2020年小升初尖子生拓展提高-數論-1

一.填空題（共17小題）

1.在一個兩位數的兩個數字之間加上一個0,所得的新數是原數的9倍，原數是

2.在信息時代，信息安全十分重要，往往需要對信息進行加密，若按照“疊3加1取個位”

的方式逐位加密，明碼“16”加密之后的密碼為“49”，若某個四位明碼按照上述加密方

式，經過兩次加密得到的密碼是“2445”，則明碼是

3.甲、乙兩人合買了"個籃球，每個籃球”元，付錢時，甲先乙后，10元，10元地輪流付

錢，當最后要付的錢不足10元時，輪到乙付，付完全款后，為了使兩人所付的錢數同樣

多，則乙應給甲元

4.四位數78,它即是4的倍數，又能被11整除，這個四位數最小是.

5.已知A=（6143-728）X22472,那么A+9的余數是.

6.若一個正整數能表示為兩個正整數的平方差，則稱這個正整數為“智慧數”（如3=2?-

I2,5=32-2?）,已知智慧數按照從小到大的順序構成如下數列：3,5,7,8,9,11,

12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,.則第100個智慧數是.

7.一個自然數被7,8,9除的余數分別為1,2,3,并且三個商數的和是570,這個自然數

是.

8.長沙市為美化芙蓉路，在街道左邊每隔30米植一棵樹，在街道右邊每隔5（）米樹一桿街

燈，當左右兩邊剛好樹與街燈正相對時將樹改成立一塊宣傳牌，已知芙蓉路全長9.6千米

（起點處有一宣傳牌），則芙蓉路全長有塊宣傳牌.

9.有2015盞亮著的電燈，各有一條拉線開關控制著，現在按其順序編號為1,2,3,4,-

2015,然后將編號為2的倍數的燈的開關線拉一下，再將編號為3的倍數的燈的開關線

拉下，最后將編號為5的倍數的燈的開關線拉一下，三次拉完之后，還有____盞亮著

的燈.

10.計算1992個9X1992個9+1992個9后所得的末尾有個零.

11.已知兩個數的和是1576,分別把這兩個數的數字順序倒過來后，所得兩個新數的和是

4375.則原來這兩個數分別是.

12.小華玩某種游戲，每局可隨意玩若干次，每次得分是8、a（自然數）、0這三個自然數

中的一個，每局各次得分的總和叫做這一局的總積分.小華曾得到過這樣的積分：103,

104,105,106,107,108,109,110,又知道他不可能得到83分這個總積分，則a是.

13.將100個乒乓球放入從左到右排成一行的26個盒子中，如果最左邊的盒子中有4個乒

乓球，且任意相鄰的4個盒子中乒乓球的個數和都是15,那么最右邊的盒子中有乒乓球

個.

14.有一個三位數，它等于去掉它的首位數字之后剩下的兩位數的七倍與66的和，則符合

條件的所有三位數是.

15.今年是2012年，四位數2012的數字和為2+0+1+2=5,那么；

（1）像這樣數字和是5且只含有一個數字0的四位數有個.

（2）像這樣數字和是5的四位數一共有個.

16.37口5口能被72整除，這個數除以72的商是.

17.現有三個整數393,603,939,其中393="（機。M），603=b（modA）,939=c

又有4a=2c=b,a、b、c是三個不為零的自然數，則自然數4=.

二.應用題（共2小題）

18.甲、乙、丙三位同學向班級圖書箱獻了一些圖書，甲獻的是乙的2倍，丙獻的比乙少

13本，如果把這三個人的圖書合在一起，是質數，不超過50本，各位數字的和是11.問

甲乙丙各獻出多少本圖書？三人一共獻出多少本？

19.現有A8兩地每隔45米遠有一根電線桿，共有65根電線桿，現在要求每隔60米需要

有一根電線桿，除兩端的電線桿不動，還有多少個電線桿不需要動？

三.解答題（共21小題）

20.有一個兩位數，如果用它去除以個位數字，商為9余數為6,如果用這個兩位數除以個

位數字與十位數字之和，則商為5余數為3,求這個兩位數.

21.有一個兩位數，它的十位上的數字比個位上的數字小3,十位上的數字與個位上的數字

之和等于這個兩位數的工，求這個兩位數.

4

22.有三張撲克牌，牌上寫有互不相同的數字（即0,1,2,3……9中的三個數字）把三張

牌洗好后，分別發給甲、乙、丙三人，每人記下自己牌上的數字，再重新洗牌、發牌、

計數，如此反復三次后，三人各自記錄的數字和分別是13,15,23.請問這三張牌的數

字各是什么？

23.小卉將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個恰好裝完.如果

彈子數為99個，盒子數大于9,問兩種盒子各有多少個?

24.如圖，在平衡架的左側已掛上了4個祛碼，每個20克.在右邊第5格處必須掛多少克

祛碼?才能使平衡架平衡.I…]

25.某單位分兩次購買了80奴的荔枝，單價如下表所示，且第二次比第一次買的多，共花

了1060元，問：兩次各買了多少千克？

不足30僅30kg至50kg50kg以上

價格（元/版）

26.一個兩位數，它的十位數與個位數之和是12,如果這個兩位數減去54,則這個兩位數

的數字交換了位置，求原來的兩位數.

27.在九個連續的自然數中，至多有多少個質數？

28.聰聰和明明同算兩數之和，聰聰得685,計算正確；明明得280,計算錯誤，明明所以

算錯的原因是將其中一個加數末尾的0漏掉了.你知道兩個加數各是多少？

29.能否把I,1,2,2,3,3,…，50,50這100個數排成一行，使得兩個1之間夾著這

100個數中的一個數，兩個2之間夾著這100個數中的兩個數，…兩個50之間夾著這100

個數中的50個數？并證明你的結論.

30.小明和爸爸每天圍繞街心花園晨跑，小明15分鐘跑一圈，爸爸12分鐘跑一圈.如果父

子兩人同時同地起跑，至少多少分鐘后兩人再次在起點相遇？此時，爸爸和小明各跑了

幾圈？

31.從1999、1989和1979中分別減去同一個四位數，便能得到三個不同的質數.減去的這

個四位數是多少？簡要說明理由.

32.有八個盒子，各盒內裝的奶糖分別為9、17、24、28、30、31、33和44塊.甲先取走

了一盒，其余各盒被乙、丙、丁分別取走.已知乙、丙取到的糖的塊數相同，且都為丁

的2倍.問甲取走的盒中有多少塊奶糖？（簡要說明理由）

33.甲、乙兩個數，甲數除以乙數商2余17,乙數的10倍除以甲數商3余45.求甲、乙二

數.

34.有一個六位數，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍還是六位數，并且它們的數字和原

來的六位數的數字完全相同只是排列的順序不一樣，求這個六位數.

35.從甲地到乙地原來每隔45米要裝一根電線桿，加上兩端的兩根，一共有53根電線桿，

現在改成每隔60米裝一根電線桿，除兩端的兩根不需要移動外，中途還有多少根不必移

動？

36.有三根細鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米、300厘米，現在要把它們截成相等的

小段，每根都不能有剩余，每小段最長____厘米，一共能截成段.

37.某個四位數有如下特點：它加上1之后是15的倍數，它減去3之后是38的倍數.把它

的各數位上的數字左右倒過來寫，所得的新數與原數之和能被10整除，這個四位數是多

少？

38.從1開始的若干個連續奇數：1,3,5,7,…從中擦去一個奇數后，剩下的所有奇數之

和為2008,擦去的奇數是多少？

39.如圖所示的四個圓形跑道，每個跑道的長都是1千米，A、B、C、。四位運動員同時從

交點。出發，分別沿四個跑道跑步，他們的速度分別是每小時4千米，每小時8千米，

每小時6千米，每小時12千米.問從出發到四人再次相遇，四人共跑了多少千米？

40.下面是四季香水果店今天公布的水果價格：

水果品種橘子蘋果香蕉菠蘿

單價（每千克）2元3元2元4角4元

為了做水果布丁，四種水果愷撒西餐廳工買83千克，用去228元.已知買橘子所用去的

與買蘋果所用去的錢一樣多，買菠蘿所用去的錢是買香蕉所用去的錢的2倍.那么橘子

買了多少千克？蘋果買了多少千克？香蕉買了多少千克？菠蘿買了多少千克？

2020年小升初尖子生拓展提高-數論-1

參考答案與試題解析

填空題（共17小題）

1?【分析】由原題可知，一個兩位數的數字之間加一個0,新得的數為原數9倍，即原數兩

位數的個位X9,所得結果的個位還是原個位數.根據乘法所知1X9=9,2X9=18,

只有5X9=45個位還是5,所以原數個位為5.然后根據十位數字擴大10倍的新數為原

數的9倍，假設這個兩位數的數字是a、b,根據已知列出等式，即可得解.

【解答】解：設這個兩位數為lOa+b,則

100〃+/?=9（\0a+h）

100a+b=90a+9b

10〃=8。

因為m人都小于10且mb都是正整數，（或把6=5直接代入）

所以a=4,h=5；

答：原數是45；

故答案為：45.

【點評】根據位值原則，同一個數字在不同數位上的值不同來解決實際問題.

2.【分析】根據規則，按照“疊3加1取個位”的方式逐位加密，將2445的每一位數字減

去1,再看看哪個一位數字乘3得到的個位數字是這一數，比如2-1=1,7X3=21,所

以第一次加密后的第一個數字就是7,以此類推，得到原來的四位明碼即可解答.

【解答】解：2-1=1,7X3=21,

4-1=3,1X3=3,

5-1=4,8X3=24,

所以第一次加密后的密碼是7118,

7-1=6,2X3=6,

1-1=0,0X3=0,

8-1=7,9X3=27,

所以明碼是2009.

故答案為：2009.

【點評】本題主要考查數字問題，利用逆推的方法得到答案是解答本題的關鍵.

3?【分析】籃球的總價為由題意“首先由甲付10元，然后乙付10元，甲再付10元，

乙再付10元，…直到某次甲付10元后，乙只需要再付不足10元“可知，每輪他們付20

元，最后一輪甲付了10元后乙沒付夠10元，所以他們支付的總價格的十位上必定是奇

數.

由下面可以推出十位上是奇數個位必定是6：

假設一個數為〃=10x+y,其中x和y是整數，且0WyW9,于是，我們有：

"*〃=100x*x+20xy+y*y.

=20x（5x+y）+y*y

如果〃*〃的十位數字是奇數，那么y的平方十位數字是奇數，由此推得

y的平方等于16或36

所以〃的平方個位數字是6

所以最后乙付得錢肯定是6元，由此可以作答.

【解答】解：總價為/A由題意的，總價的十位數上為奇數，所以個位數上必定為6.

所以最后一輪乙支付了6元，甲支付了10元.

所以乙需要給甲（10+6）4-2-6=2（元）

答：按照約定，乙需要再給甲2元.

故答案為：2.

【點評】本題考差了平方數的一些規律，靈活運用即可作答.

4.【分析】（1）能被4整除的數的特征：如果一個整數的末兩位數能被4整除，那么它必能

被4整除.

（2）能被11整除的數的特征：如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差

（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除；據此解答即可.

【解答】解：要使7口8口能被4整除，個位數字只能是0、4、8.

偶數位數字之和是7+8=15,所以奇數位數字之和只能是15、4.

當個位數字是。時，百位數字只能是4,那么這個數是7480；

當個位數字是4時，百位數字只能是0,那么這個數是7084；

當個位數字是8時，百位數字只能是7,那么這個數是7788；

7084<7480<7788；

所以，這個四位數最小是7084.

故答案為:0,4,7084.

【點評】明確能被4、11整除的數的特征是解決此題的關鍵.

5.【分析】根據“棄九法”直接簡算即可.

【解答】解：6143去掉數字6+3=9,剩下的數字和是1+4=5,

728去掉數字7+2=9,剩下的數字是8,

5減8不夠減，所以9+5-8=6,

所以(6143-728)+9的余數就是6；

同理，22472去掉數字7+2=9,剩下的數字和是2+2+4=8,所以22472+9的余數就是8；

6X8=48

所以，48+9=5…3

所以，A+9的余數是3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了利用“棄九法”求余數的問題，一個數除以9的余數，等于數字和

除以9的余數.

6.【分析】根據規律可知全部智慧數從小到大可按每三個數分一組，從第2組開始每組的第

一個數都是4的倍數.歸納可得第n組的第一個數為4n后面的兩個數分別是

4”+1,4/1+3,又因為100+3=33……1,所以第100個智慧數是第34組中的第1個數，

從而得到4X33=132.

【解答】解：觀察探索規律，可知全部智慧數從小到大可按每三個數分一組，從第2組

開始每組的第一個數都是4的倍數，

歸納可得第〃組的第一個數為4〃(〃22).

100+3=33....1

所以第100個智慧數是第34組中的第1個數，

即為4X34=136

答：第100個智慧數是136.

故答案為：136.

【點評】解決這類問題關鍵是把重復出現的一種類型看成一組，根據除法的意義，求出

總數量里面有多少個這樣的一組，還余幾，然后根據余數進行推算.

7.【分析】“一個自然數被7,8,9除的余數分別為1,2,3,”，77=8-2=9-3=6,就

是說這個數加6后就能整除7,8,9.7,8,9的最小公倍數是504,所以這個數可以寫成

504&-6（k是大于0的自然數），這個數除以7,8,9的商分別是72%-1,63A-1,56k

-1.它們的和191*-3=570,所以k=3,那么這個數是504X3-6=1506；據此解答即

可.

【解答】解：7-1=8-2=9-3=6,就是說這個數加6后就能整除7,8,9,

7,8,9的最小公倍數是：7X8X9=504

設這個數可以寫成504%-6（A是大于0的自然數），

這個數除以7,8,9的商分別是72k-1,63k-1,56k-1,

即，72火-1+63A-1+56A-1=570

191Z-3=570

k=3

這個數是：504X3-6=1506.

故答案為：1506.

【點評】本題考查了孫子定理，本題關鍵是明確這個數加6后就能整除7,8,9.

8.【分析】當左右兩邊剛好樹與街燈正相對時將樹改成立一塊宣傳牌，即從起點開始每隔

30和50的公倍數時就有一塊宣傳牌，即150米，求出9.6千米里面有幾個150,再加上

起點處一個宣傳牌求出一側的數量，再乘2即可.

【解答】解：30=2X3X5

50=2X5X5

2X3X5X5=150

9.6千米=9600米

96004-150+1=65（塊）

65X2=130（塊）

答：芙蓉路全長有130塊宣傳牌.

故答案為：150.

【點評】本題考查了因數倍數應用題和植樹問題的綜合應用，關鍵是明確每隔30和50

的公倍數時就有一塊宣傳牌.

9.【分析】由題意可知，第一次拉的是2的倍數編號，第二次拉的是3的倍數編號，第三次

拉的是5的倍數編號.所有燈被拉的次數分別為1、2、3次，其中拉一次的和拉三次的

最后是滅的：只是2的倍數情況：2的倍數一共有1007盞，減去2和3的倍數，減去2

和5的倍數，其中，所有2和3的倍數中包含了2、3、5的倍數，而所有2和5的倍數

中也包含了2、3、5的倍數，相當于多減了一次2、3、5的倍數，則應該再加上一個2、

3、5的倍數，即再加一個66.只是3的倍數和只是5的倍數求解過程同理.本質就是2、

3、5的倍數包含在了2和3的倍數、2和5的倍數、3和5倍數當中，因為所有燈本來就

是亮的，所以只考慮滅掉的燈的盞數，比考慮亮的燈的盞數簡單的多.據此解答即可.

【解答】解：1-2015中，

2的倍數有：20004-2=1007個…；

3的倍數有：2015的3=671個…2；

2、3的公倍數有:2015+6=335個…5；

5的倍數為：2015的5=403個；

2、5的公倍數有：2015+10=201個…5；

3、5的公倍數有：2015+15=134個…5；

2、3、5的公倍數有：2015+30=67個…5；

所有燈被拉的次數分別為1、2、3次，其中拉一次的和拉三次的最后是滅的，而只拉1

次的和拉3次的燈的編號情況是：

只是2的倍數：1007-335-201+67

只是3的倍數：671-335-134+67

只是5的倍數：403-201-134+67

2、3、5的公倍數，共67盞

則滅掉的燈的總數為：1007-335-201+67+671-335-134+67+403-201-134+67+67=

1009

則最后亮著的燈的總盞數為：20157009=1006.

故答案為：1006.

【點評】完成本題思路要清晰，理清數字之間的倍數關系及拉燈次數之間的關系進行分

析.

10.【分析】根據數字特點，把原式變為1992個9義（11992個Q-1）+1992個9，運用乘法分

配律簡算.

【解答】解:

19924-9X1992個9+1992個9

=1992個9X（11992個CT1）+1992個9

=1992個91992個0-1992個9+11992個0+1992個9

=13984個0

故答案為：3984.

【點評】完成此題，應認真分析式中數據，運用所學知識，靈活解答.

11.【分析】1、首先確定兩個數的位數，判斷兩個數字的位字，如果都是由百位數組成，和

不可能超過2000；如果都由千位數組成，和不可能為小于2000.因此是這兩個數由一個

千位和一個百位或十位數構成.

2.判斷千位數的第一位和第四位.此數倒過來構成4000以上的數，第四位為4；正過來

構成1000以上的數，第一位為1.

3.判斷較小數.此數末位與4構成6,末位為2.此數首位與1構成5,首位為4.

4.若較小數為42,較大數為1534.

5.若較小數的百位為4,則與千位數的第二位之和為5.千位數的第二位為1；較小數的

第二位與1之和為7,較小數的第二位為6.即較小數為462,較大數為1114.

【解答】解：由于兩個數的和是1576,分別把這兩個數的數字順序倒過來后，所得兩個

新數的和是4375,

所以這兩個數由一個千位和一個百位或十位數構成；

由于千位數倒過來構成4000以上的數，則第四位為4；正過來構成1000以上的數，第一

位為1.

如較少的數的末位與4構成6,末位為2.此數首位與1構成5,首位為4.即較少數為

42,則千位數為1534；

如較小數的百位為4,則與千位數的第二位之和為5.千位數的第二位為1；

較小數的第二位與I之和為7,較小數的第二位為6.

即較小數為462,較大數為1114.

所以這兩個數為1534,42或1114,462.

故答案為：1534,42或1114,462.

【點評】完成本題思路要清晰，根據所給條件弄清與位數之間的邏輯關系進行分析解答.

12?【分析】根據題意，本題從83這個數入手，然后依次分析，排除不可能的情況，最后得

出結果.

【解答】解：83+8X3=107,所以在得到總積分107時，得（8分）的局數必定小于3

（否貝483=107-3X8可以得至I）,

即得（8分）的局數為0、1或2,從而107,107-1X8=99,107-2X8=91這三個數

中必有一個是〃的倍數.

如果107是a的倍數，那么a=l或107,但a=l時，可以得到總積分83；。=107時，

無法得到總積分103,所以這種情況不可能發生.

如果99是。的倍數，那么。=1,3,9,11,33,99.

因為83=9X3+8X7=11+8X9,所以a不能是1,3,9,11（否則83可以得到）.

因為103=99+14=33+70=2X33+37,所以a=99或33時，無法得到總分103.

因此這種情況也不可能發生.

如果91是a的倍數，那么“=1,7,13,91,因為83=7X5+8X6,所以“#7.1103=91+12,

所以291.

因此13,下面驗證〃=13是否符合要求.

由于103=8X8+3X13,

104=8X13,

105=8X5+5X13,

106=8X10+2X13,

107=8X2+7X13,

108=8X7+4X13,

109=8X12+1X13,

110=8X4+6X13,

所以a=13符合要求.

故答案為：13.

【點評】本題考查了學生較難的數字問題的理解能力，依次列舉用排除法解題是解答數

字問題的有效方法之一.

13?【分析】第一個4,那么第二、三、四個中球數量的和就是15-4=11個，又每4個相

鄰的盒子里共有15個小球，則第五個一定是4個.而且第（4的倍數+1）個盒子中必定

是4個，26=6X4+2,所以，第25個盒子里放4個，前24個盒子放了6X15=90（個）,

90+4=94,所以最右邊的盒子中有乒乓球100-94=6；據此得解.

【解答】解：據題意可知，4個相鄰的盒子里共有15個小球，

則第5個一定是4個，

而且第（4的倍數+1）個盒子中必定是4個.

26=6X4+2

第25個盒子里放4個，

前24個盒子放了6X15=90（個）

90+4=94

100-94=6

所以，最右邊的盒子中有乒乓球6個.

故答案為：6.

【點評】完成此類題目的關健是據所給條件分析出數列的排列規律，然后據排列規律得

出結論.

14?【分析】由題意，設這個三位數的百位數碼為A,去掉它的首位數字之后剩下的兩位數

為X,則有：100A+X=7X+66,得6X=100A-66.從而進一步確定A和X的值.

【解答】解：設這個三位數的百位數碼為A,去掉它的首位數字之后剩下的兩位數為X,

則有：100A+X=7X+66,得6X=1004-66.

等式右邊應是6的倍數，故4=3或6.

X=39或89.

符合條件的三位數是339或689.

故答案為：339或689.

【點評】此題屬于數字和問題，此題用設未知數的方法較簡單.

15?【分析】（1）首先，0除外，把5分成3個數字之和，只可能是1+1+3=5,或者1+2+2

=5,那么組成這個四位數的數字可能是0、1、1、3或者0、1、2、2；然后把這兩種情

況進行排列組合即可；

（2）把5分成4個數字的和：5+0+0+0=5;或者4+1+0+0=5；或者3+2+0+0=5；或者

3+1+1+0=5；或者2+2+1+0=5；或者2+1+1+1=5,據此進行排列組合即可解答問題.

【解答】解：（1）根據題干分析可得：像這樣數字和是5且只含有一個數字0的四位數,

這個四位數的數字可能是0、1、1、3或者0、1、2、2；

由0、1、1、3組成的四位數有：1130、1103、1013、1031、1310,1301、3110、3101、

3011一共有9個；

由0、1、2、2、組成的四位數有:2210、2201、2021、2012>2102、2120、1220、1202、

1022,一共有9個；

所以9+9=18（個升

答：像這樣數字和是5且只含有一個數字0的四位數有18個.

（2）把5分成4個數字的和：5+0+0+0=5;或者4+1+0+0=5：或者3+2+0+0=5；或者

3+1+1+0=5；或者2+2+1+0=5；或者2+1+1+1=5,

由5、0、0、0組成的四位數是：5000,只有一個；

由4、1、0、0組成的四位數有：4100、4010、4001,1400、1040、1004,有6個；（可

按照從大到小或從小到大的順序）

由3、2、0、。組成的四位數有：3200、2300、3020、3002、2030、2003,有6個；

由3、1、1、0組成的四位數有：3110、3101,3011、1310、1301,1130、1103,1031、

1013,有9個；

由2、2、1、。組成的四位數有:2210、2201、2120、2102、2021、2012、1220、1202、

1022,有9個;

由2、1、1、1組成的四位數有：2111、1112、1121、1211、有4個；

所以1+6+6+9+9+4=35（個），

答：一共有35個這樣的四位數.

故答案為：18；35.

【點評】本題的關鍵是找出數字和是5的四個數字，再進行排列組合即可解答問題，耍

注意數字相同的情況.

16.【分析】因為72=8X9,則7口5口能被8和9整除；

8的倍數則最后三位是8的倍數；9的倍數則各位數字之和是9的倍數；這兩個同時成立,

7口5口能被8和9整除；進行分析即可；

【解答】解：7口5口能被8和9整除.

首先它是一個偶數；其次它的所有的數字和是9的倍數；

先考慮9的倍數：3+7+5=15,再加上3或者12就可以是9的倍數；

再考慮偶數：所以肯定是如下幾組（先百位，后個位）：（3、0）,（1、2）,（8、4）,（6、

6）,（4、8）.

能被8整除的數的后三位是8的倍數，經過試除可知：

37152+72=516；

376564-72=523；

故答案為：516或523.

【點評】解答此題的關鍵是能被72整除，即能被8、9整除，然后根據能被8和9整除

的數的特征進行分析、解答即可.

17?【分析】根據4a=2c=4。擴大4倍，b擴大2倍,那么甲、乙、丙三數余數就相同了，

即939X2=1878,393X4=1572,然后兩兩相減求出三個差，然后求出306、969的最大

公因數，討論即可得出答案.

【解答】解：設393除以A的余數為x,

則：603=4x(modA).939三2x(modA),393=x(modA).

由同余性質可得，603三4x(modA),939X2三2X2x(modA),393X4三4XxCmodA),

即：603、1878、1572對于模A同余.

1878-1572=306,

1572-603=969,

所以4是306、969的因數，

306、969的最大公因數是51=3X17；

當A是51時，603+51=11...42,939+51=18....21,393+51=7...36,則51不

是A的取值；

當A是17時，603+17=35....8,939+17=55....4,393+17=23...2,4X2=2X4

=8,

所以A=17.

故答案為：17.

【點評】本題考查了剩余定理的靈活應用，關鍵是統一余數，然后根據因數與倍數的關

系解答即可.

二.應用題(共2小題)

18?【分析】由于乙比丙獻的數量多很多，所以可以假設丙只獻了1本，那么乙獻14本，甲

獻28本，1+14+28=43,所以最少有43本，大于等于43且小于50的質數只有43和47,

由于各位數字的和是11,而1+1+4+2+8=16,不合題意，所以不是43,那么只能是47；

所以甲30本，乙15本，丙2本.總數為47本.代入驗證，符合要求.

【解答】解：假設丙只獻了1本，那么乙獻：1+13=14本，

甲獻：14X2=28本，1+14+28=43,所以最少有43本，

大于等于43且小于50的質數只有43和47,

如果總數是43,那么1+1+4+2+8=16,不合題意，所以不是43,

那么只能是47,丙獻出2本，甲獻出30本，乙獻出15本，

2+1+5+3+0=11,符合題意;

所以甲30本，乙15本，丙2本；

30+15+2=47(本)

答：甲乙丙分別獻出30本、15本、2本圖書；三人一共獻出47本.

【點評】解答此題的關鍵是根據題意，進行假設，進而得出總數的取值，然后進一步根

據題意，進行驗證，進而得出結論.

19.【分析】根據題意，先求得45、60最小公倍數是180,不必移動的就是相隔180米的電

線桿，再根據“每隔45米安裝一根電線桿，加上兩端的兩根電線桿共65根，除去兩端

的2根不需移動”，則從甲地到乙地的距離為45X(65-1),電線桿不必移動的總根數是

45X(65-1)+180,然后減去1根，解決問題.

【解答】解：45=3X3X5

60=2X2X3X5

所以45、60最小公倍數是2X2X3X3X5=180

45X(65-1)4-180-1

=2880+180-1

=16-1

=15(根)

答：除兩端的電線桿不動，還有15個電線桿不需要動.

【點評】此題解答的關鍵在于求得從甲地到乙地的距離以及不變移動的電線桿的之間的

距離.

三.解答題(共21小題)

20?【分析】此題可以設出這個兩位數為ah,根據被除數、除數、商和余數的關系，寫成10a+6

—9b+6,l0a+b=5(?+/?)+3,化簡后得：5a-4b=3,由于a、b均為一位整數，可推

出“、b的值，進而得解.

【解答】解：設這個兩位數為加，由題意得：

10a+h=96+6,

10a+6=5(a+6)+3；

所以9b+6=5(a+b)+3,

化筒，得5a-43=3,由于“、b均為一位整數,所以a=3或7,6=3或8；

但33不符合題意，因此原數為78.

答：這個兩位數是78.

【點評】此題解答的關鍵是設出這個兩位數為浦，根據被除數、除數、商和余數的關系，

求出a、b的值

21.【分析】設這個兩位數的十位數為x,則個位數為x+3.所以這個十位數為10x+x+3.又

十位上的數字與個位上的數字之和等于這個兩位數的工，則此可得等量關系式：1

44

(10x+x+3)+=x+x+3.解此方程能求得這個數的十位數，進而求得這個數是多少.

【解答】解：設這個兩位數的十位數為x,則個位數為x+3.可得方程：

—(10x+x+3)=x+x+3

4

A(llx+3)=2x+3.

4

44

當=旦,

44

x=3.

則個位數為3+3=6,

即這個兩位數為36.

答：這個兩位數為36.

【點評】通過設未知數，根據數位知識將這個兩位數表示出并列出等量關系式是完成本

題的關鍵.

22?【分析】分析題意可知，這三張牌的和算了三遍后結果是13+15+23=51,則三張牌的和

是51+3=17,找到和為17的三個數，并符合題意，即可解答.

【解答】解：三張牌的和是：(13+15+23)+3=51+3=17可知一定有9這張牌(因為

23=8+8+7,剩下一張牌無法同時滿足13和15)

于是剩下兩數和為8,依次排除：

0，8排除

1，7排除

2,6排除4,4重復，排除

3,5成立(甲：5,5,3；乙：3,3,9；丙：9,9,5)

所以這三張牌的數字各是3、5、9答：這三張牌的數字各是3、5、9.

【點評】解答本題的關鍵是找出這3個數的和，再根據這個和，找出符合題意的數即可.

23.【分析】設大盒子x個，小盒子y個，根據“盒子個數大于9,”得出x+y>9,再根據“每

個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，一共是99個，”得出12x+5y=99,由此解方程組,

即可得出答案.

【解答】解：設大盒子x個，小盒子y個，

12x+5y=99,

x+y>9,

因為，)，=99-⑵,用99減去12x,所得的數個位是0或5即可，

5

可得x=2,y=15,共2+15=17個，

x=7,y=3,共7+3=10個，

故大盒子有2個，小盒子有15個；或大盒子有7個，小盒子有3個.

答：大盒子有2個，小盒子有15個；或大盒子有7個，小盒子有3個.

【點評】本題考查不定方程的求解，根據題意，列出不定方程，再根據不定方程里未知

數的取值受限，即可得出答案，屬于中檔題.

24.【分析】設在右邊第5格處必須掛x克祛碼，才能使平衡架平衡，每個格的長度為1,

然后杠桿平衡原理，列出方程，求出x的值，即可求出在右邊第5格處必須掛多少克祛

碼.

【解答】解：設在右邊第5格處必須掛x克祛碼，才能使平衡架平衡，每個格的長度為1,

則(20X4)Xl=5x

5x=8O

5x^5=804-5

x=16

答：在右邊第5格處必須掛16克祛碼，才能使平衡架平衡.

【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用，弄清題意，找出合適的等量關系，進而

列出方程是解答此類問題的關鍵；此題還考查了杠桿平衡原理的應用.

25.【分析】本題兩個等量關系為：第一次買的千克數+第二次買的千克數=80千克；第一

次出的錢數+第二次出的錢數=1060元.對某單位買的荔枝的千克數，應分情況討論：

①當第二次買的重量在40-50kg之間，那么80奴的荔枝的價格都是14元，14X80=1120

(元)，不符合條件；②當第二次買的重量超過50kg時，設第二次買了xkg,則第一次

買了(80-x)kg,12x+16X(80-x)=1060,解方程即可求出第二次要買的千克數，

用80千克減去第二次買的千克數就是第一次買的千克數.

【解答】解：①當第二次買的重量在40-50kg之間，那么80依的荔枝的價格都是14元,

14X80=1120,不符合條件，舍去.

②當第二次買的重量超過50俄時，設第二次買了Mg,則第一次買了（80-x）kg,得：

12x+16X（80-x）=1060

12x+1280-16x=1060

4x=220

x=55（符合題意）

80-55=25（千克）

答：第一次買了25千克.第二次買了55千克.

【點評】本題主要考查學生分類討論的思想.找到兩個基本的等量關系后，應根據討論

的千克數找到相應的價格進行作答.

26.【分析】此題可設原來的兩位數是必，則有“+6=12,10a+b-54=10h+a,由此即可推

出〃、人的值，進而解決問題.

【解答】解：設原來的兩位數是則有：

a+b=\2,①

\Oa+b-54=10i>+a,②

由②得：

9（a-b）=54,

a-b=6,③

①+②得：

2a=18,

a—9,

則b—3.

因此，原來的兩位數是93.

答：原來的兩位數是93.

【點評】此題采用了用字母代替數的方法，根據題意，列出等式，通過化簡，解決問題.

27.【分析】由題意，例如：在2、3、4、5、6、7、8、9、10這9個數中，有4個質數，這

也是最多的，因為任意連續9個自然數中至少有4個偶數，剩下的五個奇數中至少有一

個是3的倍數.

【解答】解：這個問題依據兩個事實:

(1)除2之外，偶數都是合數;

(2)九個連續自然數中，一定含有5的倍數.以下分兩種情況討論：

①九個連續自然數中最小的大于5,這時其中至多有5個奇數，而這5個奇數中一定有

一個是5的倍數，即其中質數的個數不超過4個；

②九個連續的自然數中最小的數不超過5,有下面幾種情況：

1,2,3,4,5,6,7,8,9；

2,3,4,5,6,7,8,9,10：

3,4,5,6,7,8,9.10,11；

4,5,6,7,8,9,10,11,12；

5,6,7,8,9,10,11,12,13；

這幾種情況中，其中質數個數均不超過4.

綜上所述，在九個連續自然數中，至多有4個質數.

答：九個連續自然數中，至多有4個質數.

【點評】本題考查了質數的意義以及對數的列舉能力，分析判斷能力等.

28.【分析】將其中一個加數末尾的。漏掉了，也就是把這個數縮小了10倍，那就意味著這

個數只加上了它的工，另外9漏掉了，那么明明比聰聰少的部分(685-280=405)就

1010

占這個數的_上，那么一個數的a是405,這個數就是4054-J_=450,另一個數就為

101010

685-450=235.

【解答】解：一個加數是:

(685-280)4-(1-_1_)

10

=405+2

10

=450；

另一個加數是：

685-450=235.

答：兩個加數分別是450、235.

【點評】此題解答的關鍵是弄清“將其中一個加數末尾的0漏掉了"，也就是把這個數縮

小了10倍，這是解答的突破口.

29.【分析】假設存在某種排列，滿足條件.我們把這100個數從左向右按1,2,3,…，

99,100編號，則任何兩個相等的偶數之間要插入偶數個數，則這兩個偶數的序號的奇偶

性是不同的；而任何兩個相等的奇數之間要插入奇數個數，則這兩個奇數的序號的奇偶

性相同；進而進行分析，即可得出結論.

【解答】解：假設存在某種排列，滿足條件.我們把這100個數從左向右按1,2,3,…，

99,100編號，則任何兩個相等的偶數之間要插入偶數個數，則這兩個偶數的序號的奇偶

性是不同的；而任何兩個相等的奇數之間要插入奇數個數，則這兩個奇數的序號的奇偶

性相同.由此，這100個數中有25對偶數（每對是兩個相等的偶數），它們占去25個奇

序號和25個偶序號「另外25對相等的奇數，它們中奇序號的個數一定是偶數.而在100

個數中奇序號和偶序號各有50個，所以這25對相等的奇數中，奇序號個數只能是25個

（因為25對偶數已占去了奇序號）.25是奇數，由于奇數#偶數，所以無法實現.

答：無法實現.

【點評】解答此題的關鍵是先假設結論成立，然后進行分析、驗證，進而進行比較，得

出結論.

30.【分析】此題關鍵是起點再起點相遇.實際上是求15與12的最小公倍數，再求出各自

跑的圈數.

【解答】解：15與12的最小公倍數是：60.

小明跑的圈數：604-15=4,

爸爸跑的圈數是：60+12=5,

答：至少60分鐘后兩人再次在起點相遇此時，爸爸和小明各跑了5圈、4圈.

【點評】解此類題一定要認真讀題，關鍵題意明白跑圈再次相遇實際上是求他們的最小

公倍數的.

31?【分析】根據1999、1989和1979這三個數字的特點，以及減去一個數后它們的差之間

的關系，通過驗證，得出結果.

【解答】解：1999、1989和1979這三個數分別相差10,減去一個數后，

設得到的最小的質數為〃，那么其余兩個不同的質數變為：a+20,4+10.

根據同余定理：”+20,a+10和a這三個數中必有一個是3的倍數，那只能是a=3,

即只有a=3時，才滿足a+20,a+10和a分別是質數.

故減去的數是：1979-3=1976.

【點評】此題考查了質數的概念，以及學生的分析推理能力.

32.【分析】根據題意，假設丁拿走的為X塊，則乙、丙拿走的就分別為2X塊，進而說明

乙、丙、丁取走的總塊數就是5的倍數；然后計算出這8個盒子中糖的總數為216塊，

再用216分別減去這8個數字，結果是5的倍數的只有甲取31這種情況，所以斷定甲取

走的盒中有31塊奶糖.

【解答】解：設丁拿走的為X塊，則乙、丙拿走的就分別為2X塊，說明乙、丙、丁取走

的總塊數為5X,5X一定是5的倍數，

9+17+24+28+30+31+33+44=216（塊），

又216-9=207（:塊），216-17=199（塊），216-24=192（塊），216-28=188（塊），

216-30=186（塊），216-31=185（塊），216-33=183（塊），216-44=172（塊），

只有185是5的倍數，

所以斷定甲取走的盒中有31塊奶糖.

答：甲取走的盒中有31塊奶糖.

【點評】此題考查數的整除特征，解決此題關鍵是理解乙、丙、丁取走的總塊數是5的

倍數，把它當做突破口，進而問題得解.

33.【分析】被除數、除數、商和余數的關系：被除數=除數X商+余數.如