2009.1．2會合的觀點及其運算（2）【知識網絡】1．全集、補集；2．交集、并集；3．會合的運算；4．會合思想與函數、方程、不等式等知識的綜合；5．文思圖．高考回首：考題1：(2006安徽理)設會合Axx22,xR，Byx2,1x2，則CRAB等于()A．RB．xxR,x0C．0D．考題2：（2006安徽文）設全集U{1,2,3,4,5,6,7,8}，會合S{1,3,5}，T{3,6}，則CUST等于（）A．B．{2,4,7,8}C．{1,3,5,6}D．{2,4,6,8}考題3（：2006福建文）已知全集UR,且Ax|x12,Bx|x26x80,則(CUA)B等于()（A）[1,4)（B）(2,3)（C）(2,3]（D）(1,4)考題4：（2006遼寧文）設會合A1，2，則知足AB1，2，3的會合B的個數是（）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8∩考題5：（2006全國卷I理）已知會合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2＞｝，則Mx1N＝（）（A）（B）｛x|0＜x＜3｝（C）｛x|1＜x＜3｝（D）｛x|2＜x＜3｝考題6：（2006陜西理）已知會合P={x∈N|1≤x≤10},會合Q={x∈R|x2－≤+x60},則P∩Q等于()A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}考題7．（08福建1）若會合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},則A∩B等于（A）A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠考題8．（08寧夏1）已知會合Mx(x2)(x1)0，xx10，則MNN（C）A．(11)，B．(2，1)C．(2，1)D．(1，2)考題6．（08江西2）定義會合運算:ABzzxy,xA,yB.設A1,2,B0,2,則會合AB的全部元素之和為（D）A．0B．2C．3D．6【典型例題】例1（1）如右圖所示，I為全集，M、P、S為I的子集。則暗影部分所表示的會合為（C）提示：設x為暗影部分的一個元素，則xM且xP且xS,所以xM且xP且xCIS，故答案為C．2）設全集I(x，y)|x，yR，會合，y)|y31}，（M{(xx2N(x，y)|yx1，那么U(MN)等于（B）Ａ．Ｂ．(2，3)Ｃ．(2，3)Ｄ．(x，y)|yx1提示：會合B表示直線yx1（除掉點（2，3）），會合N表示坐標平面內直線yx1之外的地區，MN表示平面內除掉點（2，3）的地區，故答案為B（3）已知會合A＝{x|x2+3x－10＜0}，B={x|x=y+1，y∈A}，則A∩B={x|4x2}提示：A={x|5x2}，B={x|4x3}，答案：{x|4x2}（4）設全集UZ，A{x|x3k1，kZ}，則UA=x|x3k，或x3k2，kZ提示：會合A中的元素為被3除余1的數，則其補集中的元素為被3整除和被3除余2的數．例2．設全集U={x|x5,且xN*}，會合A={x|x25xq0}，B={x|x2px120},且（CUA）B={1，3，4，5}，務實數P、q的值．解：U={1，2，3，4，5}A={1，4}或A={2，3}當A={1，4}時，CUA={2,3,5}，B={3，4}，則（CUA）B=（2，3，4，5），這與（CUA）B={1，3，4，5}矛盾，故舍去；當A={2，3}時，CUA＝{1，4，5}，B={3，4}，則（CUA）B={1，3，4，5}，合適題意．故A={2，3}，B={3，4}，∴p=(3+4)=7，q=2×3=6．綜上所述：p7，q6．例3．某學校召開校運會，設A={x|x是參加100米跑的同學}，B={x|x是參加200米跑的同學}，C={x|x是參加4×100米接力跑的同學}．學校規定：每個同學最多只好參加兩個項目競賽．據統計，高一（8）班共有13人參加了此三項競賽，此中共有8人參加了4×100米接力跑項目，共有6人參加100米跑項目，共有5人參加200米跑項目；同時參加4×100米接力跑和100米跑的同學有3人，同時參加參加4×100米接力跑和200米跑的同學有2人．問：同時參加100米跑和200米跑項目的同學有多少個？只參加200米跑的同學有多少個？只參加100米跑的同學有多少個？y個，只參加解：設同時參加100米跑和200米跑項目的同學有200米跑的同學有z個，只參加100米跑的同學有x個．作出文思圖如右圖，則有：xy36zy25，解得x2,y1,z2xyz813∴同時參加100米跑和200米跑項目的同學有1個,只參加200米跑的同學有2個,只參加100米跑的同學有2個．例4．會合A{(x,y)|x2mxy20}},會合B{|(x,y)|xy10,且0x2}，又AB，務實數m的取值范圍．解：由AB知方程組x2mxy20x2內有解，消去y，得：xy10在0x2(m1)x10在0x2內有解，(m1)240即m3或m1．若3x21m0，x1x21，所以方程只有負根，舍去．，則x1若m1則x1x21m0，x1x21，所以方程有兩正根，且兩根均為1或兩根一個大于1，一個小于1，即起碼有一根在[0，2]內．所以，m的范圍是(,1]．例5．已知會合A(x,y)|x2mxy20,xR，B(x,y)|xy10,0x2，若AB，務實數m的取值范圍．剖析：此題的幾何背景是：拋物線yx2mx2與線段yx1(0x2)有公共點，務實數m的取值范圍．【課內練習】1．設全集U1,2,3,4,5,6,7,P1,2,3,4,5,Q3,4,5,6,7，則PCUQ＝(A)A．1,2B．3,4,5C．1,2,6,7D．1,2,3,4,5提示：CUQ{1,2}，PCUQ{1,2}，答案為A．2．設S、T是兩個非空會合，且ST，TS，令X=ST，那么SX=（D）A．XB．TC．D．S提示：作出文思圖，由圖能夠看出SX=S，答案為D．3．若A、B、C為三個會合，ABBC，則必定有（A）A．ACB．CAC．ACD．A提示：由ABBC知，ABB,ABC，∴ABC，應選A．4．設U={1，2，3，4，5}，A，B為U的子集，若AB={2}，（CUA）B={4}，（CUA）（CUB）={1，5}，則以下結論正確的選項是（C）A．3A,3BB．3A,3BC．3A,3BD．3A,3B提示：作出文思圖可知3A,3B，答案為C．221}},B={(x,y)xy1,a0,b0},當A∩B只有一個5．x、y∈R，A={(x,y)|xy|ba元素時，a,b的關系式是ab22ab提示由A∩B只有1個元素知，圓x2y21與直線xy=1相切，則1=ab，aba2b2即ab=a2b26．若會合A{x|3cos2x3x,xR}，B{y|y21,yR}，則AB={1}.提示：B{1,1}，1A，1A，故AB{1}7．已知會合A={x|x=2k1，k∈N}，B={x|x4，x∈Q}，則A∩B為{1，3}提示：由2k14，得02k116，0.5k，∴k∈{01234，k7.5.又∈N，，，，5，6，7}．又只有k=0或k=4時能使x∈Q，∴A∩B={1，3}.8．已知，全集U={x|5x3}，A={x|5x1}，B={x|1x2}．求：CUA，CUB，(CUA)(CUB)，(CUA)(CUB)，CU(A∩B)，CU(A∪B)，并指出此中相等的會合．解：CUA{x|1x3}；CUB{x|5x1或2x3}；(CUA)(CUB){x|2x3}；(CUA)(CUB){x|5x1或1x3}CU(AB){x|5x1或1x3}；CU(AB){x|2x3}相等會合有：(CUA)(CUB)CU(AB)，(CUA)(CUB)CU(AB)．9．設全集U2,3,a22a3，A|a1|,2，CUA{5}，務實數a的值。解：由CUA{5}可得：|a1|3，a4或a2，∴a4或a2．a2a3a4或a2510．設A={x|x24x0}，B={x|x22(a1)xa210}，此中xR，假如AB=A，務實數a的取值范圍。解：A={0，4}，又AB=A，所以BA（1）B=時，4(a1)24(a21)0，得a1；（2）B={0}或B={4}時，0得a1，此時B={0}；（3）B={0，4}時，2(a1)4解得a1．a210綜上所述：a1或a1．1．2會合的觀點及其運算（2）作業A組1．已知M{y|yx24,xR}，P{x|2x4}，則M與P的關系是（D）A．M=PB．MPC．M∩P=D．MP提示：M{y|y4},答案為D．2.A={xZ|x2px150},B={xZ|x25xq0},若AB={2,3,5},A、B分別為（A）A．{3，5}、{2，3}B．{2，3}、{3，5}C．{2，5}、{3，5}D．{3，5}、{2，5}提示：會合A中的兩個元素的積為15，B中兩個元素的和為5，故答案為A.已知會合A、B、C知足A∪B=A∪C，則（1）A∩B=A∩C（2）A=B（3）A∩(CRB)=A∩(CRC)（4）(CRA)∩B=(CRA)∩C中正確的選項是（D）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）提示：設A{x|1x3}，B{x|2x4},CCRA{x|x1或x3}，CRB{x|x2或x4}{x|1x2}，A(CRC){x|1x3}，(CRA)

{x|3x4}，則A∪B=A∪C，AB，，CRC{x|x3或x4}，A(CRB)B{x|3x4}，(CRA)C(CRA)B{x|3x4}，故答案為D.4．已知全集為UR,M{x|x2x0},N{x|x10}，則有（B）xA．MNRB．MNC．CUNMD．CUNN提示：M{x|x0或x1},N{x|0x1}，分別求出選擇支中的有關會合，知選B．5．設M={1，2，m2－3m－1}，P={－1，3}，M∩P={3}，則m的值為（D）A．4B．－1C．1，－4D．4，－1提示：∵M∩P={3}，∴3∈M.∴m2－3m－1=3.∴m＝4或m=－1．答案為D．6.設I是全集，會合P、Q知足PQ，則下邊的結論中錯誤的選項是（D）A．PQQB．(IP)QIC．P(IQ)D．(IP)(IQ)IP作出文思圖，由文思圖能夠直接看出答案為D．7．設M={1，2，m2－3m－1}，P={－1，3}，M∩P={3}，則實數m＝4或－1提示：∵M∩P={3}，∴3∈M.∴m2－3m－1=3.∴m＝4或m=－1.8．已知A{y|yx22x1}，B{y|y2x1}，則AB{y|y0}．提示：A{y|y(x1)2}{y|y0}，BR,AB{y|y0}9．設全集為，用會合A、B、C的交、并、補集符號表圖中的暗影部分．（1）(AB)CU(AB)；（2）[(CUA)(CUB)]C；（3）(AB)(CUC)10．已知Ax|x23x100,Bx|y|2x1|1,yA,則AB＝x|0x1提示：Ax|5x2，由yA得：Bx|12x112＝x|0x111．已知A={x|x2－4x－5＞0}，B={x||x－a|＜4}，且A∪B=R，務實數a取值的會合.解：A={x|x5或x1}，B={x|a－4xa+4}．如圖，為使A∪B=R，∴a451＜a＜3.a4112．已知M={2，3，m2+4m+2}，P={0，7，m2+4m－2，2－m}，知足M∩P={3，7}，務實數m的值和會合P．解：∵M∩P＝{3，7}，∴7∈M，即m2+4m+2=7.∴m=－5或m=1.當m=－5時，M={2，3，7}，P={0，7，3，7}，P中元素不知足互異性，∴m=－5舍去.當m=1時，M={2，3，7}，P={0，7，3，1}，知足條件，∴m=1，此時P＝{0，7，3，1}.13．關于會合A={x|x2－2ax+4a－3=0}，B={x|x2－2ax+a+2=0}，能否存在實數a，使A∪B=？若a不存在，請說明原因；若a存在，求出a．解：∵A∪B=，∴A=且B=.∴a24a30,即2a2解得1＜a＜2.a0.

1(2a)24(4a3)0,2(2a)24(a2)0,∴存在實數a，知足A∪B=，此時1＜a＜2.14．會合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝．若A∩B＝A∪B，求a．解：由已知，得B＝｛2，3｝．∵A∩B＝A∪B，∴A∪BA，A∪BB，又A∪BA，A∪BB，∴A∪BAB于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的兩個根，由韋達定理知：23a23a219

解之，得a＝5．組15．已知全集I=R,A={x|x2x60}，B={x|x22x80},C={x|x24ax3a20}，若ABC，務實數a的取值范圍。解：Ax|2x3，Bx|x2或x4，ABx|2x3當a0時，C{x|3axa}，