XX考研海文學(xué)員寒假學(xué)習(xí)計(jì)劃43P（數(shù)學(xué)）

海文學(xué)員XX考研寒假?gòu)?fù)習(xí)計(jì)劃XX考研數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)

規(guī)劃

XX考研數(shù)學(xué)寒假學(xué)習(xí)計(jì)劃明細(xì)

XX考研數(shù)學(xué)寒假學(xué)習(xí)重要指導(dǎo)思想

《寒假配套特訓(xùn)100題》

特訓(xùn)題1、設(shè)f?e2x?ex?x,求f.解令e?l?u,x?ln

x

f?2??ln?u2?u?ln

于是f?x2?x?ln

sinx?sin?sinx??sinx?特訓(xùn)題2、求極限lim4x?0x

解：lim

sinxsinx?sinsinxcosx?cos?cosx

?lim?lim

x?0x?0x?0x4x33x2

cosx）sin?cosx?lim?limx?0x?03x26xs

inxl?lim?x?06x6

3n?l?2n

特訓(xùn)題3、求limn?l.nn??2?3

解分子、分母用3除之，

n

?2?3???

?3??3原式=1imnn??

?2?2???1?3?

n??

n

n

特訓(xùn)題4、求下列各極限

x?Ox?O解解一原式=

X?

1??1?解二原式=lim

x?0

l?x?l?x?

2

?12

x

l?x?x??

??2等價(jià)無窮小量代換?2??llimx?0x

解三

用洛必達(dá)法則1

??1??

原式=lim?l

x?01

解一

原式=1im

x?0

?l?x???

l?x?

x???

?2

2

?2

3??

??

解二類似中解二用等價(jià)無窮小量代換

解三類似中解三用洛必達(dá)法則1im?l?

?n??

?1??1??1?

1??1??2??2?2?2??3??n?

??1???1???1????1???1??2??2??3??3??n??n?

n?ln?ln?ll

?lim?

n??2nnn2

解原式=lim?l?

?

n??

?

=lim?

特訓(xùn)題5、求下列極限

1324n??2233

lim?l?

?x??

?2??x?

x?10

lim?

?l?x?

?x?01?x??

lx

解lim?l?

?n??

?2??x?

x?10

??2???lim?l?????x??

??x??

?10??x?

?x??2???????2???x?

?

???2??=lim??l?????x??

???x???

?x?????2?

?????

??2???1?

?e?2

1

x

?1?

99999x^

lim?l?x?lim?l???l?x?x?O??x?0解一lim??l

x?01?xe??lim?l?x?x

x?0

lx

e?l??e?2e

解二lim?

x?0

???2x???l?x??l?x?2x?

ml???????x?Ox?O?l?xl?x??????l?x??

cotx

1xlx?l?x???2???????2x??l?x?

?e?2

特訓(xùn)題6、求下列極限lim

x?0

limx

x?l

4x?l

lim

x?0

cot2x

解令tanx?t則cotx?,當(dāng)x?0時(shí)t?0于是lim

x?0

cotx

It

?lim?e

t?0

It

令x?l?t則x?l?t,當(dāng)x?l時(shí)，t?0于是limx

x?l

4x?l

??

?t???e4t?0t?0

??

cos2x

4

t

14t

lim

x?0

cotx

2

?lim2sin

x?0

X

2

?lim?l????x?0

cos2x

?sin2x?21

=e

特訓(xùn)題7、求下列極限lim

n??

n

?

12

k?lim

n

k

?2n??n?n?kk?l

n

解?.?2??2?2

n?n?nn?n?kn?n?lk?l1

n

1?2???nl?lim?而limn??n??nn2?2n2

1

n

l?2???nIlim2?lim2?n??n?n?ln??n?n?12

則夾逼定理可知lim

n

k1

??2n??2k?ln?n?k

n

特訓(xùn)題8、求lim

n

.?22n??n?kk?l

分析如果還想用夾逼定理中方法來考慮

nn2nn2

??2?22222

n?nn?lk?ln?k

n21n2

?,Iim22?l而1im2

n??n?n22n??n?l

由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分

定義來考慮.

nln解lim?2?lim?2n??n??nn?kk?lk?l

1

n

l?k?

l????n?

2

dx??arctanx??Ol?x20

4

ll?sin

.特訓(xùn)題9、求1imn??

sin3

n

解離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮

lim

x?0

x?sinxsin3x

等價(jià)無窮小代換

lim

x?0

x?sinx

3

x

l?cosxsinxl

?lim?2x?0x?03x6x61

?,?原式=.

6

=lim

特訓(xùn)題10、求lim

e

x?0xl0

1

?

lx?2??xl

?2e?3?0exx?liml2,為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性,

我們先用變量替換，令

1

?t,x2

?exe?tt5

于是liml0?lim?5?limt

x?0xt???tt???e?

2

?

1

5t45!

=limt???limt?Ot???et???e

特訓(xùn)題11、求lim?

1??1

?x?.

x?O?xe?l?

01??x?l

解lim??x?lim?x?O?xe?l?x?OxO

ex?lex=limx?limxx

x?0?xexx?Oe?e?xex

=lim

11

?

x?02?x2

1cos2x

).特訓(xùn)題12、求lim??2在內(nèi)連續(xù),則c?.

,x?c?x?

解：1

f?x??limf?x??c?l?分析：由lim??

2

X?c

x?c

2

?c?lc

x特訓(xùn)題14、求1im?

x?0

2

sin2x

解令y?xsinx,lny?sin2xlnx

x?0

limlny?!imsin2xlnx?0??

x?00

x?0

特訓(xùn)題15、求lim?cosx?

x?0

cot2x

解令y??cosx?

cot2x

,lny?cot2xlncosx

1imlny?limcot2xlncosx?lim

x?0

x?0

Incosxlncosx

?lim2x?0tan2xx?0x

1

?O?tanxl

??,/.Iimy?e2=lim

x?Ox?OO2x2

1??1

特訓(xùn)題16、求lim?sin?cos?.

x??xx??

11?1???1

解令y??sin?cos?,Iny?xln?sin?cos?

xx?xx???

x

x

1??1

In?sin?cos?

1nxx?

limlny?lim??lim

x??x??t?Ot

x

=lim

t?0

cost?sint

?1

sint?cost

.*.limy?e

x??

特訓(xùn)題17、求極限lim

x?0

Isinxln.2xx

解:lim

x?0

lsinxl?sinx?

n?l??l?

x?0x2x2xx??

?1im

sinx?xcosx?lsinx??

x?0x?0x?06xx33x26

特訓(xùn)題18＞求lim

arctan3x

x?01nsin5x

解用等價(jià)無窮小量代換

1

2?

3?原式=limx?0x??5

1

,特訓(xùn)題19＞求lim

x?01n

3sinx?x2cos

解這個(gè)極限雖是“必達(dá)法則.

”型，但分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在，因

此不能用洛0

l??sinx

3?xcos??31原式=lim???x?01?cosxln??2

x??

1

sinx?x?x3

,特訓(xùn)題20＞求lim

x?0x5

x3x5

??o解Tsinx?x?

3!5!

x5

?o

11

???原式=1im5??

x?0x5!120

特訓(xùn)題21、設(shè)f??2,求lim解

?x?0

f?f

?x

f?f???f?f??原式=lim

?x?0

?x

=31im

?x?0

?21im

?x?03?x?2?x=3f??2f??5f??10

特訓(xùn)題22、設(shè)曲線y?f與y?sinx在原點(diǎn)相切，求

limnf.

n??

2

n

解由題設(shè)可知f?0,f???

x?0

?1

?2?

f???fn?2?

于是limnf???lim2?2f??2

n??n??2n???0

n

特訓(xùn)題23、設(shè)a?0,xl?b?0,x2?

l?a?l?a?

?求?xl??,?xn??xn?l?

2?xl?2?xn?l?

limxn.

n??

解

Vxn?

??0

2a?xnl?a?

?0,則xn?l?xn又xn?l?xn??xn???xn?

2?xn?2xn

因此?xn?單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準(zhǔn)則1,limxn?A

存在

n??

l?a?l?a?

把xn??xn?l?兩邊取極限，得A?A????

2?A?2?xn?l?

A2?a,VA>0

，???取A

limxn?

n??

特訓(xùn)題24、求下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限

?sin2x

xf??2

x?x>0??l?cosx

解f?lim?

x?0

sin2xsin2x

?lim2?2x?0?x2x

x2x2

f?lim?lim?2

x?0?l?cosxx?0?12

x2

x?0

1

??x2?esinx?.特訓(xùn)題25、求lim??4x?0?x??l?ex???l

??x2?esinx???2?l?l解lim?4???x?0

?l?ex???3

???4?xx

2e?esinx???0?l?llim?4

x?O??x??e?x?l?

??l??x2?esinx?

Alim???14?x?0?x??l?ex

??

x2?ax?b特訓(xùn)題26、設(shè)lim?3,求a和b.

x?lsin

解由題設(shè)可知lim?O,1+a+b=0

x?l

2

再對(duì)極限用洛必達(dá)法則

x2?ax?b2x?a2?alim?lim??3a?4,b??5x?lsinx?12xcos2

特訓(xùn)題27、f連續(xù)，lim

x?0

l?cosf

x2

91,貝（］f999999999999999999

解：

12

121sinx

1

?1，則由f連續(xù),則f?分析:lim2

x?Oxfx?0f2

特訓(xùn)題28、討論函數(shù)

??ex?O?

f?x???Ox?0

?1

?xsinx?0

X?

在點(diǎn)x?0處的連續(xù)性。

解因f?O?O??limf?x??lime?O??

x?0

x?0

1

f?O?O??limf?x??limxsin??

x?0

x?0

1

?0x

f?0??0

即有f?0?0??f?O?O??f?0?,故f?x?在點(diǎn)x?0連續(xù).特

訓(xùn)題29、討論函數(shù)

i?ln?x?2?????x>0???

在點(diǎn)x?0的連續(xù)性.

1

In

?limlnx??l解f?O?O??lim??

x?Ox?Ox

f?

O?O??lim?

x?0

1

?lim?

x?0?2

x?0

因f?O?O??f?0?0?,因而limf?x?不存在，故f?x?在

點(diǎn)x?0不連續(xù).

isinx??xlO?特訓(xùn)題30、設(shè)f=ix在x=0處連續(xù)，求常

數(shù)k.??x=0??k

MVlimf?x??lim

x?0

sinx

?1

x?0x

f?0??k,由連續(xù)性可知k?l

特訓(xùn)題31、

求函數(shù)f?

1

的間斷點(diǎn)，并確定其類型.x?l

解顯然x?l是間斷點(diǎn)，由于

1=x?lx?lx?l

x?ll

?

3

所以x?l是f?x?的可去間斷點(diǎn).

x2?2x

特訓(xùn)題32、求函數(shù)f?的間斷點(diǎn)，并確定其類型.

xx2?4解所給函數(shù)在點(diǎn)x?0,-2,2沒有定義，因此

x?0,-2,2是所給函數(shù)的間斷點(diǎn).下面確定它們的類型.

對(duì)于x?0,由于

f?lim?

x?0

Xlxl

??,f?lim??

x?0?x2x2

故x?0是第一類間斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn).

對(duì)于x??2,由于

f?f?lim

x??2

X

??

X

故x??2是第二類間斷點(diǎn)，且為無窮間斷點(diǎn).對(duì)于x?2,

由于

x?2

xl

?

x4

1

,則f?x?在x?2連4

故x?2是第一類間斷點(diǎn)，且為可去間斷點(diǎn).若補(bǔ)充定義

f?續(xù).

特訓(xùn)題33、設(shè)f在內(nèi)有定義，且limf?a

x??

??1?

?f??x?O

g???x?

?0x?0?

則下列結(jié)論中正確的是x?0必是g的第一類間斷點(diǎn)x?0

必是g的第二類間斷點(diǎn)x?0必是g的連續(xù)點(diǎn)

g在x?0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)

解limg?limf?

x?Ox?O

?1?

?x???

/.a?0時(shí)x?0是g的連續(xù)點(diǎn)，a?0時(shí)，x?0是g的可去

間斷點(diǎn)故選D.

特訓(xùn)題34、求limarctan?

x?0

?sinx?

?.x??

解因lim

sinx

?1,而函數(shù)y?arctanu在點(diǎn)u?l連續(xù)，所以

x?Ox

sinx???sinx??

limarctan?=arctanlim?arctanl???x?0?x?0xx4????

特訓(xùn)題35、設(shè)f在x=2處連續(xù)，且f?3,求limf?

x?2

4??1

.?2

??x?2x?4?

解由于f在x=2處連續(xù)，且f?3,所以limf?3

x?2

則limf?

x?2

4??41?1

?2?2x?2x?2x?4?x?2x?4?x?213

?

x?2x?24

=m

x?2

特訓(xùn)題36、設(shè)f在［a,b］上連續(xù)，且f?a,f?b,證

明：f?x在

內(nèi)至少有一個(gè)根.

證令g?f?x,可知g在［a,b］上連續(xù)，

g?f?a?Og?f?b?O

由介值定理的推論，可知g在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即

f?x在內(nèi)至少有一個(gè)根.

特訓(xùn)題37、求證：方程e?e證令f?e?e有一個(gè)根.

x

?x

X

?x

?4?cosx在內(nèi)恰有兩個(gè)根.

?cosx?4,它是偶函數(shù)，所以只需討論f在內(nèi)恰

f??3?0,f?e2?e?2?cos2?4?0

f在?0,2?上連續(xù)，根據(jù)介值定理推論，至少有一個(gè)?？,

使f?o.

又因?yàn)閒??ex?e?x?sinx?O?x?O?,所以f在內(nèi)單調(diào)增

加，因此，

f在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，于是f在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，

由偶函數(shù)的

對(duì)稱性，f在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，也即所給方程在內(nèi)恰有

兩個(gè)根.

特訓(xùn)題38、設(shè)f?x???x?a?g?x?,其中g(shù)?x?在點(diǎn)a處連

續(xù)，求f??a?。解?沒有假設(shè)g?x?可導(dǎo)，所以不能用導(dǎo)數(shù)的

乘法公式，我們就用導(dǎo)數(shù)的定義

x?a

f?x??f?a??x?a?g?x??O

?limx?ax?ax?a

=ligm?x??g?a?o

x?a

特訓(xùn)題39、曲線sin?xy??ln?y?x??x在點(diǎn)？0,1?處的切

線方程為????????????????？.解：y?x?l.

?1

?1

Fxy?x?分析:設(shè)F?sin?ln?x,斜率k??,

Fy

xcos?

y?x

ycos?

在處,k?l,所以切線方程為y?l?x,即y?x?l

特訓(xùn)題40、討論函數(shù)

??xx?0

y?f?x??x??

xx?0?

在x0?0處連續(xù)性與可導(dǎo)性。

解函數(shù)y?f?x??x在x0?0處連續(xù)，因?yàn)閒?0??0

x?0?

limf?x??limf??x??0?

x?0

x?0?

limf?x??limx?0?

x?0x?0

則limx?f?0??0

但是，在x0?0處f?x?沒有導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?/p>

f???0??lim?

?x?0

0??x?0?y

?lim?x?x?0??x?x??x

?lim???l?x?0?x?x

?1im?

?x?0

f???O??lim?

?x?0

O??x?O?y

?lim??x?x?O?x

?lim?

?x?0

?x?x?lim??l?x?O?x?

x

of???0??f???0?曲線y?x在原點(diǎn)的切線不存在特訓(xùn)題

41、設(shè)函數(shù)

?x2x?l

f?x???

?ax?bx?l

試確定a、b的值，使f?x?在點(diǎn)x?l處可導(dǎo)。解?可導(dǎo)

一定連續(xù)，？f?x?在x?l處也是連續(xù)的，

f?x??limx?l由f?l?0??lim??

2

x?l

x?l

f?x??limf?l?O??lim?ax?b??a?b??

X?1

x?l

要使f?x?在點(diǎn)x?l處連續(xù)，必須有a?b?l或b?l?a

f?x??f?l?x2?l?lim?lim又f???l??lim?x?l??2??

x?l?x?lx?lx?lx?lf???l??lim?

x?l

f?x??f?l?a?x?l?ax?b?l

?lim?lim?ax?l?x?l?x?lx?lx?l

要使f?x?在點(diǎn)x?1處可導(dǎo)，必須f???l??f???l?,即

2?a

故當(dāng)a?2,b?l?a?l?2??l時(shí),f?x?在點(diǎn)x?l處可導(dǎo)。特

訓(xùn)題42、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2y?x?y?cotx?解y??

In?

x?

ln?x?

9

X??

??1?

????

???

X?1

?y??cotx??

2

?

?

?

?

=?2cotxcsc2x

?2cosx=???sin3x?

y?exsin

2

?lnx?cotx

sinx

特訓(xùn)題43、求下列函數(shù)的微分

y?

2

2

2

解dy?x?exd?2xex?

2??ex?2xsindx??

x2

edxdy?

sinxd?dsinx

2

1?12?

??cscx?dx?cosxdxsinx?x??l?

?csc3x?cosxlnx?cosxcotx?dx

?xsinx?

=9

特訓(xùn)題44、設(shè)f?x?,求f?.

?解令gx?x?x?g因此f??g?g?

f??g?50?2

特訓(xùn)題45、設(shè)f可微，y?fef,求dy.解

dy?fdef?efdf=f?e=e

f

f

fdx?

1

f?efdxx

l????ff?fdx??x??

dx

dy

特訓(xùn)題46、設(shè)y?

y由方程arctan?和dy.

解一對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，y看作x的函數(shù)，按中間

變量處理.

ll?x?y

9

22

9

?y?2

?

?

2y

y???22

l?x?y??

?

?

2

????

?

2xl?x?y

?

22

?

2

y??

?

2x1?x?y

?

22

9

l?x?y

?

22

9

?2?22??l?x?y?????

2

22?41?x?y??

9

?

?

?

2?22??l?x?y????dx于是，dy?222?41?x?y??

?

?

9

9

解二對(duì)方程兩邊求微分，根據(jù)一階微分形式不變性

22??d?arctan?d????l

dx2?y2??2

I?x2?y2

??

?

?

21?x2?y2

??

xdx?ydy??2?

?

2y??

1?x2?y2??

?

9

2

9

?dy????

2x?dx

?2?l?x2?y2?

?

??

2

22?41?x?y??

222?l?x?y?

?

?

?

dy?

9

?

?1?x2?y22??????dx

2

22?1?x?y??

9

?

??

2?22??l?x?y????dy?dx

2

22?41?x?y??

?

?

?

9

2?22??l?x?y??dy???于是

2dx22?41?x?y??

?

?

?

?

特訓(xùn)題47、

求y?解Iny?

y?.l?xn?x?ln

x

l?n?x

1?

lxn?3?

In

對(duì)x求導(dǎo)，得

11?1112xex?l?y??????2?x?

y3?xx?lx?2x?le?x?因此，y??1112xex?1?

??2?x??

xx?lx?2x?le?x?

i?x=lndy?特訓(xùn)題48、設(shè)i,求.

2?dx??y=tsintdy

dy2tsint+t2cost二二解dx3t

dtl+t

l+t3）上任一點(diǎn)？xO,?處切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的直角

xx0??

1?1

?2?x?xO?xOxO

令y?0,得切線截x軸的截距X?2x0,令x?0,得切線

截y軸的截距Y?

2,x0

直角三角形面積S?

?2?11

XY????222?xO?

2i?x=l+t?特訓(xùn)題50、求曲線i在t=2處的切線方

程.3???y=t

dy3t23

解x0?l?2?5,y0?2?8.二二t

dx2t2

2

3

dy

二3,故切線方程為y-8=3dxt=2

即3x-y-7=0

?x?t2?2t,

特訓(xùn)題51、設(shè)函數(shù)y=y由參數(shù)方程?確定，則曲線y=y

在x=3處的法

?y?ln

線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

11

ln2?3.?1n2?3.88

?81n2?3.81n2?3.[A]

【詳解】當(dāng)x=3時(shí)，有t?2t?3,得t?l,t??3,于是

2

dy

dx

?t?12t?2

t?l

?

1

，可見過點(diǎn)x=3的法線方程為：8

y?ln2??8,

令y=0,得其與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：ln2?3,故應(yīng).

3??x?t?3t?l

特訓(xùn)題52、設(shè)函數(shù)y由參數(shù)方程?確定,則曲線y?y向

上凸的

3

??y?t?3t?1

18

x取值范圍為__________________

【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用

由？

?x?x

?y?y

d2yd2yy??x??x??y?

定義的求出二階導(dǎo)數(shù),再由2?0確定x的取值范圍.?23

dxdx)

dy

dy3t2?3t2?12【詳解】，？?2?2?1?2

dxdx3t?3t?lt?ldt

d2yd?dy?dt?2??14t

?91?999999

dx2dt?dx?dx?t2?l?333

d2y

?0?t?0.令2

dx

3

又x?t?3t?l單調(diào)增，在t?0時(shí)，x?o

特訓(xùn)題53、設(shè)f?x?在?0,3?上連續(xù)，在?0,3?內(nèi)可導(dǎo),

且f?0??f?l??f?2??3,

f?3??l,試證:必存在???0,3?,使f?????0。

證?f在?0,3?上連續(xù)，?f在?0,2?上連續(xù)，且有最大

值M和最小值叫

m?f?M；于是m?f?M；故m?

1

)1f?f?f03

?M?

o

由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)c??0,2?,

使得

f?c??

1

?f?f?f??13

因此f?c??f?3?,且f?x?在?c,3?上連續(xù),?c,3?內(nèi)

可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在？??c,3???0,3?,使得

f?????0o

特訓(xùn)題54、設(shè)f?x?在?0,1?上連續(xù)，在?01,?內(nèi)可導(dǎo),

且3

f?x?dx?f?0?.

1

求證：存在x?使fC=0

證由積分中值定理可知，存在c,使得得到f?c??3

1

1

?2?

f?x?dx?f?c??l??

?3?

f?x?dx?f

2對(duì)f?x?在?0,c?上用羅爾定理，故存在x翁

特訓(xùn)題55、設(shè)x>0,試證：

,,使"二0

x

證令f二In,它在[0,x]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,

11

,ln-lnl=[x-0],1+tl+x

因此ln=

x

特訓(xùn)題56、設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)f?x?在?a,b?上連

續(xù)，？a,b?內(nèi)可導(dǎo)，且

f?a??f?b?,證明？a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)之，使得

證由題意可知存在C?使得f?c??f?a??f?b?

如果f?c??f?a?,則f?x?在?a,c?上用拉格朗日中值

定理存在xl?,使

f???l??

f?f

?0

c?a

如果f?b??f?c?,則f?x?在?c,b?上用拉格朗日中值

定理存在x2?,使

f???2??

f?f

?0,

b?c

因此,必有x?,使得f?????0成立.

特訓(xùn)題57、設(shè)f???0,f=0,證明對(duì)任意xl>0,x2>0恒

有

f證不妨假設(shè)xl￡x2,由拉格朗日中值定理有

①f二f-f二f。，0②f-f=[-x2]f。,x2xlTfiif這樣由

①②兩式可知f>f-f因此，f特訓(xùn)題58、設(shè)f?x?在?a,b?

上連續(xù)，？a,b?內(nèi)可導(dǎo)，且b?a?O,證明：存在

x?,h?使fC=

a+bf。

2x

證考慮柯西中值定理

fiif-ff

g-ggg-g

最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.

再把欲證的結(jié)論變形，

fiiff

==222xa+bb-a

兩式比較，看出令g=x2即可.

b2+ab+a2f0

類似地，欲證f02,則取g=x3即可二

3x

特訓(xùn)題59、設(shè)函數(shù)f?x?在？01且

f?O??f??O??f??l??O,f?l??l.,?上二階可導(dǎo)，求證：存

在x?,使得fii34

證先把f?x?在x=0處展成拉格朗日型余項(xiàng)的一階泰勒

公式

f?x??f?O??f??O?x?

1

f????l?x22!

再把f?x?在x=l處展成拉格朗日型余項(xiàng)的一階泰勒公

式

f?x??f?l??f??l??x?l??

在上面兩個(gè)公式中皆取X二

12

f????2??x?l?2!

1

則得2

1?1?1

9919)f?99f

28?2?

兩式相減，得f????l??f????2??8,于是fii+fii8因

此max

,fiifii)34

亦即證明存在x?,使fii34

特訓(xùn)題60、設(shè)在？0,1?上f???x??0,則f??0?,

f??l?,f?l??f?0?或f?0??f?l?的大小順序是

f??

l??f??0??f?l??f?0?f??l??f?l??f?0??f??0?f?l??f?0??

f??l??f??0?f??l??f?0??f?l??f??0?解選？B?

???根據(jù)拉格朗日中值定理f?l??f?0??f?????l?0??

f????其中0???l,又f???x??0,??.f??x?單調(diào)增加因此,

f??l??f??

f??0?

特訓(xùn)題61、設(shè)函數(shù)f在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),

且滿足f?0,如果f?單調(diào)增加，求證?？

f?x?

在?a,b?內(nèi)單調(diào)增加.x?a

證？??

?x?a?f??x??f?x?

2

?x?a?

f?f?f?f?

用拉格朗日中值定理

于是??？

f??x??f????

x?a

.f??x?是單調(diào)增加,???f??x?>f????因此

特訓(xùn)題62、設(shè)函數(shù)f在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖

所示，則f有

一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極

大值點(diǎn)

兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)

解有三個(gè)駐點(diǎn)和一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)，考察它們兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的

符號(hào)，用第一充分判別法可知，最小駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)，另

一個(gè)較小駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，原點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)是極大值點(diǎn),

最大的駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，故應(yīng)選C

特訓(xùn)題63、討論f?max2x,?x的極值.

三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)

???x??0,則？?x?在?a,b?內(nèi)單調(diào)增加

??

1?

l?x??x?l??3

解f??

l?2xx?l或

x??

?3?

f???二

?1?2

為極小值

33??

特訓(xùn)題64、設(shè)f在xO鄰域內(nèi)有定義，且

x?xO

lim

f-f

n

=k,其中n為正整數(shù)，klO為常數(shù)，討論f是否為極值.

解

f-f

n

=k+a,其中l(wèi)ima=0

x?xO

f-f=kn+an

若n為正偶數(shù)，當(dāng)x-x0則f-f與k同號(hào)，當(dāng)k>0,f

為極小值；當(dāng)kVO,f為極大值.

若n為正奇數(shù)，當(dāng)*\0特訓(xùn)題65、設(shè)f?x??解：

x

?t?t?x?dt,0?x?l,求f?x?的極值、單調(diào)區(qū)間和凹凸

區(qū)間.

1

X

1

X

X

1

f??tdt??tdt??dt??dt

12t3x13t21x3x31xx3x3?????

23032x233232

x31xx3x3xl

9999999

3236326

f??x?

2

1,令f??

0,得x??.因?yàn)??x?

1,所以x?.22f??0,得

?x?12

f??0,得

0?x?

因此，f的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.2

2

由f???2x,可知為凹區(qū)間.

26

由f?l?O,f???

0,知f??為極小值.223

x??

特訓(xùn)題66、設(shè)y?x,則dy

=【分析】本題屬基本題型，哥指函數(shù)的求導(dǎo)問題可化

為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)或取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為

隱函數(shù)求導(dǎo).

【詳解】方法一：y?x二ey??e從而dy

xln

xln

,于是

?[ln?x?

cosx

],

l?sinx

x??

=y?dx???dx.

l?sinx),對(duì)x求導(dǎo)，得方法二：兩邊取對(duì)數(shù)，

lny?xln?,yl?sinx

X

于是y???[ln?x?dy

=y?dx???dx.

cosx

],故

1?sinx

x??

特訓(xùn)題67、曲線y?

x

32

的斜漸近線方程為

【分析】本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式

進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閍=lim

x???

f

?1im?l,x???xxx

?x

x

3

2

32

32

b?lim?f?ax??lim

x???

x???

?

3,2

于是所求斜漸近線方程為V?x?

3.2

f

不存在，則應(yīng)進(jìn)x

【評(píng)注】如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線,

是基本要求，應(yīng)熟練掌握。這里應(yīng)注意兩點(diǎn)：1）當(dāng)存在水

平漸近線時(shí)，不需要再求斜漸近線；2）若當(dāng)x??時(shí)，極限

a?lim

x??

一步討論x???或x???的情形，即在右或左側(cè)是否存在

斜漸近線，本題定義域?yàn)閤〉0,所以只考慮x???的情形.

2

特訓(xùn)題68>當(dāng)x?0時(shí),??kx與？？？xarcsinx?cosx是

等價(jià)無窮小，則k二

【分析】題設(shè)相當(dāng)于已知lim

9

?1,由此確定k即可.

x?0?

27

【詳解】由題設(shè)，lim

??xarcsinx?x

?lim2x?0?x?Okx

xarcsinx?l?cosxkx

2

=lim

x?0

lxarcsinx?l?cosx33

lim??lk?.,得2x?02k4k4x

3n

【評(píng)注】無窮小量比較問題是歷年考查較多的部分，

本質(zhì)上，這類問題均轉(zhuǎn)化為極限的計(jì)算.特訓(xùn)題69、設(shè)函

數(shù)f?lim?x

n??

，則f在內(nèi)

處處可導(dǎo).恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).

恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).口【分析】

先求出f的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】當(dāng)X?1時(shí),

f?lim?x

n??

3n

?1;

當(dāng)x?l時(shí)，f?lim?l?l；

n??

當(dāng)x?l時(shí)，f?limx?x.

In

3

??x3,x??l,?

即f??l,?l?x?l,可見f僅在x=?1時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選.

?x3,x?l.?

【評(píng)注】本題綜合考查了數(shù)列極限和導(dǎo)數(shù)概念兩個(gè)知

識(shí)點(diǎn).特訓(xùn)題70、設(shè)函數(shù)f?

Ie

x

x?l

，則？1

x=0,x=1都是f的第一類間斷點(diǎn).x=0,x=l都是f的第

二類間斷點(diǎn).

x=0是f的第一類間斷點(diǎn)，x=l是f的第二類間斷點(diǎn).

x=0是f的第二類間斷點(diǎn)，x=l是f的第一類間斷點(diǎn).口

【分析】顯然x=0,x=l為間斷點(diǎn)，其分類主要考慮左

右極限.【詳解】由于函數(shù)f在x=O,x=l點(diǎn)處無定義，因此

是間斷點(diǎn).且limf??,所以x=0為第二類間斷點(diǎn)；

x?0

f??l,所以x=l為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選.f?0,

limlim??

x?l

x?l

XX

???lim???.從而limex?l???,limex?l?O.【評(píng)注】應(yīng)

特別注意：lim,????

x?lx?lx?lx?lx?lx?l

特訓(xùn)題71、若x?0時(shí)，？1與xsinx是等價(jià)無窮小，

則a二.

28

1

24

XX

【分析】根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，相當(dāng)于已知lim

中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行化簡(jiǎn).

【詳解】當(dāng)x?0時(shí),?「?

124

2

14

?1,反過來求a.注意在計(jì)算過程

x?Oxsinx

2

1

4

12

ax,xsinx?x2.4

l?ax2

1

于是，根據(jù)題設(shè)有l(wèi)im?lim2??a?L故a=-4.

x?Ox?0xsinx4x

特訓(xùn)題72、設(shè)函數(shù)y=f由方程xy?2lnx?y4所確定，則

曲線y二f在點(diǎn)處的切線方程是.

【分析】先求出在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出

切線方程即可.

【詳解】等式xy?2lnx?y4兩邊直接對(duì)x求導(dǎo)，得

y?xy??

2

?4y3y?,x

將x=l,y=l代入上式，有y??l.故過點(diǎn)處的切線方程為

y?l?l?,即x?y?O.

特訓(xùn)題73、y?2x的麥克勞林公式中x項(xiàng)的系數(shù)是【分

析】本題相當(dāng)于先求尸f在點(diǎn)x=0處的n階導(dǎo)數(shù)值f是

【詳解】因?yàn)閥??21n2,y???2,?,y

n

nn

，則麥克勞林公式中xn項(xiàng)的系數(shù)

xx2

?2xn,于是有

yn

?.y?,故麥克勞林公式中x項(xiàng)的系數(shù)是

n!n!

特訓(xùn)題74設(shè){an},{bn},{cn}均為非負(fù)數(shù)列,且lim

an?O,limbn?1,limcn??,則必有

n??

n??

n??

an?bn對(duì)任意n成立.bn?cn對(duì)任意n成立.

極限limancn不存在.極限limbncn不存在.口

n??

n??

【分析】本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限

項(xiàng)的大小無關(guān)，可立即排除,；而極限

1imancn是0??型未定式，可能存在也可能不存在，舉

反例說明即可；極限limbncn屬1??型，必為無

n??

n??

窮大量，即不存在.

【詳解】用舉反例法，取an?

21

，bn?l,cn?n,則可立即排除，…因此n2

29

正確選項(xiàng)為.

9

?1n

,x?0,?

?x?arcsinx

6,x?0,特訓(xùn)題75設(shè)函數(shù)f??ax2

?e?x?ax?lx?O,

,?x

?xsin

4?

問a為何值時(shí)，f在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是

f的可去間斷點(diǎn)？

【分析】分段函數(shù)在分段點(diǎn)x;0連續(xù)，要求既是左連續(xù)

又是右連續(xù)，即

f?f?f.

Inax3

im【詳解】f?limx?O?x?O?x?arcsinxx?

O?x?arcsinx

=lim?

x?0

1?

3ax2

l?x

2

?lim?

x?0

3ax2?x?l

2

3ax2

??6a.=lim

x?0?12

?x2

eax?x2?ax?l

f?limf?lim

x?O?x?O?x

xsin

4

eax?x2?ax?laeax?2x?a2

?4lim?2a?4.=41im2x?0?x?0?2xx

2

令f?f,有?6a?2a?4,得a??l或a??2.

當(dāng)a=-1時(shí)，limf?6?f,即f在x=0處連續(xù).

x?0

當(dāng)a=-2時(shí)，因而x=0是f的可去間斷點(diǎn).

x?0

【評(píng)注】本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷

等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中左右極限的計(jì)算有一定難度，在計(jì)算

過程中應(yīng)盡量利用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行簡(jiǎn)化.

?x?l?2t2,

d2y?u

l?21nte所確定，求2特訓(xùn)題76＞設(shè)函數(shù)y二y由參數(shù)

方程?y?dudx?lu??

30

x?9

【分析】本題為參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，按參數(shù)方程求

導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算即可.注意當(dāng)x=9時(shí)，可相應(yīng)地確定參數(shù)

t的取值.

dxdyel?21nt22et

?4t,???【詳解】由，dtdtl?21nttl?21nt

dy2et

dye

得???,

dxdx412dt

d2yddyle?121

?所以二?？？dx2dtdxdx22t4t

dt

二？

e

.22

4t

2

當(dāng)x=9時(shí)，由x?l?2t及t>l得t=2,故

d2y

dx2

x?9

??

e

4t22

t?2

??

e

.2

16

特訓(xùn)題77、設(shè)f?lim

x

，則f的間斷點(diǎn)為X?.

n??nx2?1

【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與

間斷點(diǎn).對(duì)不同的x,先用求極限的方法得出

f的表達(dá)式,再討論f的間斷點(diǎn).

【詳解】顯然當(dāng)x?0時(shí),f?0;

1x

x?x?l,當(dāng)x?0時(shí)，f?lim?lim2n??nx2?ln??lxx2

x?

n

?0,x?0?

所以f??l,

,x?O??x

因?yàn)閘imf?lim

x?0

1

???fx?Ox

故x?0為f的間斷點(diǎn).

3??x?t?3t?l

特訓(xùn)題78、設(shè)函數(shù)y由參數(shù)方程?確定,則曲線y?y向

上凸的x取值范圍為

3

??y?t?3t?l

?x?x

【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用

由？

y?y?

d2yd2yy??x??x??y?

定義的求出二階導(dǎo)數(shù),再由2?0確定x的取值范圍.?23

dxdx)

dy

dy3t2?3t2?12【詳解】，？?2?2?1?2

dx3t?3t?lt?ldt

d2yd?dy?dt?2??14t

9?9?1-L9?9??9,????????

dx2dt?dx?dx?t2?l?333

d2y

?0?t?0.令2

dx

3

又x?t?3t?l單調(diào)增,在t?0時(shí)，x?o

特訓(xùn)題79、把x?0時(shí)的無窮小量?？

9

9

X

costdt,???

2

x20

,???

t3dt排列起來，使排

在后面的是前一個(gè)的高階無窮小,則正確的排列次序是

?,?,?.?,?,?.

?,?,?.?,?,?.

【分析】對(duì)與變限積分有關(guān)的極限問題，一般可利用

洛必塔法則實(shí)現(xiàn)對(duì)變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無窮小代換求解.

【詳解】

?

x?0?

?

lim?lim

?

?

x?0?

0x0

t3dt

2

costdt

?lim?

x?0

3

?lim?

x?0

x

?lim?0,?

x?023

2

即??o.

?

?lim又

limx?0?x?0

9

x2

?

tanx?2x2x2

im?O,3x?0?x?0?xsinx202即？？o.

?、？，故選.從而按要求排列的順序?yàn)椋俊?/p>

特訓(xùn)題80、設(shè)f?x,則

x?0是f的極值點(diǎn)，但不是曲線y?f的拐點(diǎn).x?0不是f

的極值點(diǎn)，但是曲線y?f的拐點(diǎn).x?0是f的極值點(diǎn),且是曲

線y?f的拐點(diǎn).

x?0不是f的極值點(diǎn)，也不是曲線y?f的拐點(diǎn).【分析】

求分段函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)，按要求只需討論x?0兩方

f?,f??的符號(hào).

【詳解】f??

??x,?l?x?0

X,0?x?l?

??l?2x,?l?x?0

0?x?l?l?2x,

?2,?l?x?0

?2,0?x?l?

f???

f????

從而？l?x?O時(shí),f凹，l?x?O時(shí),f凸，于是為拐點(diǎn).

1時(shí)，f?0,從而x?0為極小值點(diǎn).又f?0,x?0、

所以,x?0是極值點(diǎn)，是曲線y?f的拐點(diǎn)，故選.特訓(xùn)題

81、設(shè)函數(shù)f連續(xù),且f??0,則存在??0，使得

f在內(nèi)單調(diào)增加.f在內(nèi)單調(diào)減小.對(duì)任意的x?有f?f.

對(duì)任意的x?有f?f.

【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)f

在x?0附近的局部性質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知f??lim

x?0

f?f

?0,

x?0

由極限的性質(zhì)，？??0,使x??時(shí),有

f?f

?0

x

即？?x?0時(shí)，f?f,

0時(shí)，f?f,???x?

故選.

1特訓(xùn)題82、求極限lim3

x?Ox

【分析】此極限屬于

??2?cosx?x?????l?.

399999?

型未定式.可利用羅必塔法則，并結(jié)合無窮小代換求

解.0

【詳解1】原式?lim

x?0

e

?2?cosx?xln??

3??

?1

x

3

?2?cosx?ln??

3??

?lim2x?0x

ln?ln3

x?0x2

1

??sinx)

?lim

x?02xllsinxl

?????!im

2x?02?cosxx6

?lim【詳解2】原式?lim

x?0

e

?2?cosx?

xln??

3??

?1

x

3

?2?cosx?ln??

3??

?lim

x?0x2

1n2x

?lim

COSX?11

??

x?03x26

?,??）特訓(xùn)題83、設(shè)函數(shù)f在

O?dy??y?y?dy?OO??y?dydy??y?O由f??0可知f嚴(yán)格單

調(diào)增加f???0可知f是凹的即知

特訓(xùn)題89、設(shè)函數(shù)g可微,h?e

l?g,h??l,g??2,則g等于ln3?l?ln2?l?ln3?lln2?l

Vh??g?el?g,l?2el?g

特訓(xùn)題90、試確定A,B,C的常數(shù)值，使ex?l?Ax?o

其中。是當(dāng)x?0時(shí)比x3的高階無窮小.

x2x3

??o代入已知等式得解：泰勒公式e?l?x?26x

x2x3[l?x???o][l?Bx?Cx2]?l?Ax?o26整理得

ll??Bl?x?x2???C???o?l?Ax?o26??2比較兩邊同次幕函數(shù)

得B+1二A①

>0②2

Bl?C??0③26

B12??0則B??式②-③得233

1A?代入①得3

1C?代入②得6C+B+

特訓(xùn)題91、設(shè)數(shù)列｛xn｝滿足0?x1??,xn?l?sinxn

證明：limxn?l存在,并求極限n??

1

?xn?l?xn計(jì)算lim??n???xn?證:?x2?sinxl,?0?x2?l,

因此n?2xn?l?sinxn?xn,{xn}單調(diào)減少有下界??xn?O?根據(jù)

準(zhǔn)則1,limxn?A存在n??在xn?l?sinxn兩邊取極限得

A?sinA?A?O因此limxn?l?0n??

1

?sinxn?xn原式？lim?為〃1?〃型？n???xn??離散散不能

直接用洛必達(dá)法則lit?t?sint?Ot???e先考慮lim??t?O?t?

limll?sit?n?t?

用洛必達(dá)法則？ell??t?02ttt

?et?01imtcost?sint2t3?et?01im?t2??t3?t?l??

0???t??0??2???6????2t3

?e?ll?33????t?0?26?lim2t3t?0?e

l?a?16特訓(xùn)題92、證明：當(dāng)O?a?b??時(shí),bsinb?2co

sb??b?asina?2cosa?

證：令f?xsinx?2cosx??x

只需證明O?a?x??時(shí)，f單調(diào)增加f??

sinx?xcosx?2sinx???xcosx?sinx??

f???cosx?xsinx?cosx??xsinx?O

?f?單調(diào)減少

又f???cos????0

故O?a?x??時(shí)f??0則f單調(diào)增加

由b?a則f?f得證

?x?t2?l特訓(xùn)題93、已知曲線L的方程?2y?4t?t?

討論L的凹凸性

過點(diǎn)引L的切線，求切點(diǎn)，并寫出切線的方程

求此切線與L及x軸所圍的平面圖形的面積

解：dxdydy4?2t2?2t,?4?2t,???ldtdtdx2tt

?dy?d??ld2yl?2?l?dx?????????0?2?23dxdxdtt?t?2t

dt

?曲線L是凸

?2?22,?1?,設(shè)xO?tO?1,y0?4t0?t0?t?切線方程為

y?0??

2則4t0?t0???2?2232?l?,4tO?tO?

?tO?

2得t0?t0?2?0,?O?tO?O?tO?l點(diǎn)為，切線方程為

y?x?l設(shè)L的方程x?g

則S????g????dy3

9

t?4t?y?0解出t?2得x?22?2?1

由于在L

上，由y?3得x?2可知

x?2?2?l?g

S??

?9?y???dy??0

333???dy?4

00

??4003332?21?4??2303

8642?21???3?333

特訓(xùn)題94、當(dāng)x?

1??

Ini.

i?n

【答案】應(yīng)選.

【分析】利用已知無窮小量的等價(jià)代換公式，盡量將

四個(gè)選項(xiàng)先轉(zhuǎn)化為其等價(jià)無窮小量，再進(jìn)行比較分析找出

正確答案.

【詳解】當(dāng)X?

0時(shí)，有1?????

In.22

特訓(xùn)題95、設(shè)函數(shù)f在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的

是：

ff?f存在,則f=0.若lim存在，則f=0.x?0x