iii......iii練一．求下各復數的實虛部模幅角i（3i

；

（

(

i

)

3解=

iii

5i

i3解(cossin)3

3

]

z

1625

z

825

825

Rezzk1Argzk2

z．將下復數寫成三角表式）

3i

i（1

i解

3i

i

5

5sin

解

)．利用數的三角表示計下列各i（3i解

i.

學習幫手

.

3......3icos

sin

（

4i解

4i

3[2)]4

328

k4k33k]sin]sin41616

4．.設

z,z1

三點適合條件

z13

=0，

z

z,z123

是內接于單位圓

=1的個正角形的項點

1203證因

zz2

所以

z,z12

zz都在圓周

又因

z123

=0則

,

3

，所

z2

也在圓周上又zz22

所以以0

zz12

為頂點的三角形是正三角形所以向量z與112

之間的張角是

，同理

z與2

之間的張角也是

，于

z與12

之間的張角

2是

，理

z1

與

z

3

，

z

2

與

z

3

之間的張角都是

所

z,z123

是一個正三角形三個頂點。．解方z

3

.

學習幫手

.

1......1解:zz

k2sin3

k13zi322z2

sin

zcos3

5sini32．試證當

時則

1

。證

11．設

2

z0,

是的輻角求證

z

n

2cosn

證

z

z

2

則zsin

當

sin

時

inn

[cos(sin(cos故

2n

當

zsin

時同理可思考題（復為什么不能比較小答復域不是序復數的幾何意義是平面上。（是任意復數都有輻答否z是模零輻角無定義復。.

學習幫手

.

則2......則2練習二．指出足下列各式的點Z的跡是什曲？y（

arg(z)

解設

zxiy

則

z)(

i0

則點Z軌跡：（

Re()

，其

a,b

為實數常數解設

zxiy

則

())

)x)x

2

2(ax22aa)(若

a

則軌跡：

y若

則

軌跡

2

2(

b0

a2若

a

則

無意義（zzaz其中為a復數b為實常。解由設可：

(zz)0.

學習幫手

.

222222222222即

......za若

，則的跡為一點a若

a

，則的跡為圓圓心在

a半為

y

若

a

，無義0．用復數方程表示曲，連接1與i

直線段解

z)i))]t

0

(-1,-4)則

(1)i)

(03描下列不等式所確定和區域與閉域并指明它有界的還是無界的是連域還是多連域并出域邊界的方向（）

zRe

y解由

，得

又

1得

0有界單連域（z

2

y解令

zxiy由

Re

x

y

-1

00

1

x即

2

2

無界單連域.

學習幫手

.

則和則和（

......y解令

zxiy

則

)y2)

2

x無界多連域．對于數

f()Im描出當在域D內變化，w

的變化范圍解令則

zxiyf(i()

vIm0,y0Rew的變化范圍在第象限但不包括虛軸

0

u試證

z

不存在證

0

z

=

limxy

iy令

kx

則上述極限為

ki

不確定因極不存。思題（）怎樣理解復變函數

f

？答設

u,ziy則wfz)

就是uf(x)xy)()即

(x,y)x)

因此一復變函數

fz)

與兩個實變函數

(x)x,y)

相對應.

學習幫手

.

Gx....Gx從幾何意義上來變函數可以看作是

z

平面上的點集

D

到平面上的點集上的映射（）設復變函數

f

當

0

時的極限存，此極限值與z趨于

z

0

所采取的方取的路徑有關答沒有關系，z以任意方式于

z

0

時極值都是同的反過來說，若z兩條不同的曲線趨于

z

0

時極限值不相等，則說

f

在

z

0

沒有極限，這與等數學中的情形是類似的只一實函數中只能從左右以任何方式趨于

0

，而這里可以從四面八方任意趨于

z

0

。.

學習幫手

.

z......z．用導定義求

f)zz

練習三的導數解

f(zf()

0

(Re(zRezlim0

zRezRe

limRe

)z0

)(

)當z時導數不存在，當z時數為0。．下列數在何處可何處不可導何處解何處不析？（

f(z)

z.

學習幫手

.

222xyf)且......222xyf)且解

f(z)

ziyy

2

(xy(x)

(2)2

xy(2)

(

2y2

)

2

()

2當且僅當時

滿足C條件故當時f()

可導但在復平面不解。（

f(z

2(3x2

解令

f(uy)(xy則

uxyxuy

xx22y因

f)

在復平面上處處足C條，且偏導連故

f)

可導且解析．設

(x)

為解析函數試確

l,n

的值。解由條件可：

2nl

所以

又

3

所以

3m且即

n設

f)

在區域D內解析試證在D內列條件是彼等價。（

f)

=常數）

f

0

；（）

fz)

常數（

Imf(z

常數；

f()

解析）

f(z

常數證由

f(z)

在且域D內解析則可方程成即.

學習幫手

.

則因x,......則因x,）→由

fcf

在內立故顯成，）→由

f

u(xy)

是常數即

fz)

常數）→）u

常數

0

由C

條件

0(x)

是常數）→若

Imf)常數Imf(z)f(z),f(z)icf()1

在內析

0,

0即

,

一階偏導連續且足條件

f(z

在D內解析）→）

f()g(z)f(z)u

因

g(z)

解析則由C條件

，對()

在內析0v為常數0v為常數

f(z

為常數）→）

f(z

常數

f(z)

2

=常數令

2

2

c分別對求導數得.

學習幫手

.

(zzzzzz..(zzzzzz2)()0若u2

則

uv0,fz)

，因得證若u

2

2

0則

，故u數由C條件

0,

為常數思題（復函數

f)

f(常數在一點0可與在0解有什么區？答

f(z)

在0解則必在可，反不對這是因為

f(z)

在解析不但要求

f(z)在

z

0

可導，而要求

f)

在0的某個鄰域內可導因

f)

在解析比

f

在0可的要求高得多如

f(zz

2

在

z

0

=0處導但在

0

處不解。（函

f)

在區域內析與

f(z)

在區域內可有無區？答無兩等）（用

條件判斷

f)(,)x,)

解析時應注意些？答

(,(x,)

是否可。（判復變函數的可導或解析性一般有哪些方。答一是定義二是充要條件三是可（解函數的差積商與復仍可（解析函。練習四．由下條件求解析函數

f(

：.

學習幫手

.

pxvpxv（

......uxf解由

fz)

解析可知

y

y

x

而

xy則

x2yxyy所以

v(xy)

vdy

2ydy2

(x)x

(x)

x

2

f(2)由可知f()x(

2x（

arctg

解因

2

y

2

y

2

y

2

由

f(z)

解析可知：

y

y

y

x

2

2x,)dx

1ln(22y)y2

2

u(x,y)

lnx

2

2

)即

f(z)

ln(xy2)iarctg．設

sin求p

的值使v

為調和函數并出解析函數

f(u

。解要

,y)

為調和函數：

0

，即

px

sin

px

sinp

時為和函，要使

f

,u解析，則x

.

學習幫手

.

y....yu(x)

u

vdy

e

ydx

1p

epxcosyy)1up

siny

siny

11)e)ppp

)

即

(x,y)cosy

y)f(z)osin)．如果

f(

為解析函數試是的軛調和。證因

f)

解析有

0,,xy

x所以u均為調函數且亦為和函數vv故是

的共軛調和函數．如果

fu

是一解函數試：

if(z

也是解析函。證因

f)

vu解析則

且

u,v

均可微從也可微而

ifv可知：

vy

即滿足條件．試解程

if()

也是解析函數.

學習幫手

.

i(k......i(k（

z

i解

e

i2(cos

sin

)

n(2k)

zk（cos

)k解由設可：

i2z

kz．求下各式的：（

(4i)

解

Ln3

3(4i)解ln5arg(i

327

(ln2k

27

lnln5(2)3（2（

27

2

3)sin(ln3)]解

e

2

2

i

2

(cos1sin1)思題（）為什么復變指數函數周期函，而變指數函數沒有周？答于實數是復數的特例，此在把實變函數中一些初等函數推廣到復變數情形時要定義的各種變初等函數當

z

取實數時相應的實變等函數有相同的值并保持某些性質不變但能保持所有的性質不變.

學習幫手

.

當時ln......當時ln復變指數函數并能保持實變指數函數的所有性如對復

z

，一般沒有

z

而復變指數函數的期性，僅當周是復數（

i

）才顯現出來。所謂變數函數

x

沒有周期是其有實的周。（）實變三角函數與復變角函數在性質上有哪些異？答兩者在函數的奇性、周性、可性上是類似的且導數的形式、加定理正余弦函數的平和等公式也有相同的形。最大的區別是，實變三函數中正弦函數與余弦函都是有界函數，在復變三角函數中，

z

與

z

不再成因eiz1sinz221eiz21ey2

ey

。故

（）怎樣理解實變對數函與復變對數函數的異？并解復變對數函數的運算性。答因為我們把對數數定義為指數函數的反函數所以復變指數函數的多值性推出復變對數函數也多值函，

Lnzz

的主值即

zlnzz

，單值函數，當zx而

時

ln

就與高等數學中的值一致。在復變對數函數運算性質中注意到等式zlzz)zz1122要對其含義理解楚在實變對數函數中它們的意義是明了的，但復變指數函數中例.

學習幫手

.

2vv......2vv如Lnz)LniArg().2zln,lnzln1而

lnzzln1

，Arg(z)11

2應理解為：任意定等式兩端兩個多值函數一對可取的值端多值函數也必有一個值使等式成立。反過也一樣。也就理解為等式兩端可能取函數值從全體上講是相同的即不能只考慮某一值）后一式也同樣理解但對等式nLnz(zn)

和

Ln

zLnz它從全體上看還如

nLnn取n

時設reiLnz2lnr(2k

0,而從z2r2ei得Ln(z

r

),

0,

1,

兩者的實部是相，但虛的可取值不完全相。（）調和函數與解析函數什么關？答如

f(u

是區域

D

內的解析函數則的實部和虛部的階偏導數必連續從而滿足拉拉斯方所以是調和函數由于解析函數的函數仍是解析函數所它的實部和虛部的任意偏導數都是的相應階導數的部和虛部以它們的任意階偏導數都存且連續。故可以出的任意階偏導數是調和函數（）若是u的軛調和，可以說是v的軛和函數？答不兩的地位不能顛倒因為若是的軛調和函數則有

f(z)v.

學習幫手

.

v......v,;

而是的軛調和函數求

,

兩者一般不能同時成立所推的是是的軛調和函。.

學習幫手

.

11......11練習五．計算分

10

[(xy)ix

2

]

，積路自點沿實軸至1再鉛向上至i

。解

1

[()]

(1,i)

(1,0)(0,0)

[(xy)]2dz

(1,0)(0,0)

[(xy)

2

)]dz

0

(x)

)0i

0．計算分

c

zz

的值其為）

（）

解令

zre

則

z

z2rez0r

rie

i

當r2時為

i當

r4

時為

8

i．求積

ezz

dz

z的值其中C為由正向圓周與負向圓周所組成解

ezz

eezdzz

1

y

D2．計算

c

z

2

，其為圓

z

1

2.

學習幫手

.

1iii2CaCC......1iii2CaCC解

c

z2

1z(

dz

1(z

dz

1z

dz．計算列積分：（

sin解

0

sinzdz

z

i（

1

z解

1

ze

z

zez)ie11

1．當積路徑是自

沿虛軸到

，利積分性質證：

i

(

2

iy

2

)dz2證

(x

2

)dz

(x

2

iy)21.2思題（1積分的定義中為什么要強調積由到的積分有什么區別

f)

“沿曲線C由到的分它與沿曲線答在定積分中已有

ba

f(x)dx

b

f(x)dx

即積是與區間的方向關的這f(z)

在上積分也與的向有。這從積分和式

nf(n

中的因子.

學習幫手

.

CC......CC

可直接看出若變

C

的方向即

f)

是沿曲線由到積分則分與原積分反號

fzdz

f()其中C

表示的反向曲線（）復函數

f

的積分與實一元數定積分是否一？答若是實軸上的區間

[

，由義知

f(()dx即為一個實函數積分如

f()

是實值的則為一元實函的定積分因而樣定義復變函數積分是合的而且可以把高等數學中的一元實函數的定積分當作復積分的特例看待應當注意的是一不能把點為終為的函數fz)的積分作fz)dz因為這是一個線，要受分路線的限必記作

f(

，（）應用柯西古薩定理應注意些什？答必須注意定理的件單域，被函數雖然在B內處處解析，但只要B不單連的定的結論就不成立。例

f(z)

3z在圓環域：2內析C域內以原點為中心的正向圓但

C

z

，就因為不滿單連域這個條。還要注意定理不反過來用即不能因為

f)dz0

而說

f)

在內處解析例

z

z2

0

但

f(z

z2

z在內并不處處解析。.

學習幫手

.

......練習六．計算列積分（

2z

dzz解

z

為奇點

z

zz

z

（

ez

dz.

學習幫手

.

......解

299!

e

z

z099!（

sin(z

)

解

sin(z

)

(sinz)

z

2

z

z

2

=0cos（c3其

2;C:2

為負向解

cosz3

coscoszdzzcz

z)z)

z0或

2若

f)

是區域內非常數解析數且

f)

在內無零點則

f)

不能在G內到它的最小模1證設

zf(z)

，

因

f)

為非常數解析函，且

f()0則

gz

為非常數解析函

所以

gz)

在內能取得最大模即

f)

不能在G內得小模設

f(z)

在

fz)上解析且上有

試證

f

)

。證因

f()z()

在

上所以

f(z.

學習幫手

.

2與CC......2與CCf

12

f(z)1dz12()2

f()z1()22

dz

2

ds

111(x2y(xy)在z24

上4．設

f(z)(z)

在區域

D

內處處解析為

D

內的任何一條簡閉曲線的內部全含于

D

，如果

f)

=g(在C上有點處立試在內有的點處

f)

=g()

也成立證設

(z)f(zg(z)

，因

f(gz)

均在

D

內解析所以

F(z)

在

D

內解析在上

F(z)(z)

，

c0

有

F()

(z)ic

dz所以

f((0由

z

0

的任意性可在內

f(z)思考題（）復合閉路定理在積分算中有什么用處要意什么？答復合閉路定理，以把沿區域外邊界線的路積分轉化為沿區域內邊界線積分從便于計算特地如果分回路的內域中含有被積數的有限個奇點，們就可以挖去包含這些的足夠小的圓域括邊界），函在剩下的復連域解析，由復合閉路定理就以將大路的積分換成分別沿這些小圓的回路積利用復合閉路定是計算沿閉曲線積分的最主要.

學習幫手

.

CCCCCCCC使用復合閉路定，要注曲線的方向邊曲線由

CC,2

,C

所圍，

f()

即

C

f(dz0

這時

0

取逆時針方向而12n取時針方向而公式

fz)dz

fz)dz中

C1

,C

都取逆時針方。（）柯西積分公式成立的件是什？柯積分公式說明了什么問？答柯西積分公式是立在柯西積分定理基礎上的以柯定理成立為前提條件因此柯西定理的條件是柯西積分公式成立的條件即函數

f)

在以為邊界的區域上解f(z)析當也可以寬到在內解析在上續柯西積分公式反了解析函數值之間很強的內在系

f)

在區域內點的值

f)

，可以用

f)

在邊界上的值通過分來表達就是說函數

f)

在區域中任一點值完全由它在區域界上的值所確定這是實變量可微函數所不具有的（）解析函數的高階導數式說明解析函數的導數與實函數的導數有何不？答高階導數公式說，函

f)

只要在閉區域中處處可微，它一處處無限次可微，并它的各階導數均為閉區域上解析函。這一與實變量函數有本質的區。我們知道，對于實數

f(x)

而言，即使它在某一間上一次可導，導數

f

不一定仍然可導甚可是不連續。.

學習幫手

.

z......z練習七．序列

zn

n!n

i

n

是否有極限若，求出極限!i

n解因

limn

zzn

n

limn

n(n(n

lim[1n

n

]故級數

z

n

收斂則通項

0,(n即序列n有限亦即

zn

n

limn

!n

i

n

0級數

n

ni!

是否收斂是絕對收？解因

inn!

n!n

收斂因絕對收故級數收斂．試確下列冪級數的收半。

cos()z

n（

n.

學習幫手

.

n......nn解

Rlimn

CcosnlimCninn

limn

(

1(nlimn

n1n(

(

)

（解

Rlimn

nn

n當當當

a

時時時

Ra．將下各函數展開為

的冪級數并指出其收斂區。（

)

2解

2

)zn)n(znn收斂域為

（

.

學習幫手

.

......解

(z

zz

e

zz

，令

f(z)

zz

，則

f

f(z)

(z

2

f

f(z對此求導

f

f

z0(4)f(0)ff(0)

f

故

e

2zz2!3!4!

z（

z解

dz

=

0

nnn

z2n0nn

!2n

n,

z．討論數

znn)

的收斂。解級的部分為

S

(

n

n

)z

n

limlimzn

當

z

時,

limnn

級數收斂當

時,

limSn

n

不存在級發當

z

時,

limS0,nn

級數收。.

學習幫手

.

..當

z

時

limSn

n

不存在級數發。．證明

z

在

內解析證當

時顯然

，令

z

，則

，此數在

是收斂。故在

w

是解析的此

亦即在

內

解析思題（）如何判定級數的絕對斂性與收斂？

答由級數

n

n

的各項都為非負數故數

n

n

的絕對收斂性可正項級數的定理判定之又于級數

可表示為

n

n

nn

n

，其中

及

均為數項級數故數

的收斂性可依賴數項級數的定理判定。（）判定級數

n

n

收斂的必要條件什？

n

n

絕對收斂的充要件又是什？答如實級數一樣，

收斂的必要條件

limn

n

而

絕對收斂的充要件是

a

與

Ima

都是絕對收斂級.

學習幫手

.

......（）為什么說函數能展為級數與函數為解析函數是等價答因在收斂冪級數的和函數是解析同在某點鄰域內解析函數在其鄰域內必然可以成冪級。.

學習幫手

.

......練八．求下函數在指定點z0（4z

z

0

處的展式解

f(z)

只有一個奇點

z

其斂徑為

R

則

14

11i

11i

1

31i

1()

n

n(1i)

n

[z)]

n

，

)

（

sinz,z0解

zsin(sin(zz((zn((z!(2nnn

2或

z)

()

sin(),(sin(n)

sin(1)故

nsin(!2

．將下各函數在指定圓域內展為級。（

z

2

1

,解

2

1

=

z2

z

)

n

z

n

。.

學習幫手

.

nz22dzi......nz22dzi（

z2z(zz

,1解奇為

z2,

，故在

1

中展開為洛朗級z12(z2)(zzz

121)z(1)2=

()2n

n

()z

n．將在z的心鄰域內展為級數

解

12i因z

2i

=

(n(z)i)n

n所以

(z

2

()n()ni(z)(()(z2nn

n

。．證明

fz)z)z

以的冪表出的Lanrent展開式中各系數：n

0

cos(2cos

)cosn

n

提示令為位圓

，在上積分變量

i

，則

zcosz

dz

i

。證明

f

在

0z

上解析令

:在

上取z

i

則

zcosz

ie

j

.

C

f12ieidz20e(學習幫手

.

2z......2z

2

20

ooon

i2

0

ooin而

0

sin

cn

0

(n思題（）實變函數中函數展成級和復變量函數中函數展開為級的條件有什么不同？答在變量函數的情形即

f)

的各階導數都存欲函展開成冪級數也未必可能這因為在實變量函數，函數

f)

展開成Taylor級的條件要求

f)

具有各階導函數還要求所展成的級的余項趨向于對一個具體的函數來說要明其各階導數都在，已不容易要證明其級數的余趨近于零就更困難了而復變函數來講，只函數在

z

0

的鄰域內處處解，不僅有一階導數，且有各階導實函數的可導性不能保證導數連續，因而不能保證高階導的存。（）確定

f

的數的收斂半徑時應注意什？奇為什么在收圓周上答一地

f(z)

在解析區域D內點

z

0

的級數的收斂半，等于

z

0

到D的界上各點的最短離但

f

在

D

內有奇點時

,0

是

f(z)

的距0最近的一個奇點因此在確定

f)

的Taylor級的收斂半徑要確定

f(z)

在

D

內有無奇點并出距

z

0

距離最近的一個。奇點總是落在收圓周上因若在收斂圓內則圓內出現圓外則收斂圓還擴。（）Laurent級與級數有何？

f(z)

的不解析點若.

學習幫手

.

zz3)2zz3)2答級與級的系是當給函數

f)

在點

z

0

處解析時，中心在z

0

，半徑等于由

z

0

到函數

f)

的最近奇點的距的那個圓域可以看成圓環域的殊情形。在其中就可作出羅倫級數展開式根據柯西積分定理個展式的所有系數n

都等于零在情形下計算羅倫級數的系數公式級的系數式相同所以羅倫級就轉化為級數因，級是羅倫數的特殊情。練九．找出列各函數的所有點并明其階數z

（

z

解

zz4

i)(i

z

，所

為一階零點（

z

(ez

解法一令

f(z)

(e

則

f()

z2k

i

fz)

z

zf2)

z

.

學習幫手

.

8zz3)z(4z8zz3)z(4z3zezff

00

f0

2k

(kf

z

e

z

f

0f

(4)

()12e

z

24e

z

z

z

z

(8z

)ez

)2z

zz3e

z

4)e

z

f(4))

0

z

為階點

k

i(0)

為一階零點（法二令

f(z)(e

z

2

zz42(11!2!!

z4

z2z2n3!n!z

為階點zk

i

為階點（

f(sinz33z6

，問z

是

fz)

的幾階零點解

f(z6(n

n

(z2n)3(2n

93.

學習幫手

.

......6(z

3

z9z3!

)

9

z

36zz5!

21

15

66(5!

6

)

是

f)

的階點．下列函數有哪些奇？各屬何類若是極，指它的階）(z（

z

解

(zz

sin(z(zzlim

tg(zz

z

為可去奇點

z

zk2

是簡單極點（z

z解

z

=

zzz(z令(

，得

zi

，

而

zlim()limlimz0zz(ezz0eze

zlim0

e

z

12

z

為可去奇點當

k

i

時

z

而

(

z

z

z2k

z

z

z2k

0

zk

為一階極點（

1.

學習幫手

.

sinzcos解與z......sinzcos解與z解

1

()n!zn

n

，

為本性奇點（z

)

，

z

時為1階。z（z解為奇zz35(zz3!

1z2

(1

z3!5!1(n

n

nnz

為二階極點（

ze解

z

i

為奇點而

(ezz2(

n

zn

2(

nn!n

)

3

n

nn!z

為三階極點

2k

i

為簡單極點．若

f)()

是以為點的兩個不恒為的解析函數則z

f(z)g

lim

fg

或兩端均為。.

學習幫手

.

00......00證明：

fz)g(z),

且

f)，