第27章

圓27.2與圓有關的位置關系第3課時切線

1課堂講解切線的判定切線的性質2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升根據圖形，答復以下問題：〔1〕在圖中，直線l分別與⊙O的是什么關系？〔2〕在上邊三個圖中，哪個圖中的直線l是圓的切線？你是怎樣判斷的？1知識點切線的判定知1－導如圖，畫一個圓O及半徑OA，經過⊙O的半徑OA的外端點A畫一條直線l垂直于這條半徑，這條直線與圓有幾個公共點？知1－導從圖可以看出，對直線l上除點A外的任一點P，必有OP

>OA，即點P立于圓外，從而可知直線與圓只有一個公共點，所以直線l是圓的切線.知1－講1.判定定理：經過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直

線是圓的切線．

要點精析：切線必須同時具備兩個條件：(1)直線過半徑的外端；(2)直線垂直于半徑．2.判定方法：(1)定義法：與圓有唯一公共點的直線是圓的切線；(2)數量法：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是

圓的切線．知1－講3.切線判定常用的證明方法：(1)有切點，連半徑，證垂直：如果直線經過圓上的一點，那么連結這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可，簡記為：有切點，連半徑，證垂直．(2)無切點，作垂直，證半徑：如果條件中不知道直線與圓是否有公共點，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑即可，簡記為：無切點，作垂直，證半徑．

知1－講例1

導引：總

結知1－講(1)解答此題運用了連半徑，證垂直．一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論，特別要注意“經過半徑(或直徑)的外端〞和“垂直于這條半徑(或直徑)〞這兩個條件缺一不可，否那么就不是圓的切線．(2)如果要證的切線過圓上某一點，那么連結這點和圓心(連半徑)，證明該直線與過這點的半徑垂直(證垂直)，即可判定直線與圓相切，這就是：連半徑，證垂直．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，以點D為圓心，DB為半徑作⊙D.求證：AC與⊙D相切．知1－講例2直線AC是否與⊙D有公共點不確定，不能像上例那樣“連半徑，證垂直〞，為此，過D點作DF⊥AC于點F，由d＝r?直線與圓相切可知，只需證DF＝DB即可．導引：知1－講如圖，過點D作DF⊥AC于點F.∵∠B＝90°，∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC，∴DF＝DB.∴AC與⊙D相切．證明：總

結知1－講如果條件中不知道直線與圓是否有公共點，其證法是過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長等于半徑即可，簡記為：作垂直，證半徑．如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠

CAD,求證：AC是⊙O的切線.知1－練1以下命題中，真命題是()A．垂直于半徑的直線是圓的切線B．經過半徑外端的直線是圓的切線C．經過切點的直線是圓的切線D．圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓的切線知1－練2如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，以下選項中，能使過點A的直線EF與⊙O相切于點A的條件是()A．∠EAB＝∠CB．∠B＝90°C．EF⊥ACD．AC是⊙O的直徑知1－練32知識點切線的性質知2－導如圖,如果直線l是⊙O的切線，點A為切點，那么半徑OA與l垂直嗎？知2－講1.性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．要點精析：(1)性質定理的題設有兩個條件：①圓的切線；②半徑過切點，應用時缺一不可．(2)切線的判定定理與性質定理的區別：切線的判定定理是在未知相切而要證明相切的情況下使用，切線的性質定理是在相切而要推得其他的結論時使用；它們是一個互逆的過程，不要混淆．知2－講2.切線的性質：溫故：(1)切線和圓只有一個公共點；(2)圓心到切線的距離等于半徑；(3)圓的切線垂直于過切點的半徑．知新：(推論)(4)經過圓心且垂直于切線的直線必過切點(找切點用)；(5)經過切點且垂直于切線的直線必過圓心(找圓心用)．以上(3)(4)(5)可歸納為：知2－講直線滿足：①過圓心；②過切點；③垂直于切線中的任意兩個，就可得到第三個．拓展：(1)弦切角的定義：頂點在圓上，一邊與圓相交(弦)，另一邊與圓相切(切線)的角叫做弦切角．(2)弦切角的性質：弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角的度數，亦等于它所夾弧的度數的一半，也等于它所夾弧所對的圓心角度數的一半．如下圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且∠D=2∠CAD.〔1〕求∠D的度數.〔2〕假設CD=2，求BD的長.知2－講例3〔1〕利用“等半徑〞得等腰三角形；〔2〕利用“切線〞垂直于過切點的半徑構成直角三角形，再結合相關性質求解.導引：知2－講

總

結知2－講圓的切線時，常連結圓心和切點，得到半徑垂直于切線，通過構造直角三角形來解決問題，即“見切線，連半徑，得垂線〞；而等半徑，可得等腰三角形，從而可得兩底角相等；在同圓中有關切線的問題常通過等腰三角形和直角三角形的性質來解決問題.(2021·吉林)如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，連結OC.假設∠BCD＝50°，那么∠AOC的度數為()A．40°B．50°C．80°D．100°知2－練1知2－練(2021·瀘州)如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，假設∠C＝65°，那么∠P的度數為()A．65°B．130°C．50°D．100°2知2－練(2021·內江)如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD＝120°，過D點的切線PD與直線AB交于點P，那么∠ADP的度數為()A．40°B．35°C．30°D．45°31.證明直線與圓相切有如下三種途徑：(1)定義法：和圓有且只有一個公共點的直線是圓的

切線．(2)數量法(d＝r)：圓心到直線的距離等于半徑的

直線是圓的切線．(3)判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑

的直線是圓的切線．2.作輔助線的兩種方法：(1)假設直線與圓的公共點未指明，那么過圓心作直線的垂線段，然