同濟大學高等數學第七版12_數列的極限第一頁，共28頁。如果按照某一法則，對每個，對應著一個確定的實數，這些實數按照下標n從小到大排列得到的一個序列就叫做數列，簡記為數列.數列中的每一個數叫做數列的項，第n項叫做數列的一般項或通項。1、數列定義一、數列極限的定義第二頁，共28頁。例如注意：

(1).數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取(2).數列是整標函數第三頁，共28頁。(1)有界性數列{xn}有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…).數列{xn}有下界,即存在m,使xn

≥m(n=1,2,…).2.數列的性質第四頁，共28頁。有界有界有界無界有界判斷下列數列第五頁，共28頁。單調增加單調減少單調數列(2)單調性單調增加單調減少判斷下列數列的單調性第六頁，共28頁。單調增加無單調性無單調性第七頁，共28頁。觀察下列數列當n無限增大時，LL,,2

1?LL,

0?從上面可以看出:當￥?n時,無限地接近于1,數列(2)從原點的兩側無限地接近于0,一般項的變化趨勢:數列(1)從的右側第八頁，共28頁。3.數列極限的定義

當n無限增大時,如果數列{xn}的一般項xn無限接近于一個確定的常數a,則常數a稱為數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂于a,記為axnn=￥?lim，

或如果數列沒有極限，就說數列是發散的．第九頁，共28頁。例如,趨勢不定收斂發散第十頁，共28頁。問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.通過觀察:當n無限增大時,無限接近于1.引例觀察數列時的變化趨勢.第十一頁，共28頁。,1001給定,10011<n由,100時只要>n,10011<-nx有第十二頁，共28頁。數列極限的精確定義axnn=￥?lim，

當n無限增大時,xn無限接近于a.當n無限增大時,|xn-a|無限接近于0.當n無限增大時,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數.或第十三頁，共28頁。只要n無限增大，xn

就會與1無限靠近。引入符號N和來刻化無限增大和無限接近。注：就會暫時確定下來,一旦給定,以此來確定相應的N.第十四頁，共28頁。記作此時也稱數列收斂

,否則稱數列發散.或則稱該數列的極限為a,定義:設為一數列,如果存在常數a,對于任意給定的正數(不論它多小)總存在正整數N,使得當n>N時,不等式都成立，——數列極限的精確定義第十五頁，共28頁。都落在a點的ε鄰域因而在這個鄰域之外至多能有數列中的有限個點注意：數列極限的定義未給出求極限的方法.數列極限的幾何意義使得N項以后的所有項注：越小,表示與a接近得越好.第十六頁，共28頁。OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些點在條形域外面！●●●●●●●●●數列極限的演示第十七頁，共28頁。N數列極限的演示e越來越小，N越來越大！第十八頁，共28頁。例1.已知證明數列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當時,就有故N

與有關,但不唯一.不一定取最小的N.注：第十九頁，共28頁。例2.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N與有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機動目錄上頁下頁返回結束第二十頁，共28頁。例3.設證明等比數列證:欲使只要即亦即因此,取,則當n>N時,就有故的極限為

0.機動目錄上頁下頁返回結束第二十一頁，共28頁。

練習1

用定義證明證明對于任意給定的要使

只要取自然數

則當時，有,所以注：就會暫時確定下來,一旦給定,以此來確定相應的N.第二十二頁，共28頁。二、收斂數列的性質證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有1.收斂數列的極限唯一.使當n>N1時,假設從而矛盾.因此收斂數列的極限必唯一.則當n>N時,故假設不真!滿足的不等式機動目錄上頁下頁返回結束第二十三頁，共28頁。2.收斂數列一定有界.證:設取則當時,從而有取則有由此證明收斂數列必有界.有機動目錄上頁下頁返回結束第二十四頁，共28頁。

收斂的數列必有界.

有界的數列不一定收斂.

無界的數列必發散.

發散的數列不一定無界.第二十五頁，共28頁。3.收斂數列的保號性.若且時,有證:對a>0,取推論:若數列從某項起(用反證法證明)機動目錄上頁下頁返回結束第二十六