大學高等數學上冊1.1數列的極限第一頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”引例1、割圓術：播放——劉徽§1.1.1數列極限的定義2第二頁，共56頁。正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積3第三頁，共56頁。引例2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”4第四頁，共56頁。例如5第五頁，共56頁。注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數6第六頁，共56頁。播放數列的極限的定義7第七頁，共56頁。問題:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:8第八頁，共56頁。9第九頁，共56頁。如果數列沒有極限,就說數列是發散的.注意：10第十頁，共56頁。幾何解釋:其中11第十一頁，共56頁。數列極限的定義未給出求極限的方法.注意：幾何解釋:12第十二頁，共56頁。例1.已知證明數列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當時,就有故13第十三頁，共56頁。例2.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N

與有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取14第十四頁，共56頁。例3.設證明等比數列證:欲使只要即亦即因此,取,則當n>N

時,就有故的極限為0.第十五頁，共56頁。§1.1.2收斂數列的性質證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有定理1.收斂數列的極限唯一.使當n>N1時,假設從而矛盾.因此收斂數列的極限必唯一.則當n>N

時,故假設不真!滿足的不等式16第十六頁，共56頁。定理2收斂的數列必定有界.證由定義,注意：有界性是數列收斂的必要條件.推論無界數列必定發散.雖有界但不收斂.數列17第十七頁，共56頁。定理3.收斂數列的保序性.證:取18第十八頁，共56頁。19第十九頁，共56頁。§1.1.3收斂數列的四則運算定理4

.若則有20第二十頁，共56頁。§1.1.4

數列收斂的判別法例5.例6見書。

21第二十一頁，共56頁。準則1(夾逼定理)

證:由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故第二十二頁，共56頁。例7.證明證:利用夾逼準則.且由23第二十三頁，共56頁。準則2(單調有界數列必有極限

)

(證明略)第二十四頁，共56頁。例8.設證明數列極限存在.證:利用二項式公式,有25第二十五頁，共56頁。大大正又比較可知26第二十六頁，共56頁。根據準則2可知數列記此極限為e,e為無理數,其值為即有極限.又

子數列的收斂性第二十七頁，共56頁。*********************定理7.收斂數列的任一子數列收斂于同一極限.證:設數列是數列的任一子數列.若則當時,有現取正整數K,使于是當時,有從而有由此證明*********************28第二十八頁，共56頁。由此性質可知,若數列有兩個子數列收斂于不同的極限,例如，

發散!則原數列一定發散.說明:定理9.任意有界數列必有收斂的子數列。（證明略）29第二十九頁，共56頁。思考與練習1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數列;方法2.找兩個收斂于不同極限的子數列.2.已知,求時,下述作法是否正確?說明理由.設由遞推式兩邊取極限得不對!此處30第三十頁，共56頁。故極限存在，備用題

1.設

,且求解：設則由遞推公式有∴數列單調遞減有下界，故利用極限存在準則31第三十一頁，共56頁。2.

設證:顯然證明下述數列有極限.即單調增,又存在“拆項相消”法第三十二頁，共56頁。劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數學方法和數學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:33第三十三頁，共56頁。柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學

校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應用》等,有思想有創建,響廣泛而深遠.對數學的影他是經典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析的發展.復變函數和微分方程方面.一生發表論文800余篇,著書7本,34第三十四頁，共56頁。1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽35第三十五頁，共56頁。1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽36第三十六頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽37第三十七頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽38第三十八頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽39第三十九頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽40第四十頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽41第四十一頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽42第四十二頁，共56頁。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽43第四十三頁，共56頁。44第四十四頁，共56頁。45第四十五頁，共56頁