專題3.12含絕對值的一元一次方程（專項練習）

解題方法:第一步:先根據絕對值的意義去掉絕對值的符號;第二步:按一般的一元一次方

程的解法解方程.

絕對值方程的基本形式為：

\x-a\=b形式

即:當b＞0時，化為x-a=。或x-a=-b\

當b=0時，x-a=0；

當》＜0時，無解；

在解題過程中，涉及到的數學思想有:分類討論思想、轉化思想.

一、單選題

1.若方程（k-2）xlkl』+4k=0是關于x的一元一次方程，則k的值為（）

A.1B.-2C.2或-2D.2

2.方程|2x—6|=4的解是（)

A.1B.5C.T或5D.1或5

3.關于x的一元一次方程如+3=2（〃?一幻的解滿足則加的值是（）

3或!■

A.5B.-C.5D.2或0

22

4.方程|x+l|+|x?3|=4的整數解有（）

A.2個B.3個C.5個D.無窮多個

5.方程3-1|=4"5的解是（）

A.x=-3或1B.x=3或

C.x=-gD.x=-3

6.整數。滿足3＜同＜6,若a使得關于x的方程or+6=3（x-1）的解為整數，則滿足條件

的所有整數”的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知關于x的方程|5x—4|+。=0無解,|4x—3|+6=0有兩個解,|3x—2|+c=0只有一個

解，則化簡|4-4+卜-耳-卜-可的結果是（）

A.2aB.2bC.2cD.0

8.方程『?卜=。的解是（）

A.1B.無數個C.0D.無解

9.若|x|+|x-4|=8,則x的值為()

A.-2B,6C.-2或6D.以上都不對

24

10.滿足方程x+一+x—=2的整數》有()個

33

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題

11.若2|x-11=4，貝ijx的值為____

12.已知|。一耳=2,當。=1時,〃=

1—Y

13.解方程虧=3,則x=.

14.方程W+2x=2019的解為.

15.方程匕區-區二=1的解是.

48

16.已知關于x的方程皿+3=2。-加)的解滿足卜-2|-3=0,則加的值是

17.當|x|=x+6時，則20x2+30x+10=.

18.若關于x的方程4m—3x=l的解滿足2|x-2I-1=3,則m的值為

19.已知關于x的方程2/nr+3=〃2-x的解滿足方程|x-l|=1，則m=.

20.方程|x+l|+|2x-l|=6的解為:.

21.①當x=—時，式子竺^與乎+x的值互為相反數;②解方程|M=3，則

64|2|

三、解答題

22.先閱讀下列解題過程，然后解答問題(1)、(2)

解方程：|x+3|=2.

解:當x+320時源方程可化為:x+3=2,解得x=-1;

當x+3<0時,原方程可化為:x+3=—2,解得x=—5.

所以原方程的解是x=-l,x=-5.

⑴解方程：|3x—2|—4=0；

(2)探究:當b為何值時，方程斗=力+1①無解;②只有一個解;③有兩個解.

23.解方程:同3x+"=4.

24.解方程:|3x-2|-|2x+3|=4x-5

25.［現場學習］

定義:我們把絕對值符號內含有未知數的方程叫做“含有絕對值的方程

Y—I

如:|x|=2,|2x-1|=3,|三一|-x=2,…都是含有絕對值的方程.

怎樣求含有絕對值的方程的解呢?基本思路是:含有絕對值的方程一不含有絕對值的方

程.

我們知道，根據絕對值的意義，由仇|=2,可得x=2或x=-2.

［例］解方程：|2x-”=3.

我們只要把2x-1看成一個整體就可以根據絕對值的意義進一步解決問題.

解:根據絕對值的意義，得2x-1=3或2x-1=-3.

解這兩個一元一次方程，得％=2或才=-1;

經檢驗可知,原方程的解是1=2或犬=-1.

［解決問題］

解方程：|與1|7=2?

解:根據絕對值的意義，得

解這兩個一元一次方程，得》=或x=,

經檢驗可知，原方程的解是.

［學以致用］

解方程：|2x+l|=|5x-6|.

26.定義:若。+匕=3,則稱。與匕是關于3的實驗數.

(1)4與是關于3的實驗數,與5-2%是關于3的實驗數.(用含x的代數式

表示).

⑵若〃=3(n+工)+5為=2x-［3x—(4x+/)+2］,判斷q與b是否是關于3的實驗數,

并說明理由.

(3)若c=卜+3|-30=卜-2|-1,且c與d是關于3的實驗數，求x的值.

27.在數軸上，表示數機與〃的點之間的距離可以表示為I利-川.例如:在數軸上，表示

數一3與2的點之間的距離是5=|-3-2|,表示數一4與一1的點之間的距離是

3=|-4-(-1)|,

I1IIIII1III1III”

-7-6-5-4-3-2-101234567

利用上述結論解決如下問題：

⑴若卜-1|=2,則*=;若|尤+3|=2,-1|，則x=；

(2)點A、B為數軸上的兩個動點，點A表示的數是”,點8表示的數是"且卜-4=5(%>〃),

點C表示的數為一3,若A、B、C三點中的某一個點是另兩個點組成的線段的中點，求a、b

的值.

(3)求|x—3|+|x—2|+|x+l|的最小值以及此時x的值；

(4)已知(卜+1|小一2|)仙-2|+?+1|)(卜-3|+R+1|)=36,求》+3)，+52的最大值和最小

值.

28.先看例子，再解類似的題目：

例:解方程：國-1=5.

解法一:當x>0時，原方程化為x-l=5，解方程，得x=6;當x<0時，原方程化為-x-l=5,

解方程，得x=-6.所以方程同一1=5的解為x=6或x=-6.

解法二:移項，得兇=5+1,合并同類項，得|x|=6,由絕對值的意義知,x=±6.所以原方程

的解為x=6或x=-6.

問題:用你發現的規律解方程3兇一7=8.

參考答案

1.B

【分析】根據一元一次方程的定義解答即可.

解:；方程(k-2)xW+4k=0是關于x的一元一次方程，

>-2^0

'血-1=1

k=—2

故選B.

【點撥】本題考查了一元一次方程的定義,熟記一元一次方程的定義是解題的關健.

2.D

【分析】根據絕對值的性質分類討論，分別解兩個一元一次方程即可.

解:?.12x-6|=4

2x-6=±4

若2x-6=-4

解得:x=l

若21-6=4

解得:x=5

綜上:方程|2%-6|=4的解是x=l或x=5

故選D.

【點撥】此題考查的是解含絕對值的方程，掌握絕對值的性質和一元一次方程的解法是

解題關鍵.

3.C

【分析】先根據卜卜;解出x的值,再代入x的值到一元一次方程中求出m的值.

解:，?,工一5=—

，解得X=1,工2=0

將百=1代入mx+3=2(m-x)中

〃?+3=2x(〃2-l),解得見=5

將％=0代入如+3=2(m_幻中

3=2x(〃—0),解得嗎=：

則m的值為5或1

故答案為:C.

【點撥】本題考查了解一元一次方程，代入x存在的值求出m的值是解題的關鍵.

4.C

［分析］絕對值的幾何意義反映的是兩點之間的距離，據此可以順利解答本題.

解:用數軸表示方程中的未知數x表示到-1與3的距離的和等于4的整數值，所以

玉=-1,々=0，W=1,巧=2,占=3,共有五個整數解.

故選C.

【點撥】本題重點考查絕對值的幾何意義，利用幾何意義在數軸上很容易找出本題的解.

5.C

【分析】根據2x-l的符號分情況去絕對值號,列出方程求解即可.

解:①當2x-1三0,即這；時，原式可化為:2x-l=4x+5,解得x=-3,舍去；

I2

②當2x-1V0,即時，原式可化為:1-2x=4x+5,解得/=-］,符合題意.

故此方程的解為x=-(.

故選:C.

【點撥】此題考查取絕對值的方法和解一元一次方程的方法，取絕對值后列方程求解方

程即可.

6.C

【分析】由整數。滿足3＜同46冼確定a=-6,—5,Y,4,5,6,由方程or+6=3(x—l)的解

為整數.可得》=-吃，由。—3是9的約數均,±3,±1,求出。=-6,0,2,4,6,12,結合條件求出

a-3

a=-6,4,6即可.

解:???整數。滿足3＜同46,

.??3va＜6或-6＜。＜一3,

***ci=—6,—5,—4,4,5,6,

ar+6=3(x-l),

整理得(a—3)x=-9,

??,“一3是9的約數±9,±3,±1,

/.a=-6,0,2,4,6,12,

/.?=-6,4,6,

則滿足條件的所有整數。的個數是3個.

故選擇:C.

【點撥】本題考查有條件限定的一元方程的整數解問題，掌握方程整數解的求法,關鍵是

9

方程變形為“轉化為9的約數來解是解題關鍵.

a-3

7.D

解:因為方程|5x-4|+a=0無解，所以”＞0,因為|4x-3|+6=0有兩個解，所以X0,因為

|3x—2|+c=0只有一個解，所以c=0,則|。一4+,一耳一心一耳=。一匕一3一力=0,故選D.

【點撥】本題主要考查含絕對值方程的解和絕對值的化簡，解決本題的關鍵是要熟練掌

握絕對值的意義.

8.A

X—11—x

解:試題分析:根據絕對值的性質可得:弓2=°且寸=°，解得:X=1.

考點：(1)絕對值的性質;(2)解一元一次方程

9.C

【分析】根據x的取值范圍把0、0〈爛4、x＞4三種情況進行討論，根據絕對值的意義

進行化筒即可.

解:當爛0時，由|x|+|x-4|=8可得:-x+4-x=8,解得:4-2;

當0＜爛4時，由|x|+|x-4|=8可得:x+4-x=8,解得:x無解;

當x＞4時，由國+|x-4]=8可得:x+x-4=8,解得:k6;

所以x=-2或6,

故選:C

【點撥】本題考查絕對值及解方程，理解絕對值的意義是正確解答的前提,根據絕對值的

意義進行化簡是解決問題的關鍵.

10.C

4224

（分析】分類討論:時，分別解方程求得答案.

3333

解:當北；4時，原方程為:x+：?+x4-1=2,得x=；4,不合題意舍去；

當XV、2時，原方程為:-X-：2+；4-x=2,得x=-:2,不合題意舍去；

當2時4，原方程為:x+：2+；4-x=2,得2=2,說明當2時關4系式

24

x+-+x--=2恒成立，所以滿足條件的整數解x有:0和1.

故選:C.

【點撥】此題考查解一元一次方程,需根據x的范圍將絕對值符合去掉,再解出x的值.

11.3或-1

【分析】根據絕對值的定義確定的值，然后求得x的值即可.

解:|x—1\=2,.'.x—l=±2,/.x=3或-1.

故答案為3或-1.

【點撥】本題考查了絕對值的知識，了解絕對值等于一個正數的數有兩個,它們互為相反

數.

12.3或-1

【分析】將b=\代入I”-加=2,再根據絕對值的意義解方程即可.

解:當b=1時,|a-b\—\a-1|-2,

可得a-1=±2,

解得a—3或-1,

故答案為：3或-1.

【點撥】本題主要考查了絕對值的方程,熟練掌握絕對值的意義和熟練解方程是解答此

題的關鍵.

13.-5或7

【分析】根據絕對值的意義進行化筒求解即可.

解:由題可得:三=±3,

1—r

若三=3,則x=—5,

1—Y

若；—=-3廁x=7,

故答案為：-5或7.

【點撥】本題考查絕對值方程，理解絕對值的意義，分類討論是解題關鍵.

14.x=673

【分析】分xK)和x<0兩種情況，去掉絕對值，再解方程即可.

解:當x>0時，方程化為3x=2019,

解得:x=673;

當x<0時，方程化為x=2019,不符合題意，

故答案為：x=673.

【點撥】本題考查了解一元一次方程和絕對值，解題的關鍵是根據絕對值的性質將方程

變形.

15.±4

【分析】解一元一次方程，準確利用絕對值的性質分類討論即可；

解:當xNO時，宇一—=1.得x=4：

48

當x<o--T—=1,得％=-4?

48

故答案是±4.

【點撥】本題主要考查了求解一元一次方程，準確利用絕對值的性質是解題的關鍵.

16.5或或5

【分析】解此題分兩步:⑴求出|x-2|-3=0的解;(2)把求出的解代入方程a+3=2(x-m),

把未知數轉化成已知數，方程也同時轉化為關于未知系數的方程，解方程即可.

解:卜―4―3=0,

卜-2|=3,

x-2=±3,

解得：工二5或?1.

當％=5時，代入"a+3=2(x一根)得5%+3=2(5-6)，

解得:根=1;

當x=—1時?，代入"優+3=2(x-m)得T?7+3=2(-1-w),

解得:m=-5.

故答案為：5或-1.

【點撥】本題考查了解一元一次方程及絕對值,解題的關鍵是能得出關于〃7的方程.

17.100

【分析】分爛。或x>0兩種情況求出x的值，再代入計算即可求解.

解:①xgO時,-x=x+6,解得x=-3,

20x2+30x+1()=20x(-3)2+30x(-3)+10=180-90+10=100.

②x>0時,x=x+6,方程無解.

故答案為：100.

【點撥】本題考查了絕對值，如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的

取值來確定:①當a是正有理數時聲的絕對值是它本身a;②當a是負有理數時,a的絕對值是

它的相反數-a;③當a是零時,a的絕對值是零.

18.m=-或—

44

［分析】本題須先求出x的值,然后把x的值代入原方程，即可求出m的值.

M：V2|X-2|-1=3,

???|x?2|=2,

x-2=±2,

x=4或x=0,

把x=4代入方程4m—3x=l得：

4m-12=l,

13

把x=0代入方程4m—3x=1得：

4m=l,

1

m=r

.13C1

??m=—或m=—

44

故答案為:13;或;1.

44

【點撥】本題主要考查了含絕對值符號的一元一次方程的解法，在解題時要注意分兩種

情況進行討論.

19.3或

【分析】求出x=±l,把x的值分別代入方程,求出方程的解即可.

解:解|xT|=l得x=0或2,

把x=0代入方程=解得m=3,

把x=2代入方程2,nr+3=,〃-x,得4m+3=m-2,解得m=--1

綜上所述,m=3或-：.

故答案為：3或-g

【點撥】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的應用，解此題的關鍵是得出

關于m的方程.

20.x=±2

【分析】分三種情況去掉絕對值符號:當爛-1時,|x+l|+|2x-l|=-x-l-2x+l=-3x=6;當-l<x

<g時Jx+1|+|2x-1|=x+l-2x+1=-x+2=6;當|<x時,|x+l|+|2x-l|=x+1+2x-1=3x=6;

解:當x<-ltbf,|x+1|+|2x-1|=-x-1-2x+1=-3x=6,

x=-2;

當-1<x<yR't,|x+1|+|2x-1|=x+1-2x+1=-x+2=6,

???x=4(舍)；

當8時,|x+l|+|2x-l|=x+1+2x-l=3x=6,

x=2;

綜上所述,x=±2,

故答案為x=±2.

【點撥】本題考查絕對值與一元一次方程;能夠根據絕對值的意義,分情況去掉絕對值符

號，將方程轉化為一元一次方程是解題的關鍵.

21.噌-5或7

+5r-4-11

【分析】①式子毛2與中+x的值互為相反數就是已知這兩個式子的和是0,就可

64

以得到一個關于x的方程，解方程就可以求出x的值.

②依據絕對值的意義，土3的絕對值是3,從而將原方程可化為三=3或厘=-3,然后解

出x的值.

解:①根據題意得:中2x+25+中x+\1+x=°，

64

去分母得:2(2x+5)+3(x+l1)+12x=0.

去括號得：4x+10+3x+33+12x=0,

移項、合并同類項得：19%=-43,

系數化1得:x=-4"3.

即當"一4"3時，式子2R+5與空+X的值互為相反數.

6

故答案為:一歷.

②解:根據絕對值的意義，將原方程可化為：

1-X__p.1—X_

-=3g!c—=-3,

解得x=-5或x=7.

故答案為：-5或7.

【點撥】本題考查了解一元一次方程，解題的關鍵是正確理解題意,利用相反數與絕對值

的意義建立關系列出方程.

2

22.(l)x=2或x=-§.(2)①方V-1;②b=-1;③6>-1

【分析】(1)利用絕對值的意義得到3x-2=4或3x-2=-4,然后分別解兩個一次方

程；

(2)利用絕對值的意義討論：當ZJ+1<0或6+1=0或b+\>0時確定方程的解的個數，

⑴解:|3x-2|-4=0,

當3x-2"時,原方程可化為:3x-2=4,解得x=2;

2

當3%-2<0時,原方程可化為:3x-2=-4,解得工=-§;

所以原方程的解是x=2或x=-(2.

(2)解:?)|x-2]20,

.,.當b+lVO,BP*<-1時,方程無解；

當6+1=0,即6=-1時,方程只有一個解;

當*+1>0,即〃>-1時,方程有兩個解.

【點撥】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程:解含絕對值符號的一元一次方程要

根據絕對值的性質和絕對值符號內代數式的值分情況討論,即去掉絕對值符號得到一般形式

的一元一次方程，再求解.

23.X——X—-—

24

【分析】利用絕對值的性質，將方程轉化為尸例+1|=4或k|3x+l|=-4,再分情況討論:

當3x+1>0時可得到13x+1|=3x+1;當3x+1V0時可得到|3x+1|=-3x-1,分別求出對應的方程的解

即可.

解:原方程式化為x-|3x+l|=4或六段+1|=-4,

當3x+l>0時，即x>-g

由x-|3x+l|=4得

x-3x-l-4,

.?/=-|?與x>-1不相符，故舍去；

由x-|3x+l|=4得

尸3尸1=-4,

.”=!3■，符合題意；

當3x+lV0時，即x<-

由x-|3x+l|=4得

x+3x+l—M-,

??.工3==與不<-1：不相符，故舍去；

43

由對3x+l|=4得

x+3x+l=-4,

.?/=-1■，符合題意；

4

故原方程的解是工==3或X=-57.

24

【點撥】本題主要考查的是含有絕對值符號的一元一次方程的解法.分類討論是解題

的關鍵.

4

24.x=-

9

【分析】通過絕對值的概念分三種情況，當x43時，當-3]<x<：2時，當x>|2時,分別將

方程化筒求解即可.

解：|3x-2|-|2x+3|=4x-5,

當時，原方程可化為：

2—3x+2x+3=4x—5,

解得:42不合題意,舍去；

當-；3<x<:2時，原方程可化為：

2—3x—2x—3—4x—5,

4

解得：%=§；

2

當時?，原方程可化為：

3x—2—2x—3=4x—5,

解得:產0不合題意,舍去，

4

所以,這方程的解是

y

【點撥】本題主要考查一元一次方程的求解，涉及絕對值的知識，難度一般，通過絕對值

的概念對式子分類討論是解題的關鍵.

75

25.［解決問題］:2+x,-2-x,-5,-l,x=-5或x=-I,［學以致用］:x=§或x=,

【分析】［解決問題］根據題目中的例子及絕對值的意義求解即可得；

［學以致用］考慮兩個絕對值相等，則這兩個數或(代數式)相等或互為相反數，求解即可

得.

解:［解決問題］:言7=2,

根據絕對值的意義，得：

X-1__p,X.

---=2+x或----=-2一%，

22

解這兩個一元一次方程，得x=-5或％=-1,

經檢驗可知,原方程的解為x=-5或1=-1,

故答案為：2+x;—2—x;—51:x=-5或x=—1:

［學以致用］|2x+l|=|5x-6|,

2x+l=5x-6或2x+l=—5x+6.

75

解這兩個一元一次方程，得：x=(或x=］,

75

經檢驗可知,原方程的解為尤=(或x=］.

【點撥】題目主要考查絕對值的意義及解一元一次方程，理解題目中的例題，結合絕對值

的意義是解題關鍵.

26.(1)-1,2x2⑵是,理由見解析;(3)3或-4

【分析】(1)根據實驗數的定義，列式計算即可；

(2)將兩式相減得出a+b=3,根據實驗數的定義判斷即可；

(3)根據實驗數的定義，列出方程,解方程即可.

解:⑴：4+(-1)=3,

.?.4與-1是關于3的實驗數，

V5-2x+(2x-2)=3,

...Zr-2與5—2x是關于3的實驗數.，

故答案為：-l,2x-2

(2)。與6是關于3的實驗數，

理由:+h=2x2-3(x2+x)+5+2x-[3x—(4x+/)+2]

=2x2—3x2~3x+5+2x—(3x—4x—x2+2)

-lx2-3x2—3x+5+2x—3x+4x+/-2

=3

???a與b是關于3的實驗數

(3)：c與d是關于3的實驗數,。=卜+3|-30=卜-2|-1,

|x+3|—3+|x—2|—1=3,即|x+3|+|x—2|=7,

當xN2時,原方程化簡為x+3+x-2=7,解得,x=3;

當一3<x<2時，原方.程化簡為x+3+2—x=7,方程無解；

當x4-3時,原方程化簡為-x-3+2-x=7,解得,x=Y:

?'-x的值為3或一4.

【點撥】本題考查了有理數運算、整式的加減、解方程，解題關鍵是準確理解新定義，熟

練運用整式運算法則和解方程方法進行計算.

27.(1)3或一1,5或一((2)b=_/,a='或4=2力=7或a=_13,"=_8

(3)4,x=2(4)最小值為一9,最大值為23

【分析】(1)根據絕對值的性質及題目中的例題進行化簡求解即可；

(2)根據題意得出。-。=5,然后分三種情況進行討論:①當C是4、B的中點時;②當A是

B、C的中點時;③當8是A、C的中點時;利用數軸上中點的性質可得方程，求解即可；

(3)結合絕對值的意義可得式子表示數軸上一點到3,2,-1的距離，當x在一1與3之間

時,|x-3|+|x+l|的值最小為4,根據式子可得當x=2時，得出數軸上點之間的距離最小值即可;

(4)根據⑶中方法可得|x+l|+|x-2|表示數軸上一點到-1,2的距離，最小值是

3,|丫-2|+'+1|表示數軸上一點到2,-1的距離，最小值是3,|z-3|+|z+l|表示數軸上一點到

3,1的距離，最小值是4,結合題意可得:一1Mx42「1<y<2,Tv