精練2--特殊四邊形中的線段長(zhǎng)、面積等問題

1.菱形ABCD如圖所示，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,若BD=6,菱形ABCD面積等于

24,且點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，則線段0E的長(zhǎng)為（）

【解答】解：???四邊形A8C。是菱形,

：.AC±BD,AO=CO,8O=DO=3,

;BD=6,菱形A8CD面積等于24,

,,24=6><AC(

2

；.AC=8,

：.AO=4,

A￡>=>\/AO2+DO2=V16+9—5,

"/點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AC±BD,

:.OE=1AD=^-,

22

故選：B.

2.如圖，在正方形ABC。中，E,F分別為邊A8與AO上一點(diǎn)，連接CE,BF,交點(diǎn)為G,

且CELB尸，連接。G,若DG=CD,則tan/OGP的值為（)

C.近D.2

4233

【解答】解：如圖，連接OG,作。LLCE于點(diǎn)H,交8c于點(diǎn)，?.?CELBF,

：.DL±CE,

J.DL//BF,

'：DG=CD,DHLCG,

:?CH=GH,/GDL=/CDL,

?,.ZDGF=ZGDL=/CDL,

?CL-CH-i

BLGH

：.CL=BL,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.BC=CD,48=90°,

：.CL=1BC=^CD,

22

tanZDGF=tan/CDL=-A,

CD2

.?.tan/OG尸的值為」，

2

故選:B.

3.如圖，F(xiàn)是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AF,

CF,并延長(zhǎng)C尸交AD于點(diǎn)E.若/AFC=140°,則NOEC的度數(shù)為（）

B.75C.70°

【解答】解：：四邊形ABCD是正方形，：.AB^CB,NABP=

45°,

在AAB尸和△C8F中,

'AB=CB

<NABF=NCBF，

BF=BF

.'.△AB尸絲ZXCB尸（SAS）；

，NAFB=NCFB,

又；/AFC=140°,

：.NCFB=70°,

VZDFC+ZCFB=180°,

AZDFC=180°-NCFB=110°,

；NDEF+NEDF=ZDFC,

：.ZDEC^^DFC-ZEDF=110°-45°=65°,

故選：D.

4.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在對(duì)角線B。上，連接AE,EFLAE于點(diǎn)E,交。C于

點(diǎn)F,連接AF,已知BC=4,DE=3近,則的面積為（）

【解答】解：過E作G”〃AO交AB于G,交DC于H,如圖：

.../A8O=N8Z）C=45°,AB=CD=BC^4,

:ZGE、△￡)〃￡是等腰直角三角形，BD=?BC=4?,

:.EH=d2-DE=+L義3?=3,BE=BD-OE=4&-3&=&,

22

BG=GE=^-BE=1,

2

：.AG=AB-BG=3=EH,

^￡=：VAG2-KJE2=V32+l2='

VAE±EF,

AZAEG=900-NFEH=NEFH,

又/AGE=/EHF=90°,

：./\AGE^/\EHF(44S),

：.AE=EF=yflQ,

ZXAE尸的面積為1日后尸=上XXJTU=5,

22

故選：B.

5.如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為4愿，NA8C和NACB的角平分線相交于點(diǎn)O,將AOBC

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△OBiCi.B\C\交BC于點(diǎn)D,B\C\交AC于點(diǎn)E,則DE

【解答】解：如圖所示.

&..?將△OBC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△081。,

；./l=N2=30°,

??,點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為4愿的等邊△A8C的內(nèi)心,

AZOBC=ZB\=Z3=30°,03=4,

AZ1=Z3,/2=NB\,

：.0C\//BC90B//C\D,

???OB=OB\=OC=OC\,

???四邊形OBDG是菱形，

:?BD=OB=4,

???C0=4愿-4,

VZACB=60°，ZEDC=ZOBC=30°,

；?NDEC=90°,

EDV3

cosZ￡DC=cos30°==

CD

.?.0￡=返0)=亞(4A/3-4)

=6-2萬

22

故選：B.

6.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是8C、AB上的點(diǎn)，連接力E、

DF、EF,滿足NDEF=NDEC.若A尸=1,則E尸的長(zhǎng)為（）

【解答】解：如圖，在EF上截取EG=EC,連接。G,

:四邊形ABCD是正方形，

'CE=GE

-ZDEC=ZDEG-

ED=ED

：./\DCE^/\DGE(SAS),

AZDG￡=ZC=90°,DG=DC,

:乙4=/C=90°,AB=BC=4,

：.ZDGF=ZA=90°,DG=DA,

在RtADAF和RtADGF中，

[DF=DF,

1DA=DG'

/.RtADAF^RtAOGF(HL),

：.AF=GF=\,

■：EG=EC,

：.BE=BC-EC=4-EG,EF=EG+FG=EG+\,BF=AB-4F=4-1=3,

在中，根據(jù)勾股定理，得

BEr+BF1=EF1,：.(4-EG)2+32=(￡G+1)2,

解得EG=2A,

/.￡F=￡G+FG=2.4+1=3.4.

的長(zhǎng)為3.4.

故選：B.

7.如圖，在正方形ABCD中，將邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BC,連接CC,DC,若/

CC,D=90°,CD=2,則線段BC的長(zhǎng)度為()

D.275

【解答】解：過點(diǎn)8作BELCC于點(diǎn)E,

A\D

BC四邊形ABCD是正方形，

:.BC=CD,NBCD=90°,

：.ZBCE+ZCCD=90°,

VZBCE+ZCHE=90°,

：.ZCCD=ZCBE,

又,：NBEC=NCCD,

.?.△BCE絲△COC(AAS),

：.CE=CD,

,將邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BC,

：.BC=BC,

又；.CE=CE=CD=2,

：.CC=4,

:?CD=寸cb2c口2=V42+22=2收，

:.BC=2炳.

故選：D.

8.如圖，在正方形A8C￡＞中，BD=BE,CE//BD,BE交CD于■F點(diǎn)"則/。尸E的度數(shù)為

D.90°

【解答】解：把a(bǔ)BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAG,連接OG、AC.AG；如圖所示:

則/3AG=NBCE,BG=BE,NGBE=90°,

?；四邊形ABC。是正方形，

:.NBCD=90°,ZBAC=ZDAC=ZBDC=45°,AB=AD,

'：CE//BD,

：.ZDCE=ZBDC=45°,

：.ZBCE=9Q°+45°=135°,

，/BAG=135°,

.../BAG=135°,

：.ZBAG+ZBAC=}350+45°=180°,

...點(diǎn)C、A、G三點(diǎn)共線，

.../ZMG=180°-45°=135°,

NBAG=ZDAG,

在△BAG和△D4G中，

fAB=AD

<ZBAG=ZDAG，

AG=AG

/.△BAG^ADAG(SAS),：.BG=DG,

,:BD=BE,

:.BG=DG=BE,

即△BOG是等邊三角形，

ZG?D=60°,

；.NDBE=90°-60°=30°,

：.NDFE=NDBE+NBDC=°+45°=75°.

故選：C.

C9.如圖，點(diǎn)E在正方形48co的邊C。上，將△AOE繞點(diǎn)4

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AB尸的位置，連接E凡過點(diǎn)A作E尸的垂線，垂足為點(diǎn)H,與BC

交于點(diǎn)G.若8G=3,CG=2,則CE的長(zhǎng)為（）

BC.4D.9

-f2

【解答】解：如圖所示，連接EG,

由旋轉(zhuǎn)可得，ZVIOE絲AABF,

：.AE=AF,DE=BF,

又「AGLEF,

...H為E尸的中點(diǎn)，.二AG垂直平分EF,

：.EG=FG,

設(shè)CE=x,Ml]DE=5-x=BF,FG=S-x,

：.EG=S-x,

'：ZC-90°,

.?.RtZXCEG中，CE1+CG1=EG1,即7+22=(8-x)2,

解得x=Jl,

4

；.CE的長(zhǎng)為工，

4

故選:B.

10.如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,OF垂直平分OC,交AC于點(diǎn)

E,交BC于點(diǎn)F,連接AF,若AD=3,則AF的長(zhǎng)為（）

C.272D.3

【解答】解：：四邊形ABCO是矩形,

：.BC=AD=3,OA=OB=OC=OD,

垂直平分OC,

：.OD=OC,

是等邊三角形，

設(shè)C￡>=x,貝ijAC=2x,

在Rtz^ACZ)中，由勾股定理得可知：AD2+CD2=AC2,即32+7=(2x)2,

解得x=禽，

/.CD=V3,AC=2A/3,

?,AB=V^,

：△08是等邊三角形，DFVOC,

AZCDE=yZCDO=30°，

設(shè)CF=y,則DF=2y,在RtACDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2=DF2,即

y2+(V3)2=(2y)2>

解得y=1，

CF=1,BF=2,

222222,

在RtAABP中，由勾股定理可知：AB+BF=AFfHP)+2=AF

???AF=V7，

故選：B.

11.如圖，在RtZ\ABC中，AB=CB,BE±AC,把△ABC折疊，使AB落在AC上，點(diǎn)B

與AC上的點(diǎn)尸重合，展開后，折痕AD交BE于點(diǎn)G,連接GF、BF,8尸交4。于0

點(diǎn).下列結(jié)論：①tanNAZ)8=2；②若將△DGF沿GF折疊，則點(diǎn)。一定落在AC上；

③圖中有7個(gè)等腰三角形；④若SMDO=1，則SAABC=6&+8；⑤S四邊彩GDFE=SAAEG，

上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()

B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【解答】解：①由折疊可得BO=OP,而。C>QF,

：.DC>BD,

.?.tan/AOBW2,故①錯(cuò)誤；

②；A8=C8,BELAC,把△ABC折疊，

；.NABE=NCBE=45°,NGBD=NGFD,

：.ZAFG=ZGFD=45°,

若將△QG尸沿GF折疊，則點(diǎn)。一定落在AC上，故②正確；

③；把a(bǔ)ABC折疊，使落在AC上，點(diǎn)B與AC上的點(diǎn)F重合，

A^ABG^/\AFGF,A^BD^AAFD,AGBD^AGFD,△GBO%/XGFO,△DFO安

△080,

,：BEVAC,

；./AEB=NCEB=90°,

在RtAAEB和RtACEB中，1AB=BC,

lBE=BE

ARtAAOB^RtACOB(HL),

；./ABE=NCBE=45°,

VZBAC=ZC=45°,AB=AF,

：.ZABF=ZAFB=61.5°,

.../G8D=22.5°,

，/￡)B0=22.5°,

：.ZGBO=ZDBO,

:.XGBO/ADBO(ASA),

：.BG=BD,

：.GF=DF,

ARtAGFO^ARtADFO(HL),

.?.△800絲△尸GO,/XBOG^/XFOD,則全等三角形共有10對(duì)，故③錯(cuò)誤；

④過G作于H,則△BHG是等腰直角三角形，

：△800絲△尸GO,ABOG妥AFOD,RtAGFO^ARtADFO,

：.BD=DF=FG=BG,

二四邊形BOFG是菱形，

,**S&BDO=1，

...菱形8。尸G的面積=4,

BD*GH=HGH，GH=4,

??.G”=7^7T，BG=7啦,

VZ￡FG=45°,ZGEF=90°,

EG=J2FG=^M1，

2

BE=BG+EG=\I4\/2+V272，

...S^BC=2AC?BE=BE2=(V4V2+V2V2)2=6亞+8,故④正確;

2

⑤連接CF,

,：AAEG和ACEG等底同高，

:&AEG=S&CEG，'：ZAFG=ZACD=45°,

：.EF//CD,

:,S&FGD=S&FGC，

?■S/邊形DGEFS&CGE,

??S四邊彩DGEFS&4EG，

故⑤正確.

故選：B.

12.如圖，在矩形ABC￡>中，N4BZ)=60°,80=16,連接80,將

△BCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃。(0°<“<90°),得到△&CD,連接88',CC,

延長(zhǎng)CC'交BB'于點(diǎn)N,連接AB',當(dāng)NBAB'=/BNC時(shí)，則△ABB'的面積為

)

B?/

4

【解答】解：過點(diǎn)。作OEJ_AB',交B'A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖,

E/

在矩形ABCD中,

VZABD=60°,BD=16,

：.AD=BC=BD^sinZABD=16X近二8后

2

由旋轉(zhuǎn)可知：DC=DCr,DB=DB',ZCDC'=ZBDB,,

?CD=BD,

,,UD=B，D'

：./\CDC'S^BDB'.

；.NDCC'=NDBB'.

：.ZBNC=ZCDB.

■:NCDB=NABD,NBNC=NBAB',NAB￡>=60°,

J.ZBAB'=60°.

VZBAD=90°,

：.ZEAD=\S0°-ZBAB'-ZBAD=30°.

.?.￡)￡■=?^皿=4加，

AE=AD'cosZEAD=S-/3X〃=12.

2

'B1￡=7B?D2-DE2=4，^3?

=B'E-AE=4A/73-12.

■:/BAB'=ZABD=60°,

：.AB'//BD.

.?.△ABB'中A8'邊上的高等于OE.

y

-SAABB/=fxABXDE

="lx(4^/13-12)X4-73

2

-8739-24M.

故選：C.

13.如圖，在矩形ABC。中，E,F分別是邊AB,CD上的點(diǎn)，AE=CF,連接EF,BF,

EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O,且NBEF=2NBAC,FC=2,則AB的長(zhǎng)為()

A.8aB.8C.473D.6

【解答】解：如圖，連接BO,

；四邊形A8C。是矩形，

J.DC//AB,NDCB=90°

：.ZFCO^ZEAO,

在△AOE和△COf1中，

，ZA0E=ZF0C

<ZFC0=ZEA0-

AE=CF

zMOE絲△COF,

：.OE=OF,O4=OC,

,:BF=BE,

：.BO±EF,NBOF=90°,

NFEB=2NCAB=NCAB+NAOE,

:.NEAO=NEOA,

：.EA=E0=0F=FC=2,

在RT/\BFO和RT/XBFC中，

[BF=BF,

IFO=FC'

：.RT/\BFO^RT/\BFC,

：.BO=BC,

在RTzMBC中，'：AO=OC,

：.BO=AO=OC=BC,

...△BOC是等邊三角形，

AZBCO=60°,N&4C=30°,

AZFEB=2ZCAB=60°,,：BE=BF,

.?.△BEE是等邊三角形，

：.EB=EF=4,：.AB=AE+EB=2+4=6.

故選：D.

AEB14.如圖所示，正方形A8CQ中，A8=4,點(diǎn)E為中點(diǎn)，BF

LAE于點(diǎn)G,交CD邊于點(diǎn)F,連接DG,則DG長(zhǎng)為（）

0

BECA.區(qū)后B.4C.JAD.”后

555

【解答】解：如圖，作。LLAE于點(diǎn)”，交A8于點(diǎn)3

"JBF1.AE,

J.DL//BF,

?；四邊形ABC3是正方形，

J.AB//CD,AB=BC=CD,NABE=NC=90°,

C.BL//DF,

四邊形BFZ比是平行四邊形，

VZAGB=90°,

ZBAE=900-NABG=NCBF,

在△ABE和△8CF中，

，ZBAE=ZCBF

<AB=BC，

ZABE=ZC

.二△ABE絲△BCF(ASA),

：.BE=CF,

,/E為8c中點(diǎn)，r.BE=CF=LC=1CD,

22

：.DF=CF^1CD,

2

BL=DF=1CD^1AB,

22

：.AL=BL=^AB,

2

?AH-AL-1

GHBL

:?AH=GH,

???D4=A3=4,

：.DG=DA=4,

故選：B.

15.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=38C,分別以AC、

BC為邊在線段48的同側(cè)作正方形ACOE和正方形8C戶G,連接EC、EG,則sin/CEG

=()

B.1：C.1：3

【解答】解：如圖，連接CG,

在正方形ACDE、BCFG中,ZECA=ZGCB=45°,

AZECG=90°,

???AC=33C,

?,?設(shè)AC=3〃，BC=a,

:.CE=9CG=yf^a,

?*?￡G=VCE2-HSG2=2^6/,

.，.sin/CEG=鋁="a^/IQ.

EG2V5a10

故選:B.

16.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,P為CD的中點(diǎn)，連接AP,過點(diǎn)8作BEJ_AP于點(diǎn)E,

延長(zhǎng)CE交4。于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作C”_LBE于點(diǎn)G,交4B于點(diǎn)，，連接”F,則cos/CEP

的值為（）

【解答】解：連接EH.

cB

:四邊形ABC。是正方形,

：.CD=AB=BC=AD=2,CD//AB,

：BE_LAP,CG1.BE,

J.CH//PA,

?.?尸為CO的中點(diǎn)，

:.AH=BH=1：.AH=PC=PD=1,

:.AH=BH=LCB,

2

在RtZSABE中，

,;AH=HB,

：.EH=HB,

:HCLBE,

：.BG=EG,

：.CB=CE=2,

"：CH=CH,CB=CE,HB=HE,

:.ACBH必CEH(SSS),

:"HCE=/HCB,

=22

BWVCB+BH=722+l2=A/5，

'：PA//CH,

ZCEP=NECH=ZBCH,

；.cosNCEP=cos/BCH=坨=2遙

CH5

故選：D.

17.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E、F分別是BC,CD上的一動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,連結(jié)

AE,BF,兩線交于點(diǎn)P,連接CP,則CP的最小值是（)

2V5-2B.3V2-2c.2V2

D.V2+2

【解答】解：在正方形ABC。中，AB=BC,NABC=NBCD,

在△4BE和△BCF中，

'AB=BC

<NABC=NBCD，

BE=CF

:.△ABEW2BCF(SAS),

:2BAE=NCBF,：NCBF+/AB尸=90°,

NBAE+NAB尸=90°