關于平穩時間序列預測法第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三7.1概述

時間序列取自某一個隨機過程，則稱：

一、平穩時間序列過程是平穩的——隨機過程的隨機特征不隨時間變化而變化過程是非平穩的——隨機過程的隨機特征隨時間變化而變化回總目錄回本章目錄第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

寬平穩時間序列的定義：設時間序列，對于任意的t,k和m，滿足：

則稱寬平穩。

回總目錄回本章目錄第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統計預測方法。他們的工作為實際工作者提供了對時間序列進行分析、預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規、結構化的建模方法，并且具有統計上的完善性和牢固的理論基礎。ARMA模型是描述平穩隨機序列的最常用的一種模型；回總目錄回本章目錄第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR：Auto-regressive）；移動平均模型（MA：Moving-Average）；混合模型（ARMA：Auto-regressiveMoving-Average）。回總目錄回本章目錄第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

如果時間序列滿足其中是獨立同分布的隨機變量序列,且滿足：

則稱時間序列服從p階自回歸模型。

二、自回歸模型回總目錄回本章目錄第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

自回歸模型的平穩條件：滯后算子多項式

的根均在單位圓外，即

的根大于1。

回總目錄回本章目錄第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

如果時間序列滿足則稱時間序列服從q階移動平均模型。

或者記為。平穩條件：任何條件下都平穩。

三、移動平均模型MA(q)

回總目錄回本章目錄第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

四、ARMA(p,q)模型如果時間序列

滿足：則稱時間序列服從(p,q)階自回歸移動平均模型。

或者記為：回總目錄回本章目錄第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三q=0，模型即為AR(p)；

p=0，模型即為MA(q)。ARMA(p,q)模型特殊情況：回總目錄回本章目錄第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例題分析

設，其中A與B為兩個獨立的零均值隨機變量，方差為1；為一常數。試證明：寬平穩。回總目錄回本章目錄第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三證明：均值為0，只與t-s有關，所以寬平穩。回總目錄回本章目錄第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三7.2時間序列的自相關分析

自相關分析法是進行時間序列分析的有效方法，它簡單易行,較為直觀，根據繪制的自相關分析圖和偏自相關分析圖，我們可以初步地識別平穩序列的模型類型和模型階數。利用自相關分析法可以測定時間序列的隨機性和平穩性，以及時間序列的季節性。一、自相關分析回總目錄回本章目錄第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（1）自相關函數的定義

滯后期為k的自協方差函數為：

則自相關函數為：

其中

回總目錄回本章目錄第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

當序列平穩時，自相關函數可寫為：

（2）樣本自相關函數其中

回總目錄回本章目錄第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

樣本自相關函數可以說明不同時期的數據之間的相關程度，其取值范圍在-1到

1之間，值越接近于1，說明時間序列的自相關程度越高。回總目錄回本章目錄第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（3）樣本的偏自相關函數是給定了的條件下，與滯后k期時間序列之間的條件相關。定義表示如下：其中，

回總目錄回本章目錄第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關關系的特征。使用自相關分析圖判斷時間序列的隨機性，一般給出如下準則：

若時間序列的自相關函數基本上都落入

置信區間，則該時間序列具有隨機性；若較多自相關函數落在置信區間之外，

則認為該時間序列不具有隨機性。回總目錄回本章目錄第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

判斷時間序列是否平穩，是一項很重要的工作。運用自相關分析圖判定時間序列平穩性的準則是：

若時間序列的自相關函數在k>3時都落入置信區間，且逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩性；若時間序列的自相關函數更多地落在置信區間外面，則該時間序列就不具有平穩性。回總目錄回本章目錄第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三二、ARMA模型的自相關分析

AR(p)模型的偏自相關函數是以p步截尾的，自相關函數拖尾；

MA(q)模型的自相關函數具有q步截尾性，偏自相關函數拖尾；（可用以上兩個性質來識別AR和MA模型的階數）

ARMA(p,q)模型的自相關函數和偏相關函數都是拖尾的。回總目錄回本章目錄第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三7.3單位根檢驗和協整檢驗

一、單位根檢驗

利用迪基—福勒檢驗（Dickey-FullerTest）和菲利普斯—佩榮檢驗（Philips-PerronTest），也可以測定時間序列的隨機性，這是在計量經濟學中非常重要的兩種單位根檢驗方法，與前者不同的是，后一個檢驗方法主要應用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關的情況。回總目錄回本章目錄第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（1）隨機游動

如果在一個隨機過程中，的每一次變化均來自于一個均值為零的獨立同分布，即隨機過程滿足：

其中

獨立同分布，并且：

稱這個隨機過程是隨機游動。它是一個非平穩過程。

回總目錄回本章目錄第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

（2）單位根過程

設隨機過程

滿足：

其中

為一個平穩過程并且

回總目錄回本章目錄第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（3）

協整關系

如果兩個或多個非平穩的時間序列，其某個線性組合后的序列呈平穩性，這樣的時間序列間就被稱為有協整關系存在；這是一個很重要的概念，我們利用Engle-Granger兩步協整檢驗法和Johansen協整檢驗法可以測定時間序列間的協整關系。回總目錄回本章目錄第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三7.4ARMA模型的建模

一、模型階數的確定

（1）基于自相關函數和偏相關函數的定階方法

對于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關函數和樣本偏自相關函數的截尾性判定模型的階數。回總目錄回本章目錄第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三具體方法如下：對于每一個q,計算

….（M取為或者），考察其中滿足

或者的個數是否占M個的68.3%或者95.5%。如果

，都明顯地異于零，而

(轉下頁)回總目錄回本章目錄第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三….均近似于零，并且滿足上述不等式之一的

的個數達到其相應的比例，則可以近似地判定

是步截尾，平穩時間序列

為

。,,,回總目錄回本章目錄第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

類似，我們可通過計算序列其中滿足

，考察或者是否占M個的68.3%或者95.5%。即可以近似的個數地判定是步截尾，平穩時間序列

為

。回總目錄回本章目錄第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

如果對于序列

和截尾，即不存在上述的

來說，均不和判定平穩時間序列

，則可以為ARMA模型。

回總目錄回本章目錄第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（2）基于F

檢驗確定階數（3）利用信息準則法定階（AIC準則和BIC準則）此外常用的方法還有：回總目錄回本章目錄第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三二、模型參數的估計（1）初估計

AR(p)模型參數的Yule-Walker估計特例：一階自回歸模型AR(1)：

二階自回歸模型AR(2)：

回總目錄回本章目錄第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三MA(q)模型參數估計

特例：一階移動平均模型MA(1)：二階移動平均模型MA(2)：

回總目錄回本章目錄第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三ARMA(p,q)模型的參數估計

由于模型結構的復雜性，比較困難，有幾種方法可以進行。一般利用統計分析軟件包完成。

回總目錄回本章目錄第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（2）精估計ARMA(p,q)模型參數的精估計，一般采用極大似然估計，由于模型結構的復雜性，無法直接給出參數的極大似然估計，只能通過迭代方法來完成，這時，迭代初值常常利用初估計得到的值。回總目錄回本章目錄第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

三、ARMA(p,q)序列預報

設平穩時間序列

是一個ARMA(p,q)過程，則其最小二乘預測為：

AR(p)模型預測回總目錄回本章目錄第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

ARMA(p,q)模型預測其中：回總目錄回本章目錄第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

預測誤差預測誤差為：

步線性最小方差預測的方差和預測步長有關,而與預測的時間原點t無關。預測步長越大，預測誤差的方差也越大，因而預測的準確度就會降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作為長期預測模型。回總目錄回本章目錄第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三

預測的置信區間

預測的95%置信區間：

回總目錄回本章目錄第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例題分析設為一AR(2)序列，其中。求的自協方差函數。?例1回總目錄回本章目錄第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解