高等數學理工類課件映射與函數第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日

第一章二、映射三、函數一、集合第一節機動目錄上頁下頁返回結束映射與函數第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數的集.機動目錄上頁下頁返回結束第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數集合或有理數集

p與q

互質實數集合

x

為有理數或無理數開區間閉區間機動目錄上頁下頁返回結束第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日無限區間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:機動目錄上頁下頁返回結束第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關系及運算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關系:,,若設有集合記作記作必有機動目錄上頁下頁返回結束第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日定義3

.

給定兩個集合A,B,并集交集且差集且定義下列運算:余集直積特例:記為平面上的全體點集機動目錄上頁下頁返回結束或第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日二、映射1.映射的概念

某校學生的集合學號的集合按一定規則查號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規則入座機動目錄上頁下頁返回結束引例1.第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日引例2.引例3.(點集)(點集)向y

軸投影機動目錄上頁下頁返回結束第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日定義4.設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱f

為從X

到Y

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.機動目錄上頁下頁返回結束第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.引例2,3機動目錄上頁下頁返回結束引例2引例2第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日例1.海倫公式例2.如圖所示,對應陰影部分的面積則在數集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射)機動目錄上頁下頁返回結束第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日X(數集或點集

)說明:在不同數學分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數集)機動目錄上頁下頁返回結束f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的為函數映射又稱為算子.名稱.例如,第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日2.逆映射與復合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f

的逆映射.機動目錄上頁下頁返回結束第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日(2)復合映射機動目錄上頁下頁返回結束手電筒D引例.復合映射第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日定義.則當由上述映射鏈可定義由D

到Y

的復設有映射鏈記作合映射

,時,或機動目錄上頁下頁返回結束注意:

構成復合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個映射的情形.第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日定義域三、函數1.函數的概念定義4.設數集則稱映射為定義在D

上的函數,記為f(D)稱為值域函數圖形:機動目錄上頁下頁返回結束自變量因變量第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日(對應規則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應規律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數定義域值域機動目錄上頁下頁返回結束第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例4.

已知函數求及解:函數無定義并寫出定義域及值域.定義域值域機動目錄上頁下頁返回結束第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日2.函數的幾種特性設函數且有區間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調性為有界函數.在I

上有界.使若對任意正數M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當時,稱為I

上的稱為I

上的單調增函數;單調減函數.機動目錄上頁下頁返回結束第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數;若則稱f(x)為奇函數.

說明:若在x=0有定義,為奇函數時,則當必有例如,

偶函數雙曲余弦記機動目錄上頁下頁返回結束第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日又如,奇函數雙曲正弦記再如,奇函數雙曲正切記機動目錄上頁下頁返回結束第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日(4)周期性且則稱為周期函數

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數不一定存在最小正周期.例如,常量函數狄里克雷函數x

為有理數x為無理數機動目錄上頁下頁返回結束第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日3.反函數與復合函數(1)反函數的概念及性質若函數為單射,則存在逆映射習慣上,的反函數記成稱此映射為f

的反函數.機動目錄上頁下頁返回結束其反函數(減)(減).1)y＝f(x)單調遞增且也單調遞增性質:第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日2)函數與其反函數的圖形關于直線對稱.例如,對數函數互為反函數,它們都單調遞增,其圖形關于直線對稱.機動目錄上頁下頁返回結束指數函數第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日(2)復合函數則設有函數鏈稱為由①,②確定的復合函數

,①機動目錄上頁下頁返回結束—復合映射的特例②u

稱為中間變量.注意:

構成復合函數的條件不可少.例如,

函數鏈:函數但函數鏈不能構成復合函數.可定義復合第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結束兩個以上函數也可構成復合函數.例如,可定義復合函數:第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日4.初等函數(1)基本初等函數冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(2)初等函數由常數及基本初等函數否則稱為非初等函數

.例如,并可用一個式子表示的函數,經過有限次四則運算和復合步驟所構成,稱為初等函數.可表為故為初等函數.又如,

雙曲函數與反雙曲函數也是初等函數.(自學,P17–P21)機動目錄上頁下頁返回結束第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日非初等函數舉例:符號函數當x>0當x=0當x<0取整函數當機動目錄上頁下頁返回結束第二十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日例5.求的反函數及其定義域.解:當時,則當時,則當時,則反函數定義域為機動目錄上頁下頁返回結束第三十頁，共三十一頁