關于高職高等數學函數精講第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023一函數的概念二函數的表示方法三分段函數四反函數五初等函數六函數的幾種性質第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023一函數的概念

常量與變量定義設在某個變化過程中有兩個變量x和y，變量y隨著x的變化而變化，當x在一個非空數集D上任取一值時，y依照某一對應規則f總有一個確定的數值與之對應，則稱變量y是變量x的函數。記為第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023其中,x叫做自變量，y叫做因變量或函數。數集D稱為這個函數的定義域，記為D（f）。當自變量x在其定義域內取某確定值x0時，因變量y按照所給的函數關系（對應法則），求出的對應值y0，稱做當x=x0時的函數值。記為

相應地，y值的集合稱為函數y=f(x）的值域。

或第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023注意

1.函數的定義有兩個要素，即定義域(D)與對應規則(f)。所以，只有當兩個函數的定義域和對應規則完全相同時，他們才是同一個函數。

2.函數的定義域D，要符合客觀要求。如：身高、體重等不能小于0;……

第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/20233.求函數定義域時，要注意：分式中分母不為0;根式中負數不能開偶次根；對數中真數大于0…

4.對于特殊函數——反三角函數(arcsinx等)，除定義域與法則以外，數學上同時也規定了它的值域。第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023二函數的表示方法常用的表示方法有三種：解析法（公式法）、表格法和圖示法。

(1)解析法是指用解析表達式（或公式）去表示函數關系。例如

第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023

(2)表格法是用列表的方法來表示函數關系，例如水文監測站統計了某河流20年內平均月流量V，如表1.1所示。

表1.1

這是用表格表示的函數，當自變量x取1～12之間任意一個整數時，從表格里可得出y的一個對應值。x月份123456789101112y平均月流量V/億m0.320.290.470.640.330.774.14.23.71.90.90.72第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023(3)圖示法是用直角坐標系x0y平面上的曲線表示函數關系

第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023三分段函數例它們的圖形如下：-110第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023寫出下面函數關系的表達式例：學校外超市，由于期假貨物積壓，現物價促銷，可樂原價2.50元/罐，現促銷如下：10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。請寫出此時可樂的銷售量（Q）與銷售收入（R）之間的關系函數。第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023四反函數定義設給定y是x的函數，，如果對其值域R中的任一值y，都可通過關系式在其定義域D中確定唯一的一個x與之對應，則得到一個定義在R上的以y為自變量，x為因變量的函數，我們稱其為的反函數。記為

第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y

單調函數的反函數是單值函數

什么樣的函數存在單值的反函數？第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023Oxy-xxy=x2yy=x2的反函數是多值函數：x=

。把x限制在區間[0,)，則y=x2的反函數是單值的，即x=。它稱為函數y=x2的反函數的一個單值分支。反函數的單值分支：

另一個單值分支為x=-

。第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023

在數學中，習慣上自變量用x表示，因變量用y

表示。按此習慣，我們把函數y=f(x)的反函數x=j(y)改寫成y=j(x)。例如y=x2的反函數寫為y=。反函數的圖形：反函數的圖形與直接函數的圖形關于直線y=x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關于反函數的變量符號：第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023五初等函數

1.5.1基本初等函數及其圖形下列函數稱為基本初等函數常量：y=c（C為常數）(2)冪函數：(3)指數函數：(4)對數函數：(5)三角函數：(6)反三角函數：第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/20231.5.2復合函數定義，函數的值域的全部或一部分包含在函數的定義域內，則對的定義域內的某些x，有

此函數稱函數與函數復合而成的復合函數，其中u稱為中間變量。重點掌握復合函數的分解第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023注意

不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數，例如，，就不能復合成一個復合函數，因為的定義域中的任何值x所對應的u值都大于或等于2，即全部落在的定義域之外。第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023例已知求的表達式。解：令解出

將u換成x，得出

例

設，求復合函數的定義域。解：已知的定義域為，即[-3，3]；的定義域為。由得定義域為[-4，2]。第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/20231.5.3初等函數定義由基本初等函數經過有限次的四則運算及有限次復合過程所構成的函數，叫作初等函數。

例如

等等。第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023六函數的幾種性質

1.6.1函數的單調性定義設函數定義在D上：第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/20231.6.2函數的奇偶性定義3設函數在D上有定義，（1）若對于任意的恒有則稱f(x)為偶函數。（2）對于任意的恒有，則稱f(x)為奇函數。注意

當函數具有奇偶性時，其定義域必定是關于原點對稱的，即若,則。偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱。第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數

偶函數的圖形關于y軸對稱。

設函數f(x)的定義域D關于原點對稱。如果對于任意的xD，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023奇偶函數舉例：

y=x3，y=sinx都是奇函數。101x-22y

如果對于任意的xD，有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數。奇函數的圖形關于原點對稱。第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/2023例判定函數的奇偶性第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/20231.6.3函數的周期性定義

若存在常數，對任意的x，恒有，則稱為周期函數。使得上述等式成立的最小正數T，稱為的最小正周期，簡稱函數的周期。例，就是一個周期函數，它的周期為。第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期日3/8/20231.6.4函數的有界性定義設函數在區間（a，b）內有定義，若存在正數使得對于任意的，恒有，則稱函數在（a，b）內是有界的。否則