視覺測量技術第二章第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日2.1空間幾何變換一、齊次坐標

用一個n+1維矢量表示一個n維矢量。

問題的提出：兩條平行線會相交嗎？

鐵軌在無限遠處相交于一點解決辦法：齊次坐標

作用：在投影空間進行圖像的幾何處理

為什么叫齊次坐標？

第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日2.1空間幾何變換

點(1,2,3),(2,4,6)和(4,8,12)對應笛卡爾坐標中的同一點(1/3,2/3)。任意數量積的(1a,2a,3a)始終對應于笛卡爾坐標中的同一點(1/3,2/3)。因此，這些點是“齊次”的，因為他們始終對應于笛卡爾坐標中的同一點。

齊次坐標描述縮放不變性（scaleinvariant）第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日思考題證明:兩平行線可以相交在笛卡爾坐標系中，對于如下兩個直線方程：

如果

C≠D，以上方程組無解；如果

C=D，那這兩條線就是同一條線了。提示：放到投影空間求解第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日為什么要用齊次坐標表示（優點）？

(1)可以表示無窮遠點。

例如n+1維中，h=0的齊次坐標實際上表示了一個n維的無窮遠點。對二維的齊次坐標[a,b,h]，當，則表示ax+by=0的直線，即在y=-(a/b)x上的連續點[x,y]逐漸趨近于無窮遠，但其斜率不變。在三維情況下，利用齊次坐標表示視點在原點時的投影變換，其幾何意義會更加清晰。第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日(2)提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標系變換到另一個坐標系的有效方法。幾何變換：平移、旋轉、縮放。平移：矩陣相加，旋轉和縮放：矩陣相乘綜合起來可以表示為：p’=M1*p+M2(M1旋轉縮放矩陣，M2為平移矩陣，p為原向量，p’為變換后的向量)。

引入齊次坐標的目的:合并矩陣運算中的乘法和加法，表示為p’=M*p的形式。第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日二、射影變換（projectivetransformation）

一個最為廣義的線性變換。

一維（中心）射影變換：

由有限次中心射影變換的積定義的兩條直線間的一一對應變換。第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日n維射影空間的射影變換用代數表示：

ρy=TPx其中，ρ為一比例因子，x和y分別為變換前后的齊次坐標。x=(x1，x2，…,xn+1)T,y=(y1，y2，…,yn+1)T,TP

為滿秩的(n+1)×(n+1)矩陣。射影變換由TP矩陣決定。以一維射影變換為例寫出上述變換：第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日在三維射影空間，射影變換矩陣

4×4可逆矩陣，它有16個參數，但可以用一個非零的比例因子歸一，因此有15個自由度。變換關系是非線性的！第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日三維射影空間的射影變換第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日三、仿射變換(affinetransformation)

是射影變換的特例。在射影變換中，當射影中心平面變為無限遠處時，射影變換就變成了仿射變換。仿射變換與射影變換的關系第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日

在射影幾何中可以證明，如果射影變換使無窮遠點仍變換為無窮遠點，則變換為仿射變換。在一維射影變換描述中，若x為無窮遠點，則。于是，上述仿射變換條件變為：對任意滿足

的點，變換后有.

因此，可以推導出，該條件相當于。一般地，n維射影變換，仿射變換的條件變為

M矩陣的最后一行的前n個元素為零第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日以一維仿射變換為例寫出上述變換：用非齊次坐標表示的射影變換為非線性變換，而仿射變換為線性變換。第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日在三維仿射空間，仿射變換矩陣可以表示為（非齊次）用齊次坐標可寫成：ρy=TAx，其中仿射變換矩陣TA可以表示為：第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日三、比例變換(metrictransformation)

是帶有一比例因子的歐氏變換，在三維比例空間其變換形式可表示為：第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日rij組成了一正交矩陣。是一旋轉矩陣，有3個自由度。用齊次坐標表示重新寫成：ρy=TMx，其中比例變換矩陣TM可以表示為：δ是比例因子，或稱為縮放因子。因此比例變換有7個自由度，其中3個旋轉，3個平移和1個比例因子。比例變換不改變物體空間的形狀，只是改變大小，所以有時將比例變換稱為相似變換。第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日四、歐氏變換(Euclideantransformation)在歐氏空間進行的變換，與比例變換很類似，只是比例因子取為1。歐氏變換有6個自由度，其中3個旋轉，3個平移。在三維歐氏空間其變換形式可表示為：第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日其中由rij組成了一正交矩陣。它是一旋轉矩陣，該旋轉矩陣有3個自由度。用齊次坐標，可重新寫成：ρy=TEx，其中歐氏變換矩陣TE可以表示為：仿射變換是射影（透視）變換的特例，比例變換是仿射變換的特例，而歐氏變換又是比例變換的特例。第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日攝像機成像模型（CameraModeling）PinholeCameras2.2攝像機透視投影模型第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日PerspectiveProjectionC’B’第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日linescanandareascanCCDconstruction:第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日Linetransfer第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日ColorCCD第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日一、圖像坐標系、攝像機坐標系與世界坐標系圖像坐標系：

以像素為單位的直角坐標系：以物理單位（mm）為單位的直角坐標系：每個像素在X，Y方向上的物理尺寸為dX和dY2.2攝像機透視投影模型第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日用齊次坐標和矩陣表示：逆關系為：第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日攝像機成像幾何關系如圖。攝像機坐標系：攝像機焦距：世界坐標系：點P在兩個坐標系下的齊次坐標分別為：R為3×3正交單位矩陣；t為三維平移向量；0=（0，0，0）T；M1為4×4矩陣第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日二、針孔成像模型

線性攝像機模型。中心射影或透視投影。第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日

為x

軸上尺度因子，或稱為x軸上歸一化焦距；為y軸上尺度因子，或稱為y

軸上稱為歸一化焦距；M為3×4矩陣，稱為投影矩陣。第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日M1由決定，稱為攝像機內部參數；

M2由攝像機相對于世界坐標系的方位決定，稱為攝像機外部參數。確定某一攝像機的內外參數，稱為攝像機定標。

已知道攝像機的內外參數，就已知投影矩陣M，任何空間點P坐標Xw=（Xw，Yw，Zw，1）T，可求出它的圖像點p的位置（u,v）反過來，如果已知某空間點P的圖像點p的位置（u,v），即使已知攝像機的內外參數，Xw也是不能唯一確定的。第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日三、非線性模型實際上，由于實際的鏡頭并不是理想的透視成像，而是帶有不同程度的畸變，使得空間點所成的像并不在線性模型所描述的位置，而是在受到鏡頭失真影響而偏移的實際像平面坐標：理想圖像點與實際圖像點第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日

徑向畸變（a：桶形畸變；b：枕形畸變）切向畸變（實線：無畸變；虛線：有畸變）第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日

透鏡非線性畸變模型

徑向畸變

切向畸變第三十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日2.3攝像機透視投影近似模型一、正投影

最簡單的線性近似稱為正投影（orthographiprojection）。這種近似完全忽略了深度信息。在這種投影方式下，物體到攝像機的垂直距離（深度信息）和物體到光軸的距離（位置信息）都完全丟失了。因此，它只在這兩種信息確實可以忽略時才可使用。正投影的公式為x=X，y=Y