廣東省深圳市2016-2017學年高一上學期期末數學試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題分，共60.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1．集合A={x∈N+

|﹣1＜x＜，B={x|x2

≤4}，則A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若m∥α，α∩β=n，則m∥nB．若m∥α，m⊥n，則n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則mnD．若m?α，n?β，α⊥β，則m⊥n3．若三條直線ax+y+1=0，，x+y=4，交于一點，則a的值為（）A．4B．﹣4C．D．﹣4．在空間直角坐標系O﹣中，若O（0，0，0（0，2，0（2，0，0（2，2，2二面角C﹣OA﹣B的大小為（）A．30°

B．45°C．60°D．90°5．已知傾斜角60°為的直線l平分圓：x2+y2+2x+4y﹣4=0，則直線l的方程為（）A．x﹣y++2=0B．x+y++2=0C．x﹣y+﹣2=0D．x﹣y﹣+2=06．已知函數f（）=，（log

3

（2（（）A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．a＞b＞c7．如果實數x，y滿足（x2）2

+y2

=2，則的范圍是（）A﹣1，1）B．[﹣1，1]

C﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D∞，﹣1]∪[1，+∞）8．已知函數f（x）=

（a∈A若f（x）在區間（0，1]上是減函數，則集合A可以是（）A﹣∞，0）B．[1，2）C1，5]D．[4，6]9．圓柱被一個平面截去一部分后與一個四棱錐組成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A．4π+8B．8π+16C．16π+16D．16π+4810．由面圍成的幾何體，每個面都是正三角形，并且有四個頂點A，B，C，D同一平面上，ABCD是邊長為15的正方形，則該幾何體的外接球的體積為（）A．1125

π

B．3375

π

C．450π

D．900π11．設函（x）是定義R上的函數，滿（x=f（4﹣x且對任xx∈（0+∞12都（﹣x（x+2x+2]＞則滿足2﹣x（1212A．﹣3B．﹣5C．﹣8D．8

的所有x的和（）12．已知點P（，t﹣1∈R，E是圓x2

+y

=上的動點，點F是圓（x﹣）

+（y+1）

=上的動點，則|PF|﹣|PE|的最大值為（）A．2

B．C．3D．4二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．滿足42x﹣1

＞（）﹣x﹣4

的實數x的取值范圍為．14．已知直線l：ax+4y﹣，l：x+ay﹣=0，若l∥l，則實數a=．121215．若函數f（）==．16．方程

，則f（﹣）（﹣）（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）（）=ax+a由兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍為．三、解答題：本大題共6小題，共分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17．在平面直角坐標系中，△三個頂點分別為A（2，4（1，﹣3（﹣2，1

（1）求BC邊上的高所在的直線方程；（2）設AC中點為D，求△的面積．18．已知函數f（x）=（1）求f（x）的定義域A

+．（2）若函數g（x）=x2

+ax+b的零點為﹣1.5，當x∈A時，求函數g（x）的值域．19．在直三棱柱ABC﹣AB，D，E分別是BC，AB中點．11111（1）求證：DE∥平面ACC；11（2）設M為AB上一點，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣ABC所有棱長均相等，求直線DE111與直線AM所成角的正切值．120．已知f（x）=3x

+m?3﹣x

為奇函數．（1）求函數g（x）=f（x﹣的零點；（2）若對任意t∈R的都有f（t2

+a2

﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求實數的取值范圍．21．在四棱錐P﹣ABCD中，△為三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC與平面

ABCD所成角為45°（1）若E為PC的中點，求證：⊥平面ABE；（2）若CD=，求點B到平面的距離．22．已知圓心在直線x+y﹣1=0上且過點A（2，）的圓C與直線3x﹣相切，其半徑小1于5．（1）若C與圓C于直線x﹣y=0對稱，求圓方程；212（2）過直線﹣6上一點P作圓C切線PCPD，切點為C，D，當四邊形PCCD面積最小22時，求直線CD的方程．

廣東省深圳市2016-2017學年高一上學期期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題分，共60.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1．集合A={x∈N+

|﹣1＜x＜，B={x|x2

≤4}，則A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考點】交集及其運算．【分析】化簡集合A、B，根據交集的定義寫出運算結果即可．【解答】解：集合A={x∈+

|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={x|x2

≤4}={x|﹣2≤x≤2}，則A∩B={0，1，2}．故選：A．2．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若m∥α，α∩β=n，則m∥nB．若m∥α，m⊥n，則n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則mnD．若m?α，n?β，α⊥β，則m⊥n【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．【解答】解：若m∥α，α∩β=n，則m與n平行或異面，故A錯誤；若m∥α，m⊥n，則n與α關系不確定，故B錯誤；根據線面垂直的性質定理，可得C正確；若m?α，n?β，α⊥β，則m與n關系不確定，故D錯誤．故選C．3．若三條直線ax+y+1=0，，x+y=4，交于一點，則a的值為（）A．4B．﹣4C．D．﹣【考點】兩條直線的交點坐標．【分析】聯立y=3x，x+y=4，解得（，y由于三條直線ax+y+1=0，y=3x，x+y=4交于一

點，把點代入ax+y+1=0，即可解得a的值．【解答】解：聯立y=3x，，，解得，∵三條直線ax+y+1=0，y=3xx+y=4相交于一點，∴把點（1，3）代入ax+y+1=0可得a+3+1=0，解得a=﹣4．故選：B．4．在空間直角坐標系O﹣中，若O（0，0，0（0，2，0（2，0，0（2，2，2二面角C﹣OA﹣B的大小為（）A．30°

B．45°C．60°D．90°【考點】二面角的平面角及求法．【分析】設在平面上的射影為D，則可得OA⊥平面，故∠為所求二面角的平面角．【解答】解：設C在平面上的射影為D（2，2，0接AD，CD，BD，則CD=2，AD=OA=2，四邊形是正方形，∴OA⊥平面ACD，∴∠CAD為二面角C﹣OA﹣的平面角，∵tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．故選C．

5．已知傾斜角60°為的直線l平分圓：x2

+y2

+2x+4y﹣4=0，則直線l的方程為（）A．x﹣y++2=0B．x+y++2=0C．x﹣y+﹣2=0D．x﹣y﹣+2=0【考點】直線與圓的位置關系．【分析】傾斜角60°的直線方程，設為x+b，利用直線平分圓的方程，求出結果即可．【解答】解：傾斜角60°的直線方程，設為

x+b．圓：x2+y2+2x+4y﹣4=0化為（）2

+（y+2）2

=9，圓心坐標（﹣1，﹣2因為直線平分圓，圓心在直線

x+b上，所以﹣2=﹣+b，解得b=﹣2，故所求直線方程為故選C．

x﹣y+﹣2=0．6．已知函數f（）=，（log

3

（2（（）A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．a＞b＞c【考點】分段函數的應用．【分析由分段函數運用對數函數的單調性求出a＞1運用指數函數的單調性判斷＜c＜b＜1，進而得到a，b，c的大小．【解答】解：函數f（x），則a=f（log3

）=1﹣log

3

=1+log2＞1，3b=f（2c=f（3

）=f（）=2

）=2∈（0，1∈（0，1由y=2x

在R上遞增，﹣＜﹣，可得2＜2，則c＜b＜a，故選：D．7．如果實數x，y滿足（x2）2

+y2

=2，則的范圍是（）A﹣1，1）B．[﹣1，1]C∞，﹣1）∪（1，+∞）D∞，﹣∪[1，+∞）

【考點】直線與圓的位置關系．【分析】設=k，求的范圍就等價于求同時經過原點和圓上的點的直線中斜率的范圍，由數形結合法，易得答案．【解答】解：設=k，則y=kx示經過原點的直線，k為直線的斜率．所以求的范圍就等價于求同時經過原點和圓上的點的直線中斜率的范圍．從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且與圓相切，此時的斜率就是其傾斜角∠的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得OE|=，于是可得到k=1，即為的最大值．同理，的最小值為﹣1，故選B．8．已知函數f（x）=（）

（a∈A若f（x）在區間（0，1]上是減函數，則集合A可以是A﹣∞，0）B．[1，2）C1，5]

D．[4，6]【考點】函數單調性的性質．【分析】根（x）在區間0，1]上是減函數，a進行討論，依次考查各選項即可得結論．【解答】解：由題意，f（）在區間（0，1]上是減函數．函數f（x）=當a=0時，函數f（x）不存在單調性性，故排除C．

（a∈A當a＜0時，函數上是減函數，故A對．當1≤a＜2時，函數

在（，上是增函數，而分母是負數，可f（x）在區間（0，1]在（，上是減函數，而分母是負數，可得f（）在區間（0，1]上是增函數，故B不對．

當4≤a≤6時，函數y=

在（0，1]上可能沒有意義．故D不對．故選A．9．圓柱被一個平面截去一部分后與一個四棱錐組成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．4π+8B．8π+16C．16π+16D．16π+48【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析由已知中的三視圖可得該幾何體是一個半圓柱與四棱錐的組合體分別計算體積可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個半圓柱與四棱錐的組合體，半圓柱的底面半徑為2，高為4，故體積為：=8π，四棱錐的底面面積為：4×，高為3，故體積為：16，故組合體的體積V=8π+16故選：B10．由面圍成的幾何體，每個面都是正三角形，并且有四個頂點A，B，C，D同一平面上，ABCD是邊長為15的正方形，則該幾何體的外接球的體積為（）A．1125

π

B．3375

π

C．450π

D．900π【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】該幾何體是一個正八面體，假設另兩個頂點為E，F，ABCD是正方形，邊長為15，從而求出該幾何體的外接球的半徑，由此能求出該幾何體的外接球的體積．【解答】解：該幾何體的直觀圖如圖所示，這個是一個正八面體，假設另兩個頂點為E，F，

ABCD是正方形，邊長為15∴BO==，EO=

=，∴該幾何體的外接球的半徑∴該幾何體的外接球的體積：

，V=故選：A．

=1125．11．設函（x）是定義R上的函數，滿（x=f（4﹣x且對任xx∈（0+∞12都（﹣x（x+2x+2]＞則滿足2﹣x（1212A．﹣3B．﹣5C．﹣8D．8【考點】根的存在性及根的個數判斷．

的所有x的和（）【分析】確定f（）在（2，+∞）上遞增，函數關x=2對稱，利用f（﹣x）（

可得2﹣x=

，或2﹣x+

=4，即x

+5x+3=0或x2

+3x﹣3=0，利用韋達定理，即可得出結論．【解答】解：∵對任意x，x∈（0，+∞都有（x﹣x）[f（x+2）﹣f（+2）]＞0，121212∴f（x）在（2，+∞）上遞增，又∵f（x）=f（4﹣x∴f（2﹣x）=f（2+x即函數關于x=2對稱，∵f（2﹣x）=f（

∴2﹣x=

，或2﹣x+

=4，

∴x2

+5x+3=0或x2

+3x﹣3=0，∴滿足f（2﹣x）=f（故選C．

）的所有x的和為﹣8，12．已知點P（，t﹣1∈R，E是圓x2

+y

=上的動點，點F是圓（x﹣）

+（y+1）

=上的動點，則|PF|﹣|PE|的最大值為（）A．2B．C．3D．4【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【分析】由題意P在直線y=x1上運動（00）關于直線的對稱點的坐標（1，1由此可得|PF|﹣|PE|的最大值．【解答】解：由題意，P在直線﹣1上運動，E（0，0）關于直線的對稱點的坐標為（1，﹣1∵F（3，﹣1∴|PF|﹣|PE|的最大值為|AF|=4故選D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．滿足42x﹣1

＞（）﹣x﹣4

的實數x的取值范圍為（2，+∞）．【考點】指、對數不等式的解法．【分析】根據指數函數的定義和性質，把不等式化為（2x﹣1）＞x+4，求出解集即可．【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4

可化為22（2x﹣1）＞2x+4

，即2（2x﹣1）＞x+4，解得x＞2，所以實數x的取值范圍是（2，+∞故選，+∞

14．已知直線l：ax+4y﹣，l：x+ay﹣=0，若l∥l，則實數a=﹣2．1212【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系．【分析】利用直線平行的性質求解．【解答】解：∵直線l：ax+4y1=0，l：x+ay﹣=0，12∴，解得a=﹣2（a=2時，兩條直線重合，舍去故答案為：﹣2．15．若函數f（）=

，則f（﹣）（﹣）（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）（）=7．【考點】函數的值．【分析】先求出f（x+f﹣x）=2，由此能求出f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）的值．【解答】解：∵函數f（x=，∴f（x）+f（﹣x）=+=+=2，∴f（﹣）+f（﹣）+f（﹣）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=2×3+=7．故答案為：7．16．方程=ax+a兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍為[0，）．【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】設（x）=，如圖所示，表示以（2，0）為圓心，1為半徑的半圓，由圓

心（2，0）到y=ax+a的距離【解答】解：設f（x）=由圓心（2，0）到y=ax+a距離

=1，可得a=，結合圖象可得結論．，如圖所示，表示以（2，0）為圓心，為半徑的半圓，=1，可得a=

，∵方程

=ax+a有兩個不相等的實數根，∴實數a的取值范圍為[0，故答案為[0，

三、解答題：本大題共6小題，共分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17．在平面直角坐標系中，△三個頂點分別為A（2，4（1，﹣3（﹣2，1（1）求BC邊上的高所在的直線方程；（2）設AC中點為D，求△的面積．【考點】點到直線的距離公式．【分析k=﹣可得邊上的高所在的直線的斜率為．利用點斜式可BC邊上的高BC所在的直線方程．（2邊所在的直線方程為﹣（x﹣14x+3y+5=0得AC的中點D

用點D到直線BC的距離d又|BC|，可得S

△DBC

=

．【解答】解）k=BC

=﹣，∴BC邊上的高所在的直線的斜率為．

則BC邊上的高所在的直線方程為：y﹣4=（x﹣2化為：3x﹣4y+10=0．（2）BC邊所在的直線方程為：﹣（x﹣1為：4x+3y+5=0．∵D是AC的中點，∴D

．點D到直線BC的距離d=

=．又|BC|=

=5，∴S

=△DBC

=

=．18．已知函數f（x）=（1）求f（x）的定義域A

+．（2）若函數g（x）=x2

+ax+b的零點為﹣1.5，當x∈A時，求函數g（x）的值域．【考點】二次函數的性質；函數的定義域及其求法；函數零點的判定定理．【分析）利用函數有意義，列出不等式組求解即可．（2）利用函數的零點求出，通過函數的對稱軸，求解函數的值域即可．【解答】解）要使函數有意義，必須：

，解得1≤x≤3，函數的定義域為：[1，3]．（2）函數g（x）=x2+ax+b零點為﹣1，5，可得a=﹣（﹣1+5）=﹣4，b=1×5=﹣5，g（x）=x

﹣4x﹣5=（﹣2）

﹣9，當x∈A時，即x∈，3]，x=2函數取得最小值：y=﹣，x=1或3時，函數取得最大值：﹣8．函數g（x）的值域[﹣9，﹣．19．在直三棱柱ABC﹣AB，D，E分別是BC，AB中點．11111（1）求證：DE∥平面ACC；11（2）設M為AB上一點，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣ABC所有棱長均相等，求直線DE111與直線AM所成角的正切值．1

【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析AB中點N連EN，DN，DN∥AC，從DN∥平面ACCA，再求EN∥平面11ACCA，從而平面DEN∥平面A，由此能證明DE∥平面ACCA．111111（2）作DP⊥ABP，推導出∠DEP是直線DE與直線M所角，由此能求出直線與直線1AM所成角的正切值．1【解答】證明取AB點N，連結EN，DN，∵在△ABC中，N為AB中點，D為BC中點，∴DN∥AC，∵DN平面ACCA，AC11

平面A，11∴DN∥平面ACCA，11∵在矩形ABBA，N為AB中點，E為B點，1111∴EN∥平面ACCA，11又DN平面DEN，EN

平面，DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面A，11∵DE平面DEN，∴DE∥平面ACCA．11解作DP⊥AB于P，∵直三棱柱ABC﹣ABC所有棱長均相等，為BC的中點，111∴DP⊥平面ABBA所有棱長相等，D為的中點，11∴DP⊥平面ABBA，且PB=AB，又AM=AB，11∴MP=AB，∵AE=EP，AM=EP，11∴∠DEP是直線DE與直線M所成角，1∴由DP⊥平面ABBA，EP11

平面ABBA，得DP⊥EP，11設直線三棱柱ABC﹣ABC棱長為a，111則在eq\o\ac(△,Rt)DPE中，DP=

，EP=AM=a，1

∴tan∠DEP==．∴直線DE與直線AM所成角的正切值為1

．20．已知f（x）=3x

+m?3﹣x

為奇函數．（1）求函數g（x）=f（x﹣的零點；（2）若對任意t∈R的都有f（t2

+a2

﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求實數的取值范圍．【考點】函數恒成立問題．【分析）根據函數的奇偶性得到（0）=0，求出值，從而求出f（）的解析式，令g（x）=0，求出函數的零點即可；（2）根據函數的奇偶性和單調性，問題轉化為2

+2at+a2

﹣a+1≥0對任意∈R成立，根據二次函數的性質求出a的范圍即可．【解答】解）∵f（x）是奇函數，∴f（0）=0解得：m=﹣1，∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（）=0，即3x﹣3﹣x﹣=0令t=3x

，則t﹣﹣=0，即3t2

﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣，∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，∴函數g（x）的零點是1；（2）∵對任意t∈R的都有f（t2

+a2

﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at對任意t∈R恒成立，∵f（x）在R是奇函數也是增函數，∴f（t2

+a2

﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）對任意t∈R恒成立，即t2

+a2

﹣a≥﹣1﹣2at對任意t∈R恒成立，即t2

+2at+a2

﹣a+1≥0對任意t∈R恒成立，∴△=（2a）2

﹣4（a2

﹣a+1）≤0，

∴a≤1，實數a的范圍是（﹣∞，．21．在四棱錐P﹣ABCD中，△為三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC與平面ABCD所成角為45°（1）若E為PC的中點，求證：⊥平面ABE；（2）若CD=，求點B到平面的距離．【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的判定．【分析）利用線面垂直判定與性質定理可CD⊥平面PACCD⊥AE．利用等腰三角形的性質與線面垂直的判定定理可得AE⊥平面PCD可得AE⊥PD利用面面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理可得ABPD，進而證明結論．（2）設點B的平面PCD的距離為d，利用V

B﹣PCD

=V

P﹣BCD

即可得出．【解答）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．∵PC與平面ABCD所成角為∴AC=PA，∵E是PC的中點，∴AE⊥，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而