第六章多元函數(shù)微分學(xué)

§6.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

(甲)內(nèi)容要點(diǎn)

一、多元函數(shù)的概念

1.二元函數(shù)的定義及其凡何意義

設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)每個(gè)點(diǎn)尸(x,y)GD,按

照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則力變量z都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱z是變

量x,y的二元函數(shù)，記以z=/(x,y),。稱為定義域。

二元函數(shù)z=fCx,>')的圖形為空間一塊曲面，它在孫

平面上的投影域就是定義域D。

例如z=^\—x2-y2,D:x2+y2<I二元函

數(shù)的圖形為以原點(diǎn)為球心，半徑為1的上半球面，其定義域

D就是xy平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的閉圓。

2.三元函數(shù)與“元函數(shù)

u=f(x,y,z),(x,y,z)eQ空間一個(gè)點(diǎn)集，稱為三元函數(shù)

u=…,X")稱為〃元函數(shù)。

它們的幾何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會(huì)用到三元函數(shù)?條件極值中，可能會(huì)

遇到超過三個(gè)自變量的多元函數(shù)。

二、二元函數(shù)的極限

設(shè)/(x,y)在點(diǎn)(%,為)的鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)任意￡>0,存在6>0,只要

J(x-Xo)2+(y->o)2<b,就有y)一H<￡

則記以limf(x,y)=A或limf(x,y)=A

稱當(dāng)(x,y)趨于(%,%)時(shí)，f(x,y)的極限存在，極限值為A。否則，稱為極限不存在。

值得注意：這里(x,y)趨于(%,%)是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨于

(%,為)，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復(fù)雜，但考試大綱只要求知道基本概念和

簡單的討論極限存在性和計(jì)算極限值不象一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。

三、二元函數(shù)的連續(xù)性

1.二元函數(shù)連續(xù)的概念

若lim/(x,y)=/(/，%)則稱f(x,y)在點(diǎn)(4,加)處連續(xù)

yfo

若/(x,y)在區(qū)域。內(nèi)每一點(diǎn)皆連續(xù)，則稱/(x,y)在。內(nèi)連續(xù)。

2.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1(有界性定理)設(shè)/(x,y)在閉區(qū)域。上連續(xù)，則/(x,y)在。上一定有界

定理2(最大值最小值定理)設(shè)/(x,y)在閉區(qū)域。上連續(xù)，貝ij./■(》,>)在O上一定

有最大值和最小值max/(x,y)=M(最大值)，min/(x,y)=皿最小值)

(X,)*。(x,.v)eD

定理3(介值定理)設(shè)/(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，M為最大值，機(jī)為最小值，若

mWcWM,則存在(飛，升)6。，使得f(x0,y0)=C

(乙)典型例題

一、求二元函數(shù)的定義域

例1求函數(shù)z=arcsin'+J5的定義域

解：要求A<1B[J-3<A-<3;

又要求孫20即或xW0,yW0綜合上

述要求得定義域

-3<x<0,、[0<x<3

V或<

y<0y>0

例2求函數(shù)2=)4-_?一)，2+In(y2-2x+l)的定義域

解：要求4-x2-/>0和/-2x+l>0

即歸

[y2+\>2x

函數(shù)定義域D在圓V+V<22的內(nèi)部(包括邊

界)和拋物線V+l=2x的左側(cè)(不包括拋物線上的點(diǎn))

二、有關(guān)二元復(fù)合函數(shù)

例1設(shè)/1(x+y,x-y)=x2y+y2,校(x,y)

解：設(shè)x+y=〃，x-y=u解出x=—(〃+v),y=一(〃一u)

代入所給函數(shù)化簡/(w,v)=-(H+V)2(M-V)+—(H-V)2

84

11

故/(x,y)=-(x+y)(x-y)+-(x-y)

84

例2設(shè)/(x+y,孫)=/+3砂+y?+5,^/\x,y)

解：：x?+3孫+>2+5=(x?+2盯+y2)+盯+5

=(x+y)2+孫+5

.-.f(x,y)=x2+y+5

例3設(shè)z=8+/(五-1),當(dāng)y=l時(shí)，z=光，求函數(shù)井口z

解：由條件可知

X=]+/(五-1)，令五-1="，則/(“)=x—\=(?+1)2—1=u2+2u

f(x)=x2+2x,z=yfy+x—i

三、有關(guān)二元函數(shù)的極限

?工

例1討論lim(l+—)R(aHO常數(shù))

1v(*+y)

解：原式=lim(1+—r

孫_

(1Yv1

而lIi*m1+——…令f=%Xy-lim(l+-#)’=’

又lim--------=lim-------=—

y^a孫(X+>))：工+馬。

X

原式=/

2

y

例2討論lim4L

；Zox+y

解：沿＞原式=1磔/于二°

lx4

沿>=戊2,原式=lim—

x+l2x41+/2

原式的極限不存在

3

X2|-y|2

例3討論lim4J

T4+2

y.0人r十yv

解：???X4+y2>2x2\y\(v(x2-\y\)2>0)

33

2

f而x|yR1..1

0<.11.<^-=-b2

x+y2x2|y|27

而1星評(píng)=。；

lim0=0

x->0

)T0乙y->0

用夾逼定理可知原式=0

§6.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分

(甲)內(nèi)容要點(diǎn)

一、偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念

1.偏導(dǎo)數(shù)

二元：設(shè)z=/(x,y)

dzf(x+^x,y)-f(x,y)

-.lim

=Z；Uy)Ax

r)7f(x,y+\y)-f(x,y)

△)'

三元：設(shè)”=/(x,y,z)

$A，)；新融.);

2.二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)z=/(x,y),

14=斤@，＞)=梟韻，］^"(乂＞)=2年)

oxoxoxuxoydyox

(X，＞)=梟打TT=＜：(X，y)=T-(韻

oyaxdxdyaydyay

3.全微分

設(shè)z=f(x,y),增量Az=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)

若Az=AAr+BAy+OQ(AX)2+出了)

當(dāng)Ax—?0Ay—＞0時(shí)

則稱z=f(x,y)可微，而全微分dz=AAv+BQ

定義：dx=Ax,dy=^y

定理：可微情況下，A=f；(x,y),B=f；Xx,y)

-,-dz=f"(x,y)dx+f；(x,y)dy

三元函數(shù)u=f(x,y,z)

全微分du=f"(x,y,z)dx+f'y\x,y,z)dy+￡(x,y,z)dz

4.相互關(guān)系

常用連續(xù)ndf{x,y)存在丁優(yōu)溫g’)存在

5.方向?qū)?shù)與梯度(數(shù)學(xué)一)

二、復(fù)合函數(shù)微分法一一鎖鏈公式

模型I.設(shè)z=f(u,v),u=w(x,y),v=v(x,y)

,.dzdzdudzdvdzdzdudzdv

則r——=-------+--------:——=---------+-------

dxdudxdvdxdydudydvdy

模型H.設(shè)〃=f(x,y,z),z=z(x,y)

EIdu,,dzdudz

則L+仁’而=力+殊

模型III.設(shè)〃=f(x,y,z),y=y(x),z=z(x)

思考題：設(shè)z=f(u,v,w),w=w(u,v),u-w(r),v=v(z),r=r(x,y)

求手Hz的鎖鏈公式，并畫出變量之間關(guān)系圖.

OX

三、隱函數(shù)微分法

設(shè)F(x,y,z)-0確定z=z(x,y)

則生=-二；生=-芻(要求偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且E'HO)

oxF.dyF.

四、幾何應(yīng)用(數(shù)學(xué)一)

1.空間曲面上一點(diǎn)處的切平面和法線

2.空間曲線上一點(diǎn)處的切線和法平面

(乙)典型例題

例1求〃二(工廠的偏導(dǎo)數(shù)

y

解半=Z(土尸,A-Z-X'

oxyyyyy

”=(當(dāng)Z如三

dzyy

例2設(shè)〃=/(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定

du

exy—xy=2和e"=求r區(qū)

解華=/1+/咨+-牛

axaxax

由exy-xy=2兩邊對(duì)光求導(dǎo)，得e"[y+尢蟲]-(y+x蟲)=0

dxdx

解出—(分子和分母消除公因子(e“-1))

dxx

由e，=7皿1兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得e'=sin("-z)在)

*t(x-z)dx

解出名=1一，(1)

dxsin(x-z)

所以包=班上江+[1_"5一％些

dxdxxdysin(x-z)dz

例3設(shè)>=y(x),z=z(x)是由z=4\x+y)和尸(x,y,z)=O所確定的函數(shù)，其中/具有一

階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，尸具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求二

dx

解分別在兩方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)得

的

和

1

JZ區(qū)/dz

=+1+

區(qū)+一于+4'

化簡

<dx

辦

心

+號(hào)+O

區(qū)=z

V

解出裊號(hào)審

例4設(shè)〃=/(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=z(>,y)由方程

xex-ye-'=ze]所確定求力，

解一：令F(x,y,z)=xe*-ye-'-z"得"'=(x+l)e*,耳=-(y+l)e>,

p=_(z+1)"則用隱函數(shù)求導(dǎo)公式得

Hz_工'_x+l〃rdz_y+1y-2

dxF；z+1'dyz+1

"=/+走"+/'，上

dx，xJzdxJxJzz+1

2=4+/咨=4―/：?號(hào)

dydyz+1

du="dx+"dy=(f；+f'ex'!)dx+-f^^ey~:)dy

oxdyz+1z+1

解二：在xex-yey-zez兩邊求微分得

(1+x)exdx-[\+y)eydy=(1+z)e~dz

(1+x)exdx-(1+y)eydy

解出dz=

(l+z)ez

代入du=f；dx+f'dy+f'dz

(1+%)e'dr-(1+y)eydy

(l+z'z

合并化簡也得血=（G/駕e『+GY號(hào)e”

例5設(shè)/（，，,u）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足夏=1,

du"加~

g(X，y)=/孫,g"一/)，求需+需

解：u=xy,v=^(x2-y2)

返二理+2返二/_陛

dxdu3vdydu.3v

需=用居卜患％前十5

a「方]a"dua"3v2悸卜暮白翳當(dāng)代入上式

3xdu加~3x3w3vdxdxLdu」ovouoxovox

故,：,fa2g?2壯a(bǔ)2/+2c孫Wa"+/2

8v23v'

巧2尤第

所以:翳+需"+*￡+，+/

=r2+y-2

例6已知F(-,—)=0確定z=z(x,y)其中F(〃,u),z(x,y)

zz

均有連續(xù)編導(dǎo)數(shù)，求證x孕+y孕=z

oxOy

XV

證：F(u,v)=F(-,—)=G(x,y,z)=0

zz

G：=E/，G；=E，，G；=E：(一力+F：(一_

zzzz

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)公式

dz_G：_zF：3z_G；_zF"

派G；xF^+yF'dyG；xF't+yF'

dzdz

則得x—+y—=z

oxdy

2

x--u"+v+zdu3v加

例7設(shè)求

y=u+vz5dz

2

x=-u+u+z

解：對(duì)的兩邊求全微分，得

y=〃+vz

dx=-2udu+du+dz2udu-dv=-dx+dz

=><

dy=du+zdv+vdzdu+zdv-dy-vdz

=>而_z小+(z-v)dz+dy

2uz+1

亂_2udy+tZx-(14-2uv)dz

2uz+1

〉—du——---z---,—3v_____1___,d—u—-z---v----

3x2uz+1dx2uz+1dz2uz+1

§6.3多元函數(shù)的極值和最值

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、求z=，（x,y）的極值

第一步〔然;2求出駐點(diǎn)⑷山

（攵=1,2,…

第二步令yk）fyy（xk,yk）-匕0，以）F

若AA.＜0則/（七,券）不是極值

若△*=（）則不能確定（有時(shí)需從極值定義出發(fā)討論）

若△*＞（）則是極值

若/二（々，”）＞0則/（4.,%）為極小值

進(jìn)一步

若/X?,九）＜。則/（4,”）為極大值

二、求多元（〃？2）函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法

求〃=/（再,…，兌）的極值

血（一,…，怎）=0

約束條件＜：（〃?＜〃）

.em（Xl，.~，Z）=0

令F=E（X，…,x“，4,…,兒“）=/（和…,x.）+Z4e（Xi，,rJ

i=l

E=o

F：=0

Fj=9i（X|,…,x“）=0

產(chǎn)工=。,"，…，x"）=°

求出（甘,…,只）（A=1,2,…,/）是有可能的條件極值點(diǎn)，一般再由實(shí)際問題的含義確

定其充分性，這種方法關(guān)鍵是解方程組的有關(guān)技巧。

三、多元函數(shù)的最值問題（略）

（乙）典型例題

一、普通極值

例1求函數(shù)Z=/+y4_工2一2個(gè)一>2的極值

解導(dǎo)4—導(dǎo)4~尤一2y

乎=半=0,得x+y=2/=2y3

要求

oxdy

故知x=y,由此解得三個(gè)駐點(diǎn)

x=0X=1x=—\

y=0,J=T

步12~，器5-2

又=-2,

dxdy

在點(diǎn)(b1)處

8=生⑺產(chǎn)一2,0=第,.|)=10

A（i,i）=1°，

dxdy

\^AC-B-=96>0

又A=10>0,(U)是極小值點(diǎn)

極小值Z[]）=—2在點(diǎn)（-1,-1）處

(-1)=-2,c=|^r|(-i,-i)=10

=10,8=

ifdxdy

A=AC-B2=96>0

A=10>0,-1,-1）也是極小值點(diǎn)

極小值Z|（T,_|）=-2在點(diǎn)（0,0）處

4科,_A_氏

9=-2,=-2

"dxd

(o.o,'_y

(0.0)力(0.0)

△=AC-82=0不能判定

這時(shí)取X=￡,y=T■（其中￡為充分小的正數(shù)）則Z=2￡4>0

而取x=y=戌寸Z=2￡4-4/<0由此可見（0,0）不是極值點(diǎn)

例2設(shè)z=z(x,y)是由/-6xy+l0y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的

極值點(diǎn)和極值。

解因?yàn)閤2-6xy4-10/-2yz-z2+18=0

每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，Z看作X,y的函數(shù)，得

2x-6y-2y生-22生=0,(1)

oxox

每一項(xiàng)對(duì)y求導(dǎo)，z看作x,y的函數(shù)，得

()z()z

-6x4-20y-2z-2y-——2z—=0.(2)

dydy

3Z

一=0,

令x-3y=0,x=3y,

ax得故<

az

-=0,-3x+10>'-z=0,z=y.

a)

將上式代入T—6xy+10y~-2yz—z~+18=0,可得

x-9,x--9,

y=3,或y=-3,

z=3.z=-3.

Hz

把（l）的每一項(xiàng)再對(duì)無求導(dǎo)，z和丁看作的函數(shù),得

dx

2-2點(diǎn)—2弓)2_22售=0,

dxoxdx"

Hz

把（1）的每一項(xiàng)再對(duì)y求導(dǎo)，z和一看作的函數(shù),得

dx

3zd~zdzdzd~z

-6-2------2y---------2------------2z-------=0,

dxdxdydydxdxdy

Hz

把（2）的每一項(xiàng)再對(duì)y求導(dǎo)，z和3看作xj的函數(shù),得

dy

20—2$一2M2>詈-2仔>_2z普=0,

dydydydyoy~

所以A嘮B=^~-1C-_5

…=2'辦2

(933)口dxdy

,1又A=L>0,從而點(diǎn)（9,3）是z（x,y）的極小值點(diǎn)，極小值

故AC-B2=—>0,

366

為z(9,3)=3.

類似地，由

A-逅---B-3~Z---C--I

——一個(gè)6—奇——一天。一獷1-97.-“__]

可知AC-B2=—>0,又4=一!<0,所以點(diǎn)(一9,—3)是2(羽田的極大值點(diǎn)，極

366

大值為z(—9,—3)=-3.

二、條件極值問題

例1在橢球面泉+學(xué)+奈=1第一卦限上尸點(diǎn)處作切平面，使與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面

體的體積最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)。

.2x2y2z

解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z),則橢球面在P點(diǎn)的切平面的法向量為(了-，3v，萬石)

221

切平面：-x(X-x)+-y(Y-y)+-z(Z-z)=O

22I

—xX+—浮+―zZ—2=0

259-2

x軸截距(y=o,z=o)x=—

X

y軸截距(Z=0,X=0)Y=-

y

4

z軸截距(x=o,y=o)z=?所以四面體的體積

z

j_2594_150

6xyzxyz

222

約束條件|r+y+|r-1=0O>o，y>o，z>o)用拉格朗日乘子法，令

?八150..x2y2z2..

F=F(x,y,2,之)=二+〃不+港+至-1)

xyzDDN

1502/1

F：=—x=0(1)

fyz25

1502An

F；尸2+—y=0⑵

xyz9

1502A八

F：=-------r+—z=0⑶

孫z~4

X222

卜y+:一1=0(4)

*3222

450

用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得------1-2/1=0

xyz

則24=當(dāng)

(5)

xyz

將(5)分別代入(1),(2),(3)得

532

_5_

所以p點(diǎn)坐標(biāo)為（）而最小體積V=156

元2+22=]

例2求坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線C：\）一的最短距離。

2x-y-z=1

解：設(shè)曲線C上點(diǎn)（x,y,z）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d,令w=d2=X2+y2+z2,

約束條件r+y2—z2—1=0,2x—y—z—1=0用拉格朗日乘子法，令

F=F(x,y,z,44)=(x2+y2+z2)+2(x2+y2-z2—l)+//(2x-y—z—1)

F'=2x+2Ar+2〃=0(1)

=2y+2狗-〃=0⑵

￡'=2z-24z-4=0(3)

-x2+y2-z2-1-0(4)

F；=2x-y_z-]=0⑸

首先，由（1）,（2）可見,如果取7=-1,則4=0,由(3)可知z=0,再由(4),(5)得

￡+y2_]=o,2九_(tái)y_l=0

這樣得到兩個(gè)駐點(diǎn)4(0,—1,0),鳥《,|,0)其次，如果取4=1,由(3)得4=0,再由

(1)(2)得》=0,〉=0這樣⑷成為-z2=l,是矛盾的，所以這種情形設(shè)有駐點(diǎn)。

最后，討論/1/-1情形，由(1)(2),(3)可得

、二一七‘"缶’2=缶代入⑷，⑸消去4得3無一期+8=°此方

程無解，所以這種情形也沒有駐點(diǎn)。

綜合上面討論可知只有兩個(gè)駐點(diǎn)，它們到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都是1,由實(shí)際問題一定有最

短距離，可知最短距離為1。

另外，由于C為雙曲線，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到C的最大距離不存在。

例3已知函數(shù)2=/。,)0的全微分a=2%小-2)山,并且/1(1,1)=2.求/(龍，30在橢圓域

D=](x,y)x2+上4上的最大值和最小值。

4

解法1由dz=Ixdx-2ydy可知

z=/(x,y)=_?一/+c

再由/(1,1)=2,得C=2,故

z=f(x,y)=x2-y2+2

令%=2尤=0,%=—2y=0,解得駐點(diǎn)(0,0).

oxdy

在橢圓/+—=1上，z=九2一(4一412)+2,即

4

z=5x2-2(-1<x<1),

其最大值為由玨=3,最小值為2=|戶0=-2,

再與/(0,0)=2比較，可知f\x,y)在橢圓域D上的最大值為3,最小值為-2。

解法2同解法1,得駐點(diǎn)(0,0).

用拉格朗日乘數(shù)法求此函數(shù)在橢圓/+匯=1上的極值。

4

設(shè)L—x~-y~+2.+“尸+q—1),

=2x+2Ax=0,

2

令<4=-2y+5y=o，

L!,—x2+----1=0

I4

解得4個(gè)可能的極值點(diǎn)(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).

又f(0,2)=-2,f(0,-2)=-2,/(1,0)=3,/(-1,0)=3,再與/(0,0)=2比較，得/(x,y)在。上的最

大值為3,最小值為-2。

第七章多元函數(shù)積分學(xué)

§7.1二重積分

(甲)內(nèi)容要點(diǎn)

-、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題

模型I：設(shè)有界閉區(qū)域

D={(x,y)\a<x<b,例(x)WyW仍(x)}

其中一(x),仍(%)在［a,b］上連續(xù),/(x,y)在

。上連續(xù)，則

b02。)

JJ/(*,y)da=JJf(x,y)dxdy=^dxj/(九,y)dy

DDa仍(x)

模型n：設(shè)有界閉區(qū)域

D={(x,y)|c<y<d,(p^y)<x<^p2(y)}

其中一(y),*2(y)在Cd］上連續(xù)，/(x,y)

在。上連續(xù)

d%(y)

則jjf(x,y)dcrf(x,y)dxdy=^dyJf(x,y)dx

DDcg(y)

關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型i或模型n,把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算,

對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域D如果既不符合模型I中關(guān)于D的要求，又不符合模型II中關(guān)于D的

要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型1或模型II中

關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和,

而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算。

在直角坐標(biāo)系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是

先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D,然后根據(jù)D再把二重積

分化為另外一種順序的累次積分。

二、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分

在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定。對(duì)7進(jìn)行積分，然后再對(duì)

。進(jìn)行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。

模型I設(shè)有界閉區(qū)域

其中Qi(。),/(6)在3。］上連續(xù)，/(x,y)=/(/cos8,/sin8)在。上連續(xù)。

P仍(6)

則JJ/(x,y)da=jj/(/cos0./sinO)ydydO=j/(/cos0,/sin0)ydy

DDa8(6)

模型n設(shè)有界閉區(qū)域

D={(y,^)|a<^<AOSyW9(6)}其中

夕(6)在［a,Bl上連續(xù)，

/(x,y)=/(/cos仇/sin6)在。上連續(xù)。

B叭6)

則JJ/(羽y)do=j|/(/cos6,/sinO^^ydO=^d0j/(/cos仇ysin。)典y

DDa0

(乙)典型例題

一、二重積分的計(jì)算

例1dxdy,其中。由和y軸所圍區(qū)域

D

11,

解：如果jjey心心=|dx^e~ydy

DOx

那么先對(duì)"丁求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累

次積分。

1y

jje~ydxdy=jdy^e~ydx

D00

這時(shí)先對(duì)X積分，e-廣當(dāng)作常數(shù)處理就可以了。

例2計(jì)算JJyl\y-x2\dxdy

|A1<1

0<y<2

1_x2_________2_________

解：原式=J么|yjx2-ydy+J^y-x2dy

-iL°『

=-|||j(2-x2')2dx-^-+^

JT3T,乙

例3求/=jj(yjx2+y2+y)d(j

D

x2+y2<4

D:/o

u+l)2+y2>l

解mu

D。大眼。小康

JJ+do=JJJf+fdb+o(對(duì)稱性)

D大網(wǎng)。大1國

2萬2

216

=jdgjrdr—兀

00°3

34

,2—2cos030

JJ=JJ'?+—^b+0=jr1dr-一

。小HID小圜X09

+/+y)db=苧(34一2)

9

解二：由積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性可知

D

jjJ/+y2do=2jjy/x24-y2d(J

DDx

原式=2Jj+y2do■+JjJX?+y2do

_Dg。上2

7t

22712

12

=2\de\rd7+\deJrdr

00至-2cos?

2

「4416J16/c-

=2—4+(—4---)=—(3/r—2)

3399

二、交換積分的順序

2aJ20r

例1交換\dxf/(x,y)dy的積分順序

o懸？

解原式=JJ于(x,y)dxdy

D

其中D由y=d2ax-X2和y=N2ax以及

x=2。所圍的區(qū)域

D=D}UD2UD3

y=J2ax解出x=—

由"2。

y^^lax-x1解出x=a±&2_y2

因此按另一順序把二重積分化為累次積分對(duì)三塊小區(qū)域得

aa-a2a2a2a

原式=jf(x,y)dx^-^dyjf(x,y)dx+jdyJf(x,y)dx

o《°a+\ja2-y2a￡

五五

例2設(shè)，'(y)連續(xù)，證明

令x-"+)=---sint,則dx=---costdt,

222

1a-y

a2----------COSta

/=Jj-^-7----------dt=可r(y)dy=7r[/(a)-/(0)]

0^cos/0

22

三、二重積分在幾何上的應(yīng)用

1、求空間物體的體積

例1求兩個(gè)底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積

解設(shè)兩正交圓柱面的方程為Y+y2=R2和*2+Z2=R2,它們所圍立體在第一卦限

中的那部分體積

V,=jjylR'-x1dxdy

D

其中。為OSxWR,0<y<yjR2-x2

R>!R2-X2_______R0

因此X=J公j」R2-￡dy=「R2-爐灶=4R3

0003

而整個(gè)立體體積由對(duì)稱性可知

V=8V,=—/?3

13

例2求球面V+y2+z2=4R2和圓柱面/+卜2=2&（火>0）所圍（包含原點(diǎn)那一

部分）的體積

解匕=叫也/?2-％2-y2dxdy

D

其中。為孫平面上y=^2Rx-x2與x軸所圍平面區(qū)域用極坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算

￡

.__________~22Reos0________

v=4yj4R2-r2rdrdO=4jd6jJ4H?一

D00

32/?'?...tz)j323Jr2

=e)xd/z8=，R(y--)

2、求曲面的面積(數(shù)學(xué)一)

§7.2三重積分（數(shù)學(xué)一）

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、三重積分的計(jì)算方法

1、直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積分

(1)設(shè)。是空間的有界閉區(qū)域

Q={(%,y,z)|z,(x,y)<z<z2(x,y),(x,y)eD}

其中。是孫平面上的有界閉區(qū)域，Z](x,y),Z2(x,y)在D上連續(xù)函數(shù)/(x,y,z)在。上

連續(xù)，則

.z2(x,y)

川/(%,y,z)dv=jjdxdyjf(x,y,z)dz

CD4(x,y)

(2)設(shè)已={0,%2).<24￡,(x,y)e￡>(z)}

其中力⑵為豎坐標(biāo)為z的平面上的有界閉區(qū)域，則

P

JJJf(x,y,z)dv=jdzJJf(x,y,z)dxdy

CaD(z)

2、柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算

J|j/(x,y,z)dxdydz=jj|/(rcos6,rsin0.z)rdrd0dz

cQ

相當(dāng)于把a(bǔ),y)化為極坐標(biāo)(幾。)而z保持不變

3、球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算

x=0sinJcos。p>0、

y=psin0sin(pO<0<7T

z=pcos00<(p<2萬)

jjj/(x,y,z)dxdydz=jjj/(psin0cos(p,psin6sin0,pcos3)p2sin3dpelOd(p

(乙)典型例題

一、有關(guān)三重積分的計(jì)算

例1計(jì)算JJJAY2Z3公“ydz,其中。由曲面2=q,y=x,x=l,z=0所圍的區(qū)域

1xxy

解JUxy2z3dxdydz=jdx^dy^xy~z3dz

Q000

xndx=—

364

22,2,222

?7Y

例2計(jì)算叫*+方+J世dydz淇中。由曲面三+/+