x，則MF＝6﹣3x，EN＝4﹣2x．在Rt△FEN中，利用勾股定理求出x．可得MF的值，即可求解；（3）分三種情況討論，①AD＝FD，②AF＝FD，③AF＝AD，由等腰三角形的性質可求解．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α．∵△AFE由△ABE折疊得到，∴∠AEB＝∠AEF＝∠BEF，BE＝EF．∵點E為BC的中點，∴BE＝EC＝4．∴EC＝EF．∴∠BCF＝∠EFC．又∵∠BEF＝∠BCF+∠EFC．∴∠BCF＝∠BEF．∴∠BCF＝∠AEB＝90°﹣α；（2）如圖，過點F作FM⊥AD，垂足為M，MF的延長線∠BC于點N，則FN⊥BC．∵∠BCF＝∠AEB，∴AE∥GC，又∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴四邊形AECG是平行四邊形．∴AG＝EC＝4．∵∠BCF＝∠AEB，∴tan∠BCF＝tan∠AEB＝．在Rt△FNC中，tan∠NCF＝．設NC＝2x，FN＝3x，則MF＝6﹣3x，EN＝4﹣2x．在Rt△FEN中，EN2+FN2＝EF2，∴（3x）2+（4﹣2x）2＝42，∴x1＝0（舍去），x2＝．∴MF＝6﹣3x＝．∴S△AGF＝；（3）①若AD＝FD，如圖2，過點F作FH⊥CD，垂足為H，HF的延長線交AB于點G．矩形ABCD中，AD＝BC＝8，∴AD＝FD＝8，又∵BC＝FC＝8，∴DF＝CF＝8．∴CH＝CD＝3．在Rt△FCH中，由勾股定理可得FH＝．∴GF＝GH﹣FH＝8﹣．∵將△BEC沿CE折疊，點B落在點F處，∴∠EFC＝90°，BC＝CF，BE＝EF，∴∠GFE+∠CFH＝90°，∵FH⊥CD，AB∥CD，∴∠HCF+∠CFH＝90°，∠EGF＝∠FHC＝90°，∴∠GFE＝∠HCF，∴△EGF∽FHC，∴．∴tan∠BCE＝；②若AF＝FD，如圖，過點F作FM⊥AD，垂足為M，過點F作FN⊥CD，交CD的延長線于點N．∵AF＝FD，FM⊥AD，∴MD＝AD＝4．∴FN＝MD＝4．∴Rt△FCN中，sin∠FCN＝．∴∠FCN＝30°．∴∠BCE＝∠ECF＝30°．∴tan∠BCE＝；③若AF＝AD，∵點E是邊AB上的一個動點，∴AF≤6，∴AF≠AD．∴AF＝AD不合題意，舍去．綜上，tan∠BCE的值為或．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了去矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．26．定義：若兩個函數的圖象關于某一點P中心對稱，則稱這兩個函數關于點P互為“伴隨函數”．例如，函數y＝x2與y＝﹣x2關于原點O互為“伴隨函數”．（1）函數y＝x+