第十講歸納推理的文化及內涵演示文稿當前1頁，總共83頁。（優選）第十講歸納推理的文化及內涵當前2頁，總共83頁。一、人們對歸納的認識

甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比．

——拉普拉斯分析與自然哲學中最重大的發現都應歸功于這種豐富多產的方法，也就是所謂“歸納”方法，牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納法的成果。

拉普拉斯《概率的分析理論》當前3頁，總共83頁。拉格朗日五次獲法國科學院大獎。他是最早意識到一般五次或更高次的代數方程不存在根式解的數學家之一。他的《關于方程的代數解的研究》，開辟了代數發展的新時期。他證明了威爾遜定理，證明了每個自然數可以表為最多四個平方數的和。證明了費爾馬方程xn+yn=zn對于n=4無解，證明了佩爾(pell)方程解的存在性。

1793年法國資產階級革命政府頒布一項法令：將工切在敵國境內出生的人驅逐出境并沒收其財產，但特別申明尊貴的拉格朗日先生除外。1796年法國吞沒了皮埃蒙特，塔萊朗奉明鄭重其事地去拜訪仍在都靈的拉格朗日父親，說：“你的兒子，由于他的天才，給人類帶來了榮譽，皮埃蒙特為產生了他感到驕傲，法國為他自豪。”拉格朗日是一座高聳在數學世界的金字塔。（拿破侖）當前4頁，總共83頁。

只由觀察得到而未證明的知識應當跟真實的結論仔細分開。我們通常說，這種知識來自歸納法，但我們已經看到，只靠歸納法會導向錯誤的結論，所以我們就不要把那些通過觀察或者只靠歸納法發現的數的性質當作真實的結論。實際上，我們應該利用這種發觀的機會對己發現的性質作更周密的研究。要么證明它成立，要么推翻它，不管結果怎樣，我們都可學到一點有益的東西。

—————歐拉

當前5頁，總共83頁。

一個真想把數學作為終身事業的學生必須學習論證推理；這是他的專業也是他那門學科的特殊標志。然而為了取得真正的成就他還必須學習合情推理；這是他的創造性工作賴以進行的那種推理．要成為一個好的數學家，…,你必須首先是一個好的猜想家．沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發現．

————牛頓當前6頁，總共83頁。觀察所得的知識，通常用歸納所獲得的．然而我們已經看到過單純的歸納曾導致過錯誤．因此，我們不要輕易地把觀察所發現的和僅以歸納為旁證的關于數的那樣一些性質信以為真．誠然，我們應該把這樣一種發現當作一種機會，去更精確地研究所發現的性質，以便證明它或推翻它；在這兩種情況之中我們都會學到一些有用的東西．

————歐拉

（美）G.波利亞著；數學與猜想第1卷數學中的歸納和類比李心燦等譯；北京市：科學出版社，2001，P1當前7頁，總共83頁。二、數學家對歸納法的運用“復雜的多面體有許多面、角和棱”。F，V，E代表多面體的面數、頂點數和棱數，并提出一個明確的問題：“面數總是隨頂點數的增加而增加嗎？即F必定隨V增加嗎？”檢驗一些特殊的多面體：

對于立方體，有

F=6，V=8，E=12

對于三棱柱，有

F=5，V=6，E=9當前8頁，總共83頁。歐拉通過對棱錐、棱柱的面數、棱數、頂點數進行歸納研究，發現多面體的歐拉公式。P21當前9頁，總共83頁。當前10頁，總共83頁。

正二十面體有20個全都是三角形的面，也就是F=20。20個三角形有3x20=60條邊，這里正二十面體的每一條棱都是兩個三角形的邊，所以棱數是且＝60／2＝30。類似地，可以求出V。正二十面體的每一個頂點周圍有它的5個面。20個三角形有320＝60個角，其中5個角有一個公共的頂點，故頂點數V＝12。當前11頁，總共83頁。多面體FVEn個側面的棱錐n+1n+12nn個側面的棱柱n+22n3n當前12頁，總共83頁。在數論中由于意外的幸運頗為經常，所以用歸納法可萌發出極漂亮的新的真理．

——高斯當前13頁，總共83頁。當前14頁，總共83頁。當前15頁，總共83頁。當前16頁，總共83頁。孿生素數只有有限對？當前17頁，總共83頁。當前18頁，總共83頁。當前19頁，總共83頁。整數三角形的研究運用了歸納法。當前20頁，總共83頁。整數三角形的研究是借用不等式、方程，最后運用歸納法得到結論。當前21頁，總共83頁。整數三角形的研究是借用不等式、方程，最后運用歸納法得到結論。觀點當前22頁，總共83頁。當前23頁，總共83頁。當前24頁，總共83頁。巴策內由歸納法得到的：

任何正整數，或是平方數，或是不超過四個平方數的和。需要多少個平方數才能展示出所有整數?當前25頁，總共83頁。當前26頁，總共83頁。當前27頁，總共83頁。當前28頁，總共83頁。當前29頁，總共83頁。當前30頁，總共83頁。當前31頁，總共83頁。，利用高精度的計算機計算歸納發現，直到前26位數，a與b都是

三、歸納法不可思義當前32頁，總共83頁。對此，有兩種不同的認識：其一，直覺告訴我們a,b不等，前26位數相同真是一種不可思議的巧合；

其二，計算的直覺昭示a=b。

但如此不同的a,b相等難以置信。演繹推理與證明能告訴我們些什么？當前33頁，總共83頁。對于任意正數x,y有

對任意正數x,y都有A=B。在此等式中，取立即就有A=B。當前34頁，總共83頁。四、歸納法的分類1.完全歸納法2.不完全歸納法不完全歸納法在運用上可分為⑴枚舉歸納法⑵因果歸納法當前35頁，總共83頁。根據歸納推理的前提與結論所作判斷的范圍是否相同,歸納推理可以分為1.完全歸納法2.不完全歸納法當前36頁，總共83頁。1.完全歸納法如果歸納推理前提的判斷范圍的總和等于結論判斷的范圍,則這種歸納推理叫做完全歸納法.M蘊涵M1,M2,…,Mn,M1,M2,…,Mn,都有性質p;則M也有性質p.當前37頁，總共83頁。設Mi是前提判斷(i=1,2,…n)的各個判斷范圍,M是結論判斷的范圍.若Mi(i=1,2,…n)具有性質p,則由此推出M具有性質p.即當前38頁，總共83頁。過去，一家長讓小孩買火柴，并一再囑咐：要買根根劃得著的。結果，小孩買回后，很興奮地告訴家長，這火柴特好，每根都能點得著。這真是讓家長啼笑皆非。完全歸納法用錯了！！！！當前39頁，總共83頁。2.不完全歸納法如果歸納推理前提的判斷范圍的總和小于結論判斷的范圍,則這種歸納推理叫做不完全歸納法.M蘊涵M1,M2,…,MnM,且M1∪M2∪…∪Mn…

MM1,M2,…,Mn…都有性質p;則M也有性質p.當前40頁，總共83頁。設Mi是前提判斷(i=1,2,…,n)的各個判斷范圍,M是結論判斷的范圍.若Mi(i=1,2,…,n)具有性質p,則由此推出M具有性質p.即不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理不完全歸納法是似真推理當前41頁，總共83頁。列寧在《哲學筆記》中指出：

“以最簡單的歸納方法所得到的最簡單的真理，問題總是不完全的，因為經驗總是未完成的。”當前42頁，總共83頁。不完全歸納法在運用上可分為⑴枚舉歸納法⑵因果歸納法當前43頁，總共83頁。⑴枚舉歸納法枚舉歸納法是根據某類被研究對象中的部分對象具有(或不具有)某一屬性p,而推斷出該類全部對象具有(或不具有)某一屬性p的歸納方法.當前44頁，總共83頁。面積為1的圖形的周長周長為1的圖形的面積圖形周長圖形面積圓3.55圓0．0793正方形4正方形0．0625900的扇形4.03900的扇形0．0616矩形(3:2)4.08矩形(3:2)0．0601半圓4.10半圓0．0595等邊扇形4.21等邊扇形0．0564矩形（2：1）4.24矩形（2：1）0．556等邊三角形4.56等邊三角形0．0481矩形（3：1）4.64矩形（3：1）0．0464等腰直角三角形4.84等腰直角三角形0．0427歷史上的等周問題當前45頁，總共83頁。

17世紀，笛卡爾也對等周問題，通過對面積為1的一些圖形的周長和周長為1的一些圖形的面積的研究，并作比較得到了結論：

在所有等周的平面封閉圖形中，以圓的面積為最大；或在所有等面積的封閉圖形中，以圓的周長為最小。當前46頁，總共83頁。相傳在公元前180年左右，芝諾多羅斯寫過一本有關等周圖形的論著，惜已失傳，但慶幸的是有若干命題被公元4世紀亞歷山大里亞的學者帕波斯記載，才得以保存。其中有以下定理：（1）周長相等的邊形的面積最大；（2）周長相等的正多邊形中，邊數愈多的正多邊形面積愈大；（3）圓的面積比同樣周長的正多邊形的面積大；（4）表面積相等所有立體中，以球的面積為最大。

另外，帕波斯還增加了一個定理：在周長相等的所有弓形中，半圓的面積最大。這些等周問題的主題就是今天所謂極值問題。

邊形中，正當前47頁，總共83頁。

伯努利兄弟，歐拉，拉格朗日等相繼對等周問題進行了研究。

1838年，雅各?史坦納以幾何方法證明：若答案存在，答案必是圓。但他的證明過程中出了一點小錯誤，正是這個錯誤，引發了后人的興趣，不斷地去研究、完善，從而推動了對等周問題的研究，讓其得到了很大的發展。當前48頁，總共83頁。當前49頁，總共83頁。當前50頁，總共83頁。當前51頁，總共83頁。當前52頁，總共83頁。當前53頁，總共83頁。當前54頁，總共83頁。

羅素肯定歸納法在發現新知識時的重要作用。他說:

“歸納法不像演繹法那樣確切可信，它只提供了或然性而沒有確切性;

但另一方面，它卻給我們以演繹法所不能給我們的新知識。·····

一切重要的推論全都是歸納的而非演繹的。”當前55頁，總共83頁。邏輯學家、數學家、物理學家與工程師：

“看這個數學家”，邏輯學家說，“他發現最初99個數少于100，因此，依其所謂的歸納法推定，所有的整數均小于100”。“物理學相信”，數學家說，“他發現60可以用1，2，3，4，5及6除盡，他再試驗了若干個案例，如10，20，30也能整除60，故認為其實驗證據已充分，60可以被所有的整數整除。”“不錯，但是你看工程師”，物理學家說，“工程師懷疑所有的奇數是否皆質數，無論如何，他辯稱1總是質數，無疑的3，5，7都是質數，然而9是可怕的案例，看來并非質數，雖然11及13不可否認是質數，再說9，這個數，他說，‘我斷定9一定是實驗上的錯誤。’當前56頁，總共83頁。亞里士多德也研究了歸納推理，但他僅僅粗略地研究了簡單枚舉法。“那種根據簡單枚舉來進行的歸納是非常幼稚的，其結論很不確定，極易為反例所動搖，其論斷往往只是根據了少量唾手可得的事例。”當前57頁，總共83頁。⑵因果歸納法因果歸納法是依據某類對象的某一屬性p,因條件A在一系列變化中對p的出現和變化有關鍵性的影響,從而推斷A條件是該對象具有屬性p的原因所使用的推理方法.當前58頁，總共83頁。確定因果關系的歸納方法有五種:①求同法②求異法③求同求異法④共變法⑤剩余法當前59頁，總共83頁。達·芬奇對歸納法有自己獨到的一些見解，并將歸納方法運用于實際的研究。

“所有的推理，所有的證明，以及所有非自明真理的發現都包含有歸納及歸納的解釋，我們所有非直覺的知識無一例外都是通過歸納得來的。”當前60頁，總共83頁。①求同法依據某類對象的某一屬性中,在幾種不同的情形下都出現,而在各種條件中,只有一個條件A是共同的,從而推斷條件A是被研究對象具有屬性p的原因.當前61頁，總共83頁。情形條件對象具有的屬性ⅠA、B、CPⅡA、D、EPⅢ…A、F、G………P…結論:A可能是屬性p產生的原因當前62頁，總共83頁。案例:abc2－432－2－1/2221/2結論:a決定拋物線的形狀.xy當前63頁，總共83頁。案例:

伽利略在教堂里發現:擺長相等、振幅不相等時,擺動一個周期的時間不變.于是,猜測:

擺長是周期的決定因素.當前64頁，總共83頁。當前65頁，總共83頁。

案例：

某人在一個晚上看了兩小時的書，又喝了幾杯茶，結果整夜失眠．第二天晚上．他又讀了兩小時的書，吸了許多煙，結果又整夜失眠．第三天晚上．他又讀了兩小時的書，喝了大量咖啡，結果又整夜失眠．三個晚上只有一個共同情況：讀了兩小時書，應用歸納法得出：

讀兩小時書是整夜失眠的原因．當前66頁，總共83頁。當前67頁，總共83頁。②求異法依據某類對象的某一屬性p,只在其中一種情形出現,而在其它情形不出現.在這二種情形中,除了其中一種情形中有A條件外,其它的條件都相同,從而推斷A條件是被研究對象具有屬性p的原因或部分原因.當前68頁，總共83頁。情形ⅠⅡ各種條件A,B,CB,C被研究的現象A－結論:

A是a產生的原因或部分原因.當前69頁，總共83頁。案例:

兩個邊長相等的正方形,其中一個正方形的頂點重合于另一個正方形的中心,并繞O點旋轉,無論旋到任何位置,兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值.

正方形改為四邊形,重疊部分的面積不是定值.

可見,正方形是重疊部分面積不變的原因.當前70頁，總共83頁。③求同求異法依據某類對象的某一屬性p,在一系列情形中,凡是有A條件的都有屬性p,凡是沒有A條件的都沒有屬性p,從而推斷條件A是被研究對象具有屬性p的原因.當前71頁，總共83頁。當前72頁，總共83頁。情形條件對象具有的屬性ⅠA,B,CPⅡA,D,EpⅢA,F,GpⅣ－,H,I－Ⅴ－,J,K－結論:A是屬性p產生的原因.當前73頁，總共83頁。案例:

兩個邊長相等的正方形,其中一個正方形的頂點重合于另一個正方形的中心,并繞O點旋轉,無論旋到任何位置,兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值.

兩個邊長相等的正六邊形也具有同樣的性質.猜測:

產生這個現象的原因只在于兩個多邊形全等而且是正多邊形,它與邊數的多少無關.當前74頁，總共83頁。abc2－432－2－1/2221/2021結論:a決定圖像的形狀.xy當前75頁，總共83頁。④共變法情形條件對象具有的屬性ⅠA1,B,Cp1ⅡA2,B,Cp2ⅢA3,B,Cp3結論:A是屬性p產生的原因.當前76頁，總共83頁。abcy=ax2+bx+c形狀2－431－434－43結論:

條件a決定圖形形狀的主要原因.xy當前77頁，總共83頁。案例:

求等差數列{an}的通項公式觀察:a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d