保密★啟用前

8.一架高空偵察飛機以800m/s的速度在海拔20000m的高空直線飛行?飛機的航線和

肇慶市2021-2022學年第二學期圖一年級期末教學質量檢測

某個山頂在同一鉛垂平面內，飛機第一次探測該山頂的俯角為450,經過10s后飛機第

二次探測該山頂的俯角為60°.則該山頂的海拔高度約為

數學(72^1.414,73^1.732)

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡指定位置上。

2.回答選擇題時，寫出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑。如需改動.用橡皮擦干凈后.再選涂其他答案標號。回答非選擇題時?將答

案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交PL

A.1072mB.1573mC.2436mD.3200m

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

是符合題目要求的.9.下列命題為真命題的有

1.已知z(l+i)=3+i,則復數之=A.過直線Z外一點P?存在唯一平面a與直線I垂直

A.2+iB.2-iC.1-iD.l+iB.過直線/外一點P，存在唯一平面a與直線/平行

2.已知向量。=(1,2),6=(2,3).。=(3,4).若。=機+/疝，則以+/=C.過平面a外一點P,存在唯一平面0與平面a垂直

A.1B.-1C.-2D.3D.過平面a外-點P，存在唯一平面f與平面a平行

3.數據3,4,5,6,7,8,9,10的80%分位數為10.在平行四邊形ABCD中，點E?F分別是邊AQ和DC上的中點,BE與BF分另I]與

A.8B.9C.6.4D.8.4AC交于M,N兩點，則有

4.已知圓錐的底面半徑為2,高為2g■.則其側面積為A.+B.A4^=yAB+yAS

A.25/37tB.4兀C.67rD.8K

C.JBJD.JW?5=JB?-jllB

5.某中學高一年級有女生380人，男生420人,學校想通過抽樣的方法估計高一年級全

體學生的平均體重.學校從女生和男生中抽取的樣本分別為40和80.經計算這40個11.已知O表示必然事件.事件A的對立事件記為八,且P(A)>0,事件3的對立事件記

女生的平均體重為49kg,80個男生的平均體重為57kg,依據以上條件,估計高一年為瓦且P(B)>0,則

級全體學生的平均體重最合理的計算方法為A.必然事件Q與事件人相互獨立

B.若A與B互斥.則A與B不獨立

C.若八與B相互獨立，則A與B不獨立

4080D.若A與3相互獨立,則A與B互斥

CrX449Q1:X57Dn38()X44Q9|1420X5/

-120120-8OO800

12.已知三棱錐D-ABC中.DA.DB.QC兩兩垂直，DA,DB.DC與底面ABC所成角分

6.在正方體ABCD-A,BCD中,E.F分別為和BB,的中點?則異面直線BE別為a,仇y,DH_L底面ABC,點H為垂足?下列選項正確的是

與CF所成角的余弦值為A.若DA>DB>DC,貝I]a>p>y

一定為銳角三角形

A.OB.醇C.六D.修B.△ABC

355C.若DA=DB=QC=a,則：棱錐DABC的外接球體積為巡殳

7.二進制數字系統中,用兩個不同的符號0(代表脈沖間隔)和1(代表有脈沖信號)來表

示基數，每個。或1就是一個位(bit).如二進制數01001就是5(bit).一個5(bit)的二D.H一定為△A8C的垂心

進制數.由3個0和2個1隨機排成一行.則2個1不相鄰的概率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量4=(7+1,2),6=(2/,3),若。〃6,則」=.

14.已知i為虛數單位，則i202°+i202,+i2022=.

高?數學第1頁(共4頁)高?數學第2頁(共4頁)

20.（本小題滿分12分）

15.在△A8C中，內角A.從C的對邊分別為aA=1,a=4,若AD為坎、邊上的中

如圖，在三棱柱ABGA出G中，側面AACC為菱形,NAAC=60°,且AB±AA{.

線,AD=3,則△A3C的面積為.

16.一所初級中學為「估計全體學生的平均身高和方差.通過抽樣的方法從初一年級隨（D證明:平面ABCJ_平面A.ACC,；

機抽取了30人,計算得這30人的平均身高為154cm,方差為30；從初二年級隨機抽（2）若AB=AC,求二面角A,-HC-A的余弦值.

取了40人,計算得這10人的平均身高為167cm,方差為20；從初三年級隨機抽取了

30人,計算得這30人的平均身高為170cm,方差為10.依據以上數據,若用樣本的方

差估計全校學生身高的方差，則全校學生身高方差的估計值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在平面四邊形ABCD中.AB_LBC，NBAD=6O°,AD=26\BD=5.

⑴求cosZABD：

（2）若BC—4,求DC.21.（本小題滿分12分）

甲、乙、丙?:人進行摔跤比賽.比賽規則如下：①每場比賽有兩人參加.另一人當裁判.

沒有平局；②每場比賽結束時，負的一方在下一場當裁判；③累計負兩場者被淘汰；

④當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人累計負兩場被海汰，另一人

18.（本小題滿分12分）最終獲得冠軍，比賽結束.已知在每場比賽中,中勝乙和甲勝丙的概率均為田,乙勝丙

某市教育同為調查該市高一年級學生的綜合素養，在該市高一年級的學生中隨機抽

的概率為十，各局比賽的結果相互獨立.經抽簽?第一場比賽甲當裁判.

取了100名學生作為樣本?進行了“綜合素養測評”，根據測評結果繪制了測評分數的

（1）求前三場比賽結束后，內被淘汰的概率；

（2）求只需四場比賽就決出冠軍的概率；

（3）求甲最終獲勝的概率.

22.（本小題滿分12分）

如圖,四棱錐PABC'D的底面ABCD是邊長為2的正方形分別為邊。D?

（1）求直方圖中a的值；

PB.PC的中點，N為BF的中點.

（2）由直方圖分別估計該市高一年級學生綜合素養成績的眾數、平均數和方差.（同一

（1）證明：〃平面AEF：

組中的數據用該組區間的中點值為代表）

（2）若PA=PD,PC="T,宜線PA與平面ABCD所成的角為60°,求三樓錐

P-FE八的體積.

19.（本小題滿分12分）

在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為已知asinA—〃sinB=c（sinA-sinC）.

⑴求B；

（2）若■，求△山（面積的最大值.

高?數學第3頁（共4頁）高?數學第4頁（共4頁）

肇慶市2021-2022學年第二學期高一年級期末教學質量檢測

數學參考答案及評分標準

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

,nrteziri3+i(3+i)(l—i)4—2i?...

LB【解析】z=訐^二石斗市^^二一=2-i,故選pB.

2.A【解析】由。=%+砂=(仙2/)+(2/,3〃)=(2+2〃，2/+3〃)=(3,4),

所以4+2//=3,2；1+3戶=4,解得4=-1.2=2,所以入+尸=1,故選A.

3.B【解析】因為8X80%=6.4,

所以數據3,4,5,6,7,8,9,10的80%分位數是第7個數，為9.故選B.

4.D【解析】由題意，圓錐的母線1=，im=4,底面周長為4滅，故其側面積為S=yX47rX/=

；義44義4=8兀故選D.

5.I)【解析】用女生樣本的平均體重49kg估計女生總體的平均體重，用男生樣本的平均體重57kg

估計男生總體的平均體重，按女生和男生在總人數中的比例計算總體的平均體重，所以D選項最

合理?故選D.

6.C【解析】設P為/ZC,的中點，連接PC,PF.則/PCF為異面直線BE與CF所成的角，設正

方體ABCMBCD的棱長為1,貝ijPC=4，CF=亨,尸尸=平，由余弦定理可得cos/PCF

5,56

9

『故選C.

2X與X岑

7.C【解析】將3個。和2個1隨機排成一行，可以是:

00011,00101,01001,10001,00110,01010,10010,01100,10100,11000,共10種排法,

其中2個1不相鄰的排列方法為：

00101,01001,10001,01010,10010,10100,共6種排法，

故2個1不相鄰的概率為,=春,故選C.

高一數學參考答案及評分標準第1頁(共7頁)

8.A【解析】設第一次探測點為A,第二次探測點為B.山頂為點C.山高為人由題意可得，NACB

=15°.

由正弦定理，得又AB=800X10=8OOO(m),

sin15sin45

日,,,一sin45°?AB_sin45°?AB_ZAB

所以“CMT于Sin(45°—30°)一五二J'

又A=20000-^^=20000-^X^=20000-4000X(3+73)^1072(m).故選A.

2V3-1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2()分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得()分.

9.AD【解析】假設過直線I外一點P,存在另一平面?與直線/垂直，又垂直于同一直線的兩平面

平行，這與PeaCS矛盾，所以不存在另一平面3與直線/垂直，所以A正確；

如圖:/，故B錯誤;

如圖:，故C錯誤;

假設過平面a外一點P,存在不同于￡的平面7也與平面a平行，則y〃⑶這與PeyCS矛盾，所

以不存在不同于3的平面/也與平面a平行，所以D正確.

10.BC【解析】如圖，

由E.F分別是邊AD和DC上的中點，可知M,N是線段AC上的三等分點,

所以亦=十代=十(式5+仞)="^+"4小,故8正確,人錯誤；

Mq=BN-B法，又航=|■波,B法=5碌，所以M9=母麻一■|?旗，故C正確，D錯誤.

11.AB【解析】P(OA)=P(A)=1XP(A),所以A正確；

若A與B互斥，則P(AriB)=P(AB)=O,而P(A)P(B)>0.所以A與B不獨立,故B正確；

若A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B),

故P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B),所以A與

B相互獨立，故C錯誤；

若A與B相互獨立，則A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)>0,則P(AAB)=P(AB)>

0,與A與B互斥矛盾,故D錯誤.

高一數學參考答案及評分標準第2頁(共7頁)

12.BCD【解析】由題意得sina=M，sinf=管，sin尸捐，又DA>DB>DC,所以sina<

lJ/\Un/JC

sin8<siny,所以a<S<?，故A錯誤;

不妨設QA=z>DB=y>DC=z,則AB=>/x2+y2,BC=/d+y?,AC=//+必，則,4B>

-3+z2T一2

AOBC,故cosZACB>0,所以△ABC一

2"+：.22

■jJ：+z?-jy+±2

定為銳角三角形，故B正確;

若OA=DB=DC=a,則三棱錐D-ABC的外接球的直徑為所以三棱錐。一ABC的外接

球的體積”會（華）:占尹，所以C正確；

由DH_L底面ABC,所以DH_LBC,又DA.DB,DC兩兩垂直，所以AD_L平面DBC,

所以DA^BC,故BCJ_平面DAH.所以AH_LBC,同理BHJ_AC,CH_1AB,所以H為

△八3C的垂心，所以D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.3

【解析】因為a〃d所以2X2z=3（z+D,故才=3.

14.i

【解析】由產=1，產+1=i，產+2=—1，產+3=-i,得i2020+泮21+呼2=l+i-l=i.

5同

10--

【解析】由一=皆■，所以cosA=/，

由余弦定理得，a?=。2+c2—2和cosA=16=〃-\-c2—be,

又m=與（公十口），所以143|2=十（|獨2+|砌2+2代?@）,

即36=〃+（'+6c,

解得兒=10,

所以△ABC的面積S=*sinA=4X10xg=平.

16.64.4

【解析】初一學生的樣本記為了|,工2，…，八0，方差記為S1，初二學生的樣本記為3;|，、2,…，yio，方

差記為我初三學生的樣本記為4，力，…，如，方差記為st

出*V新am.130X154+40X167+30X170,

設樣本的1l平均數為s,則s=-----------------面------------=1l6r4,

設樣本的方差為

1304030

貝I」52—]￡（①——3）2+￡（北一3）2+2（之：一3）21

1UUf=li=l?=1

高一數學參考答案及評分標準第3頁（共7頁）

130___40___30

=(——x+x—(t)y~+S(V—y+)一3)2+個(％—N+Z—3)2]

1UU1=1r=li=\

30_30_30_____30

又H,一/)=X彳,—30彳=0,故[2(1,—jr)(.r—o>)=(①一s)22(n,-%)=0,

i=Ii=1i=1i=I

40___30___

同理￡2(y—y)(y—s)=0,S2(z,一之)(之一3)=0,

；=?i=i

因此，

130_30__40_10__30_30

S2=TT-r[S(才,一I/+S(/—Cd)?+S(yi~yY+S(丁一⑷>+?(之j—之>+七(之一儂/]

1UUj=li=Ii=li=li=1/=!

=Too[30s；+30(?z—3)2+40s：+40(y—3)2+30$：+30(z—3)〉[

=Y^X{30X[30+(154-164)Z[+4OX[20+(167-164)21+30X[10+(170-164)21}=64.41

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

解：(1)如圖，

由正弦定理，得;由而=;^亦，...........................................1分

所嶗=...............................................................2分

T

解得sin/ABD=g,..........................................................4分

5

所以cosNAB/=，l-sin2/AB/=4-..........................................5分

⑵因為sin/ABD=4?叱ABC=90°,所以cosNDBC=2,........................7分

bo

一?

由余弦定理，得Dd=B廳+BC2-2BD?BCcosNDBC=25+16-2X5X4X^=17,……9分

b

所以DC=/T7...............................................................10分

18.(本小題滿分12分)

解：(1)由頻率分布直方圖知，

(0.005+0.01+a+0.03+0.02)X10=1,.........................................2分

解得a=0.035.................................................................4分

高一數學參考答案及評分標準第4頁（共7頁）

（2）由直方圖，高一年級學生綜合素養成績的眾數為gW

=70,6分

估計該市高一年級學生綜合素養的平均成績為

50X0.05+60X0.1+70X0.35+80X0.3+90X0.2=75,..........................8分

方差為(50—75>X0.05+(60-75)2X0.1+(70—75)2X0.35+(80-75)2X0.3+C90-75)2

X0.2=115...................................................................12分

19.（本小題滿分12分）

解：（1）由正弦定理，得/一右2=必一.............................................2分

所以c°sB=W~1

cac2

故3=多........................................................................4分

(2)方法1：由余弦定理得3=〃="2+不一2accosB=a2+c2—ac^ac,................7分

又SAABc-,.............................................10分

當且僅當。=「魂時，等號成立.

所以AABC面積的最大值為竽.................................................12分

方法2：由正弦定理，得-4=^^=/^=2，

sinAsinCsinB

所以a=2sinA,e=2sinC,......................................................6分

=：QCsinB=^-ac=^sinAsinC,.........................................7分

又A+C=?，所以(1=駕-A,.................................................8分

O0

=

所以S△ABC5/3-sinAsin(第-A)=用(^-sinAcosA+Jsin'A)

=‘(牛sin2A—^cos2A+：)=V^[：sin(2A-*卜卜:],.....................]0分

當A=p寸,△ABC的面積最大,最大值為平...................................12分

20.（本小題滿分12分）

（D證明：連接A3,如圖，由AACC是菱形，所以AC」CA「

又BC）±CA,,BC,flAG=G,所以CAJ_平面ABC,,故4盡--------

CA」AB..........................................2分/卜濘力

又441，人8,。人1044=人1,所以481平面人4?。，又48//

U平面ABC,/優//

所以平面ABCJ_平面AACG.......................4分

（2）解：如圖，過兒在平面AACC內引直線AQ垂直于AC,OB

為垂足,過。在平面ABC內引直線0H垂直于BC.H為垂足，連接AH.............6分

高一數學參考答案及評分標準第5頁（共7頁）

由平面ABC_L平面A!ACC,，所以AQJ_平面ABC,所以AQJ_OH.AQ_LBC.

又所以BC_L平面AQH,故/A|H。為二面角A「BGA的平面角.8分

設AB=AC=2,

由NA|AC=60°,可知。為AC的中點，所以40=e.............................................................9分

又AB=AC=2,AB_L平面AiACG,ACU平面A.ACC.，所以AB_LAC,所以OH=考，……

.....................................................................................................................................................10分

所以A,H='A。+OH)=/=空?.....................................11分

V2

所以cosN4H()=^=F=g,

AiHy/T±7

所以二面角A-BC-A的余弦值為岑..............................................12分

21.(本小題滿分12分)

9_1

解：記事件A為甲勝乙，則P(A)=y,P(A)=y,

事件B為甲勝丙?則P(B)=J,P(B)=J,

事件C為乙勝丙，則P(C)=j,P(C)=y,

(1)前三場比賽結束后，丙被淘汰的概率為

P尸P(CAC)+P(CAB)=0X等義卷十卷*告義告=痣..........................3分

23223336

(2)只需四場比賽就決出冠軍的概率為

P,=P(CACA)+P(CBCB)+P(CABA)+F(CBAB)

_1-><111,+1111><,+12><2><