第3章基本體的投影第1節(jié)平面體第2節(jié)回轉(zhuǎn)體第3節(jié)軸測(cè)圖第4節(jié)截割體的投影第5節(jié)相貫體的投影分析基本幾何體根據(jù)其表面的幾何性質(zhì)可分為平面立體和曲面立體兩類。由平面所圍成的基本體稱為平面立體，如棱柱、棱錐；由曲面或曲面與平面圍成的基本體稱為曲面立體，如圓柱、圓錐、圓球等。知識(shí)目標(biāo)◎掌握基本體的三視圖和投影特點(diǎn)。◎了解正等軸測(cè)圖、斜二軸測(cè)圖投影特點(diǎn)?！蛄私饣倔w的截交線與相貫線的畫法特點(diǎn)。技能目標(biāo)◎能根據(jù)基本體三視圖想象出基本體的形狀?！驎?huì)用投影關(guān)系畫出基本體的三視圖?！蚰軘⑹稣容S測(cè)圖、斜二軸測(cè)圖投影特點(diǎn)及基本體的截交線與相貫線的畫法特點(diǎn)，能根據(jù)投影特點(diǎn)畫出形體的正等軸測(cè)圖、斜二軸測(cè)圖。第1節(jié)平面體一、棱柱二、棱錐平面立體主要分為棱柱和棱錐兩種。一、棱柱1．棱柱的三視圖棱柱由底面和棱面所圍成，且各棱線相互平行。圖3.1（a）所示為六棱柱的直觀圖。該六棱柱的上下底面平行于水平面，水平投影重合，為正六邊形，正面和側(cè)面投影積聚成直線；其前后兩棱面平行于正面，正面投影重合為矩形線框，水平和側(cè)面投影積聚成直線；其余4個(gè)側(cè)面為鉛垂面，水平投影為直線，正面與側(cè)面投影為矩形線框，是類似形。如圖3.1（b）和圖3.1（c）所示，圖3.1六棱柱的三視圖及表面上點(diǎn)的投影直棱柱三面投影的特征：一個(gè)投影具有積聚性，是反映棱柱形狀特征的多邊形；另兩個(gè)投影是由實(shí)線或虛線矩形線框組成。2．求棱柱表面上點(diǎn)的投影棱柱表面上點(diǎn)的投影，可根據(jù)投影的積聚性求得。二、棱錐1．棱錐的三視圖圖3.2（a）所示為三棱錐，底面為三角形，平行于水平面，其水平投影反映實(shí)形；有一個(gè)棱面為側(cè)垂面，側(cè)面投影積聚為直線；其他兩個(gè)棱面為一般位置平面，它們?cè)诟魍队懊嫔系耐队熬鶠轭愃频娜切?。棱錐體的投影特征：一個(gè)投影的外形輪廓為正n邊形，其內(nèi)部為n個(gè)等腰三角形，另兩個(gè)投影的外形輪廓是由實(shí)線或虛線的三角形線框組成。圖3.2正三棱錐的三視圖及表面上的點(diǎn)棱錐特殊位置表面上的點(diǎn)，可利用投影的積聚性直接求得；一般位置表面上的點(diǎn)，可用在平面上作輔助線的方法求得。常見的平面立體三面投影見表3.1。2．棱錐表面上點(diǎn)的投影表3.1 常見的平面立體的三面投影第2節(jié)回轉(zhuǎn)體一、圓柱二、圓錐三、圓球四、圓環(huán)在機(jī)件中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體，如圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)等。一、圓柱圓柱體由圓柱面與上、下兩底面圍成，可看做是由一條直母線圍繞與它平行的軸線OO回轉(zhuǎn)而成的，母線在柱面上的任意位置稱為圓柱面的素線，如圖3.3（a）所示。圖3.3圓柱的投影如圖3.3（b）所示，圓柱軸線垂直于水平面，圓柱上、下底面的水平投影反映實(shí)形，正面投影和側(cè)面投影積聚成直線，圓柱面上所有素線都是鉛垂線，其水平投影積聚成一圓周，與兩底面的水平投影重合。1．圓柱的三視圖圖3.3圓柱的投影三視圖特性：一面投影為圓，其他兩面投影均為相等的矩形線框。圖3.3圓柱的投影在圓柱體表面上取點(diǎn)，可利用投影的積聚性進(jìn)行作圖。2．圓柱體表面上的點(diǎn)圓錐表面由圓錐面和底面圓所組成，圓錐面可看作是一條直線繞與它相交的固定軸OO回轉(zhuǎn)而形成的曲面，SA為母線，SA在圓錐面的任意位置即是它的素線，如圖3.4（a）所示。圖3.4圓錐的投影及三視圖如圖3.4（b）和圖3.4（c）所示，圓錐軸線為鉛垂線，底面圓為水平面，水平投影反映實(shí)形，其正面投影和側(cè)面投影均積聚為直線，圓錐面水平投影是與底面重合的圓形，正面投影和側(cè)面投影均為等腰三角形，正面投影兩腰分別是圓錐面最左、最右素線的投影，側(cè)面投影兩腰分別是圓錐最前、最后兩條素線，圓錐面的3個(gè)投影均沒有積聚性。1．圓錐的三視圖圖3.4圓錐的投影及三視圖三面投影的特征是：一個(gè)投影為圓，其他兩個(gè)投影均為等腰三角形。如圖3.5（a）所示，圓錐面上M點(diǎn)，已知M的正面投影m'，求m和m"

的作圖方法有兩種。（1）輔助線法。（2）輔助圓法。2．圓錐表面上點(diǎn)的投影圖3.5圓錐表面上點(diǎn)的投影三、圓球圓球面可看做以一圓為母線，繞其通過(guò)圓心且在同一平面的軸線（直徑）旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖3.6（a）所示。圖3.6圓球的投影及球面上求點(diǎn)球的三面投影均為半徑相等的圓形，如圖3.6（b）所示。三面投影的特征是：球的三面投影是與球直徑相等的圓。1．圓球的投影圖3.6圓球的投影及球面上求點(diǎn)已知球面上點(diǎn)M的正面投影m'（可見），求m和m"?？捎幂o助平面法求出。2．球面上求點(diǎn)四、圓環(huán)圓環(huán)可看成以一圓為母線繞著一個(gè)圓在同一平面但位于圓周之外的軸線回轉(zhuǎn)而成的，如圖3.7（a）所示。圖3.7圖環(huán)的投影如圖3.7（b）所示，圓環(huán)水平投影是兩個(gè)同心圓。1．圓環(huán)的投影圖3.7圖環(huán)的投影第3節(jié)軸測(cè)圖一、正等軸測(cè)圖二、斜二測(cè)軸測(cè)圖一、正等軸測(cè)圖如圖3.8所示，使物體的3個(gè)坐標(biāo)軸與軸測(cè)投影面P的傾角相等，然后用正投影法向軸測(cè)投影面投射，得到的軸測(cè)圖稱為正等軸測(cè)圖，簡(jiǎn)稱正等測(cè)。圖3.8正等軸測(cè)圖、軸間角及軸向系數(shù)在正等測(cè)圖中，空間直角坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸與軸測(cè)投影面的傾角都是35°16'，3根坐標(biāo)軸的軸向伸縮系數(shù)相等，即P1

=

q1=

r1=

0.82。正等測(cè)圖中規(guī)定：軸間角∠XOY

=∠XOZ

=∠ZOX=120°。一般將OZ軸畫成垂直位置，OX軸、OY軸與水平成30°角，軸向伸縮率簡(jiǎn)化為1:1。1．正等測(cè)圖的軸間角、軸向伸縮系數(shù)繪制平面立體正等軸測(cè)圖的基本方法有：坐標(biāo)法、切割法、疊加法等。例1畫出正六棱柱的正等軸測(cè)圖。分析：由于正六棱柱前后、左右對(duì)稱，故選擇頂面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)并建立坐標(biāo)系，再量取正六邊形各點(diǎn)的坐標(biāo)可直接畫出，如圖3.9所示。2．平面立體軸測(cè)圖畫法圖3.9六棱柱的正等軸測(cè)圖例2用切割法畫軸測(cè)圖。切割法通常適用于繪制主要形體是由切割而形成的零件軸測(cè)圖，如圖3.10所示。圖3.10切割法例3堆疊法作圖。圖3.11堆疊法3．曲面立體軸測(cè)圖畫法（1）圓的正等測(cè)畫法。方法1：作圖步驟如圖3.12所示。圖3.12圓的正等測(cè)畫法（一）方法2：作圖步驟如圖3.13所示。圖3.13圓的正等測(cè)畫法（二）例4作圓柱的正等軸測(cè)圖。圓柱的頂面和底面都平行水平面，其正等測(cè)圖都是橢圓，只要畫出頂面和底面的橢圓，再作兩橢圓的公切線，即得圓柱的正等軸測(cè)圖。（2）畫圖舉例。圖3.14圓柱的正等測(cè)圖例5當(dāng)圓柱擺放位置不同時(shí)，其軸測(cè)圖形狀如圖3.15所示。圖3.15三向正等測(cè)圓柱的畫法例6求帶圓角平板的軸測(cè)圖。分析：圓角是圓柱的1/4，其正等測(cè)圖畫法與圓柱的正等測(cè)畫法相同。圖3.16帶圓角平板軸測(cè)圖的畫法二、斜二測(cè)軸測(cè)圖將直角坐標(biāo)體系中物體的一個(gè)坐標(biāo)平面平行于軸測(cè)投影面，然后用斜投影法向軸測(cè)投影面投射，得到的軸測(cè)圖稱為斜二等軸測(cè)圖，簡(jiǎn)稱斜二測(cè)。斜二測(cè)圖的軸間角∠XOZ

=

90°、∠XOY

=∠YOZ

=

135°軸向伸縮系數(shù)p

=

r

=

1，q

=

0.5。圖3.17物體的斜二測(cè)及軸間角、軸向伸縮系數(shù)例7根據(jù)主、俯視圖，畫機(jī)件的斜二測(cè)。分析：該機(jī)件圓形較多，采用斜二測(cè)畫圖能反映正面實(shí)形，易于作圖。圖3.18機(jī)件的斜二測(cè)畫法第4節(jié)截割體的投影一、棱柱的截割二、棱錐的截割三、圓柱的截割四、圓錐的截割五、圓球的截割基本體在實(shí)際機(jī)件中會(huì)切去一部分，表面上經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)平面與平面，平面與曲面相交的交線，這種平面與立體表面的交線稱為截交線，如圖3.19所示。圖3.19截交線一般截交線都有的兩個(gè)共同特性。（1）截交線一定是一個(gè)封閉的平面圖形。（2）截交線是截平面與立體表面上的共有線。一、棱柱的截割如圖3.20（a）所示，六棱柱被一個(gè)水平面和一個(gè)正垂面所截，分析截交線的形狀和作圖步驟。分析：水平面截六棱柱部分，截交線為三角形，截平面與棱邊的交點(diǎn)是A、B、H。正垂面截六棱柱部分，截交線為七邊形，截平面與棱邊的交點(diǎn)分別為B、C、D、E、F、G、H。兩截平面交線為正垂線BH。

e'、f

'、g'、h'，如圖3.20（b）所示。圖3.20六棱柱的截割二、棱錐的截割求棱錐的截交線，先求出其棱線與截平面的交點(diǎn)投影，再將各點(diǎn)的同名投影依次連接而得到。如圖3.21所示正六棱錐被正垂面切割，求作切割后的三視圖。分析：截平面為正垂面，截平面與6棱錐的6條棱線和6個(gè)棱面都相交，截交線形成一個(gè)六邊形，六邊形的頂點(diǎn)過(guò)各棱線與截平面的交點(diǎn)A、B、C、D、E、F。圖3.21五棱錐截交線的作圖三、圓柱的截割圓柱截割后得到的截交線，可根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置不同而有不同的形狀，見表3.3。表3.3 平面與圓柱相交的截交線例1正垂面截圓柱體，求截交線的投影。圖3.22圓柱截割的截分析：圓柱被正垂面所截，截交線的正面的投影為一直線，水平投影與圓柱面投影同時(shí)積聚成一圓，只需求出形狀是橢圓的側(cè)面投影。作圖步驟如下。（1）求特殊點(diǎn)的投影。（2）求出一般位置點(diǎn)。（3）依次平滑連接1"、2"、3"、4"、a"、b"、c"、d"，即得截交線的側(cè)面投影。四、圓錐的截割根據(jù)截平面與圓錐軸線的位置不同，圓錐面的截交線有5種情況，見表3.4。表3.4 圓錐的截交線例2求圓錐被正平面切割的截交線。如圖3.23所示。作圖步驟如下。（1）求特殊點(diǎn)的投影。（2）求一般位置的點(diǎn)。（3）依次平滑連接各點(diǎn)如圖3.23（d）所示。圖3.23圓錐被正平面切割五、圓球的截割平面截割圓球不論平面與圓球的相對(duì)位置怎樣，其截交線都為圓，但當(dāng)截平面與投影面傾斜時(shí)，其截交線另兩投影則為橢圓。圓球的截交線見表3.5。表3.5 圓球的截交線例3如圖3.24所示，已知半球切槽后的正面投影，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。圖3.24半圓球切口的投影分析：該槽由一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面構(gòu)成，水平面切球體，截交線是一半徑為r的水平圓弧，側(cè)平面切球體，截交線是一半徑為R的側(cè)平圓弧。第5節(jié)相貫體的投影分析一、兩圓柱垂直相交的相貫線的投影分析二、四棱柱與圓柱相貫三、圓柱與圓錐正交相貫的分析四、圓柱與圓球相貫五、過(guò)渡線兩立體相交時(shí)，它們表面所產(chǎn)生的交線稱為相貫線?；咎匦裕?）相貫線是兩相交立體表面的共有線，也是立體表面的分界線，相貫線上的點(diǎn)一定是相交立體表面的共有點(diǎn)。（2）相貫線一般都是封閉的。一、兩圓柱垂直相交的相貫線的投影分析圓柱相貫投影形狀的變化見表3.6。表3.6 圓柱正交相貫線的變化表3.6 圓柱正交相貫線的變化續(xù)表求作兩圓柱相交的相貫線，可采用表面取點(diǎn)法和簡(jiǎn)化畫法等。如圖3.25所示，求作兩直徑不等軸線正交圓柱的相貫線。圖3.25兩直徑不等圓柱的相貫線分析：兩圓柱的軸線正交，直立圓柱軸線為鉛垂線，水平圓柱軸線為側(cè)垂線，直立圓柱面和水平圓柱面投影都具有積聚性，因此，相貫線的水平投影和側(cè)面投影分別積聚在圓周上，正面投影可根據(jù)投影關(guān)系求得。作圖步驟如下。（1）求特殊點(diǎn)。（