第三章

模型試驗理論與技術§3.1概述原型試驗：在實際建筑物、構筑物或機械設備上進行的試驗；優點：試驗成果直接、真實、可靠；缺點：有些試驗不能做或成本太高。如大型建筑物、構筑物及貴重設備的破壞性試驗，極限性能試驗、優化方案的比較試驗等。模型試驗:將發生在原型中的力學過程，在物理相似的條件下，在經縮小或放大的模型上進行的試驗。需解決的問題：（1）正確的選擇模型的尺寸、材料性質參數及邊界條件、初試條件；（2）對模型試驗得到的參數、結果通過一定的關系換算到原型中去。某大型復雜鋼結構廠房體系的振動臺試驗。以在建的某大型火電廠為原型，通過振動臺試驗和彈性、彈塑性強震計算，對這類結構的薄弱層，空間整體工作性能，支撐作用等進行了系統研究。簡介：對平面尺寸288.4m×274.4m的大型馬鞍型結構進行了1/35結構縮尺試驗。共使用桿件5631根，采用分配梁系統進行加載。試驗驗證了這種結構的空間整體效應對承受開閉式屋蓋的預制預應力結構進行了1:20縮尺模型試驗，探索了這類結構體系的受力特征和破壞模式成都來福士實業有限公司擬建的“成都來福士廣場”工程場地位于成都市一環路與人民南路交界處，規劃建筑總面積約27萬m2，由5棟不等高塔、裙房、以及4層地下室組成。該項目建筑外形較為復雜，通過抗震縫使得地上部分塔樓與中心圍合區域、塔樓相互之間兩兩分開，避免成為大底盤多塔樓結構。各分塔及裙房結構在地下連為一體。各塔樓中，以塔樓3和塔樓4的結構形式最為復雜。塔樓3（簡稱T3）結構總高118.1m，地上主體結構共34層，標準層層高3.1m，平面呈不很規則的斜四邊形，北側逐步收進，東南側先斜向懸挑再收進，南北兩立面空間體型復雜。峽江水利樞紐工程模型試驗項目峽江水利樞紐工程模型試驗項目§3.2

相似理論一、相似的概念⒈

幾何相似兩系統幾何相似：對應邊成比例，對應角相等。幾何尺寸的比例稱為幾何相似常數。如兩三角形相似：對應角相等，對應邊成比例

l

l

l

123

相似常數(相似系數)

l

l

l123

l

l

1

相似定數1

l

l222、物理相似兩系統物理相似：指在幾何相似的系統中，進行著同一性質的物理變化過程，且兩系統中各同名的物理量存在固定的比例常數相似常數。同名物理量指表征同一物理屬性的物理量；同名的物理量存在固定的比例常數：指兩系統中所有向量（矢量）在對應點和對應時刻，方向相同，大小成比例。所有標量在對應點和對應時刻，大小成比例。如果兩系統中，進行的物理過程的數學物理方程結構形式相同，但其過程的物理本質不同稱兩系統為“擬似”。如地基固結和熱擴散。二、

現象相似的條件現象相似的性質：彼此相似的現象具有的性質現象相似的條件：滿足什么條件現象才能相似1、

相似的前提條件(必要條件)單值條件相似(幾何條件、物理條件、初始條件及邊界條件相似)是現象相似的必要條件。①兩系統中發生同類物理現象用同一方程描述。例如：流體在管道中流動；流體流過平板。②

幾何條件相似所有具體現象都發生在幾何形狀的空間內。③

物理條件相似指兩系統所有對應的物理量成比例有相似常數存在。

對應的物理量包括：時間、空間、速度，如

時間相似常數

C12

12

l

ll

C幾l

何相似常數12

ll

l12

ww

w

w()12速度相似常數

速度方向相同

w

wlw12同理，壓力、密度、溫度、濃度等的相似，也有相應的相似常數存在。④

初始條件和邊界條件相似2、

相似的充分條件現舉例兩質點運動的相似來說明，任何質點的運動，其瞬時速度均可用下式表示：d

ldd

ld對質點A

w

w

(1)dd

l

(2)w對質點B

w

C

wCl

C

l由于兩質點運動相似，則有wlC

d

l

代入(2)得Cw

w(3)lC

dClCwCCl要使(1)、(3)等價，必然有(4)Cw

1CCwC相似指標。相似指標為相似常數的特定組合。Cl如果兩個現象的單值條件相似(有相似常數存在)，而且相關的相似常數的特定組合等于1(相似指標等于1)，這兩個物理現象相似（充分條件）。將w、、l

相似關系代入(4)得：

w

ww

lll相似準數(無因次)相似準數：相似物理現象中相關物理量的無因次組合，反映了某一方面的物理本質。相似的充分條件：兩系統中所有的相似準數均相等。簡單現象：一個相似準數；復雜現象；可有多個相似準數。三

、相似定理原型模型相似關系相似第一定理：

對于彼此相似的現象，其相似指標為

1，或者其相似準數為一常量。相似第二定理：表示一現象各物理量之間的關系方程式，都可以轉換成無量綱方程，無量綱方程的各項即是相似判據（）。定理在物理方程相同的情況下，如兩個現象的單值條件相似，則這兩個現象一定相似。相似第三定理：單值條件相似包括：（1）、幾何相似（2）、時間相似（3）、物理參數的相似（4）、初始條件的相似（5）、邊界條件的相似?

單值條件包括：幾何條件、初始條件、邊界條件以及對所研究的現象有重大影響的物理條件等。?

對于常溫靜態彈性應力分析問題，主要考慮的是幾何條件、載荷條件、約束條件和泊松比條件。?

而對運動學和動力學的問題，則還要考慮初始條件和時間條件等。在復雜的模型實驗中，要求單值條件完全相似是有困難的，但應盡量保持相似。1、相似第一定理：對于彼此相似的現象，其相似指標為

1，或者其相似準數為常量。F

ma例1：對于兩個動力學系統，均滿足牛頓第二定律

F

m

a

F

m

a(1)(2)對兩系統分別有

F

C

F

m

C

m

a

C

a令：(3)(4)Fma

C

F

C

m

C

a將(3)代入(2)得FmaC

C

C因為兩系統相似,(1)、(4)兩式等價Fm

aCFCmCaCi

1稱為相似指標再將(3)代入相似指標得

FFF或

常數

稱為相似準數

m

a

m

ama例1、單由度系統的受迫振動問題相似理論如圖所示的單自由度系統，其質量塊f(t)m在外力f(t)作用下的運動方程為：myd

2

y

dydt2

dtm

k

y

f

(t)(1)ck其中:η為粘性阻尼系數;k為彈簧系數;f(t)d2yf(t)

為激振力;y:振動位移.mdt2k

ydydt2d

y

dyppk

y

f

(t)

mppp

ppdtp2(2)(3)dtp對原型：對模型：d

2

ymdtm2dymdtmmm

k

y

f

(t)mm

mm取下列比例常數：Bm

m

pyypp;

B

y

;

B

f

;

B

;mmmmkkfftt(4)(5)Bk

;Bt

pppmmm代入原型方程（2）并整理得：B

BB

ByB

B

dtBk

Byd2ydymk

y

f

(t)m

y

mmm2mB

fm

mmBt2B

fdtmtfm需要注意處！要使得該方程與模型方程等價，則必有：B

B

B

B

B

B

1m

yyk

yBt2B

B

B

BftffB

B

B

B

B

B相似指標有三個：m

yyk

y;;.B

B

B

B

B2t

ft

ffmy

;yt

fk

y

;

.相似準數也有三個：123t

2

ff例2、地基壓縮固結試驗的相似理論問題Terzaghi單向固結理論?

土是均質、各向同性且飽和的;?

土粒和孔隙水是不可壓縮的，土的壓縮完全由孔隙體積的減小引起;?

土的壓縮和固結僅在豎直方向發生;?

孔隙水的外排符合達西定律，土的固結快慢決定于它的滲透速度;?

在整個固結過程中，土的滲透系數、壓縮系數視為常數;?

地面上作用著連續均布荷載并且是一次施加的;室內固結試驗與壓縮曲線?

用環刀切取扁園柱體，一般高2厘米，直徑應為高度2．5倍，面積為30cm2或50

cm2,試樣連同環刀一起裝入護環內，上下有透水石以便試樣在壓力作用下排水。?

在進水石頂部放一加壓上蓋，所加壓力通過加壓支架作用在上蓋，同時安裝一只百分表用來量測試樣的壓縮。?

由于試樣不可能產生側向變形而只有豎向壓縮。于是，我們把這種條件下的壓縮試驗稱為單向壓縮試驗或側限壓縮試驗。室內固結試驗與壓縮曲線Terzaghi單向固結理論單向固結微分方程

2k

E

ku

uCv

v

sv

C

mw

vv

t

z2w固結系數邊界條件:

u

|

0;(上邊界完全透水)z0uz邊界條件:

|

0;

(底邊界完全隔水)zH初始條件:

u

|

q;(外荷載一次性施加)t0

u

u2對原型

Cvpp

p(1)(2)z

t2p表示原型pp

u

u2Cm

m對模型m表示模型vm

z

t2mmupcvpzptp取比例常數:

;

bb;

;

bb(3)(4)ucztumcvmzmtmv代入原型方程(1)得:

b

b

2u

b

uc

u

Cmumv

vm22mbz

b

t

ztm要使方程(4)與方程(2)等效,必有:b

bb

bbc

t1c

uuvv22bb

bztzctz2相似指標

v相似準數Terzaghi單向固結理論用分離變量法求解微分方程得時間因數最大排水距離，在單面排水條件下為土層厚度，雙面排水條件為土層厚度的一半※邊界條件相似性問題邊界條件:

u

|

0;(上邊界完全透水)p

z

0pupzp對原型對模型邊界條件:|

0;

(底邊界完全隔水)z

Hpp邊界條件:

u

|

0;(上邊界完全透水)m

z

0mumzm邊界條件:|

0;

(底邊界完全隔水)z

Hmmuz:

bu將比例常數代入原型邊界條件

p;

bz

p;uzHmmp;并注意條件:

bzHm容易驗證:原型邊界條件與模型邊界條件完全等效;即滿足邊界條件相似※初始條件相似性問題初始條件:

u

|

q

;(外荷載一次性施加)(外荷載一次性施加)對原型:對模型:p

t

0pp初始條件:

u

|

q

;m

t

0mmuptp將比例常數代入原型初始條件:

b;btuumtmqm并令:bq

;

可得下列方程:qpbqu|

qmm

t

0bum通過與模型初始條件對比可知,

要滿足初始條件相似,必有:b

1qbu※問題討論如果室內試驗所采用的土樣與工程現場土質相同(原狀土樣),則固結系數的比例常數為1,

設工程實際待固結軟土層厚度為20米,

室內固結試驗土樣厚度一般為2cm,

則模型幾何尺寸比例常數為1000,

則時間比例常數根據下式(相似指標)計算得到:b

b2zbc

t

1b

1000000vt2bbcvz即室內試驗進行一分鐘時土樣的固結程度相當于工程現場土層在694天時的固結程度.通過與固結度計算結果的對比?

固結度就是指在某一附加應力下，經某一時間t后，土層發生固結或孔隙水應力消散的程度。對于某一深度z處土層經過時間t后，該點的固結度用下式表示：u

u

uU

0

1zuu00土層平均固結度為:?

對于附加應力為均勻分布的情況Hu0dz

pH0由此可見,相同時間因子時,土層固結程度是相同的.2zbb

1000000tbcv研究和應用:

固結軟土中單樁負摩擦離心機模型試驗研究?

1

工程概況浙江國華寧海發電廠位于浙江省寧波市寧海縣強蛟鎮西北的團結塘海堤東側的灘涂上,擬建電廠建設規模為4×600MW燃煤機組。?

工程地質資料顯示,主廠區地表下有5m至15m厚的淤泥層,其下有粉質粘土層、粉質粘土混礫砂層和凝灰巖層等。設計采用樁基礎,根據電廠總平面布置方案,廠址場地由開山及灘涂回填而成,灘涂最大回填厚度達8m以上。在軟土地基上大面積回填引起固結沉降,其對樁基的負摩阻力的影響必須通過試驗進行研究。本次試驗分為現場樁基負摩阻力試驗和負摩阻力離心機模型試驗兩部分。試驗數量均為2組4根試樁彈性力學的基本方程z

yx

fx

0xzxxyyzzy

平衡方程

zxxyyzy

0xzyxfxyzy

xyxzyz

fz

0xzzyuvywz

,

,

幾何方程物理方程xxyzv

uw

vu

w

,

,

xyyzzxx

yy

zz

x

2G(e

);

2G(e

y

);x1

2xy1

2z

2G(e

z

)1

2

G

,

G

;

G

;xyxyyzyzzxzx如果體力僅考慮重力,

且z軸為豎直向上方向為正,并把物理方程寫成矩陣形式:

zyx

0xzx

x

yyzzy幾何方程形式不變

平衡方程物理方程

xyyzy0zxxzyxxyz

zxyxzyzz

xy

2

212

12

1222

0

0

0

xx

2

22

212

12

120

0

0

yy

GD

z22

220

0

0z

G

1

2

1

2

1

2

0

0

0

1

0

00

0

0

0

10xyxy

yzyz

0

0

0

0

01

xzzxPxyPxPzx

0平衡方程x

y

zPPPPxyPyPyz0

(1)原型x

y

zPPPPyzPxzPz

x

y

zPPPPmxymxmzx

0x

y

zmmmmxymymyz0

(2)模型x

y

zmmmmyzmxzmz

x

y

zmmmm取下列相似常數:

PPPyzPxmxPzmzP應力比例常數:

y

xzxy(3)mymxymyzmxzPyPxyPyzPPzP應變比例常數:

xz(4)(5)(6)(7)xmxmymzmxymyzmxzx

y

z幾何比例常數:L

;;PPPx

y

zmmmu

v

w位移比例常數:u

PPPu

v

wmmm

gg

PP重力比例常數:;(材料密度相同)mgm將(3)、(5)代入原型-平衡方程(1)得:無約束！

mxymxmzx

0x

y

z

Lmmm

mxymym

yz

0(8)

x

y

z

mmmLmyz

mxzmz

x

y

zgmmmmL有約束！1要使其與模型的平衡方程(2)等效,必有:

L

g將(4)\(6)代入原型-幾何方程得:u

uL

xmu

vL

ymu

wmL

zm

m

x,

m

y,

m

zmmv

u

m

xy

mmux

y

mmLv

w

myz

mmuz

y

mmLw

u

m

xz

mmux

z

mmLu

1要使其與模型的幾何方程等效,必有:

L類似地,

將(3)\(4)\(6)代入原型-物理方程得:

m

D

m[D]

m1要使其與模型-物理方程等效,必有:

[D]在離心模型試驗中,為了保證兩者的變形與破壞過程能保持相似。原型與模型為等應力狀態,材料的本構方程必須相同.因此:

1

11[D]uL

111

u1L

g用于模型設計

L

gL用于結果換算土工離心模型試驗中主要物理量的相似關系見表1再根據Terzaghi單向固結問題，需滿足:b

bc

t

1v2zbk

E

k

EC

v

s

v

sv

gww3

離心模型試驗31

試驗技術條件本試驗在香港科技大學土木工程離心實驗室進行,該機有效半徑4m,最大加速度150g,最大容重400gt,具有可在實驗中操作的機器人和雙向震動臺(Ng,etal2002a)。量測模型樁的應變采用了半導體應變片,其靈敏度比普通應變片高70倍;位移傳感器采用PR750,測量范圍±50mm;孔隙水壓力傳感器采用Druck’sPDCR81,測試范圍0～700kPa。32

模型試驗試驗樁1(摩擦樁)的模型樁長540mm,直徑20mm,在50g作用下,模擬長27m,直徑1m的原型樁。試驗樁2(端承樁)的模型樁長540mm,直徑17mm,模型樁與模型箱底部接觸。在70g作用下,模擬長38m,直徑12m的原型樁。33

模型制作試驗用土由粘土、砂土和全風化花崗巖構成。按寧海電廠現場土層分布情況,將粘土和全風化花崗巖通過水篩、攪拌、排除氣泡等工序分層鋪設在模型箱中。對粘土經過四次加載使其預固結,最大預固結壓力為60kPa。為了模擬寧海電廠現場的情況,試驗中將模型樁埋入制作好的土層中,摩擦樁樁端距底部60mm,端承樁樁端則到達模型箱底部,最后在粘土層上鋪設砂土作為排水層。34

固結試驗過程將制備好的模型裝入離心機平臺上,試驗1(摩擦樁)模型保持50g運行約13.

8小時,試驗2(端承樁)模型保持70g的運轉速度運行約7.1小時;根據相似理論,相當于原型固結約4年(48個月)時間。4

試驗結果分析41

沉降變形結果與分析試驗樁1(摩擦樁)實測結果轉化為原型,土壤和樁的沉降變形結果見圖1。從圖中可知,固結開始階段,粘土沉降變形速率很快,隨著固結度增加,沉降變形速率減小,大約固結40個月以后,土壤沉降變形趨于平緩。此時,實測土壤固結沉降5

.4mm,相當于原型固結沉降量270mm;實測模型樁的沉降量約為0

.63mm,相當于原型樁的沉降量32mm。軟粘土t90對應時間為16月左右。試驗樁2(端承樁)：實測結果轉化為原型土壤和樁的沉降變形結果見圖2。從圖中可以看出,固結開始時段,粘土沉降變形速率很快,隨著固結度增加,沉降變形速率減小,

大約固結16個月以后,土壤沉降變形趨于平緩。此時,實測土壤固結沉降3.6mm,相當于原型固結沉降250mm;實測模型樁的沉降量約為0.

015mm,相當于原型尺度下樁的沉降量1

.05mm左右。由于是端承樁,樁的沉降變形非常小。軟粘土t90對應時間為16個月。4

2

孔隙水壓力結果與分析試驗樁1中孔隙水壓力、測壓管水頭隨時間變化的過程如圖3、圖4所示。在增加超載后,各土層均產生了超孔隙水壓力。待實驗準備完畢并開機加速到指定固結加速度時,各孔隙水壓力傳感器的讀數作為初始孔隙水壓力。其中PPT1和PPT2埋設于地表以下3.

5m深處,初始孔隙水壓力均為59kPa左右,實驗結束時,相當于固結4年后,孔隙水壓力均下降到29kPa左右。PPT3和PPT4埋設在地表以下11m和16m處,初始孔隙水壓力分別為113

3kPa和1662kPa,實驗結束時,孔隙水壓力分別下降到106

0kPa和1531kPa。初時,軟粘土層中的超孔隙水壓力比較高,測壓管水頭高出基準面2.5m多,全風化花崗巖層中稍小,測壓管水頭高出基準面不到1m。隨著固結過程進行,超孔隙水壓力逐漸消散,各土層中的測壓管水頭趨于相等,表明孔隙水壓力趨于靜水壓力分布。試驗樁2中孔隙水壓力和測壓管水頭隨時間變化規律同試驗樁1。43

樁身下拉荷載結果與分析實驗樁1（摩擦樁）：樁身下拉荷載隨固結時間的變化過程和不同固結時間下拉荷載沿樁身的分布如圖5所示。由圖可見,軟粘土固結時,在樁身產生負摩阻力,下拉荷載最大達到420kN。樁的上部較小,在樁的中部增大,并出現峰值,端部較小。

固結1年以后,下拉荷載最大值出現在埋深12m處,

8m及22m處負摩阻力相對較小,小于50kN。

固結2年以后,下拉荷載最大值仍出現在埋深12m處,但中上部和樁端附近下拉荷載顯著增大。

固結3年以后,下拉荷載最大值出現在樁中上部,埋深8m處。

固結4年以后,土層固結度達到了比較高的水平,土層沉降變形趨于平緩,下拉荷載最大值出現在樁中上部,埋深8m處,由此深度向下,下拉荷載逐漸遞減。試驗樁2樁身下拉荷載隨固結時間的變化過程和不同固結時間下拉荷載沿樁身的分布如圖6所示。由圖中可知:固結達到4年時,樁身產生的下拉荷載最大達到673kN,由于是端承樁,下拉荷載沿樁身從上到下逐漸增大,最大下拉荷載位于樁端部。由于端承樁樁身與土壤沉降差比摩擦樁要大,因此由負摩阻力產生的下拉荷載也比較大。公式(4)為有效應力分析經驗公式,公式(5)為總應力分析經驗公式。根據實測的樁下拉荷載結果得到寧海電廠摩擦樁和端承樁的樁側摩阻力系數β和α的估算值如表2、表3所示。結論與建議(1)軟粘土上增加超載以后,土層中產生超孔隙水壓力。全風化花崗巖層滲透性高,超孔隙水壓力消散快,而粘土層的滲透性小,超孔隙水壓力消散得慢。大約固結4年以后,超孔隙水壓力基本消散。(2)在端承樁試驗中,軟粘土層固結度達到90%的時間為1.3年(16個月)左右,固結4年以后,地表軟粘土沉降量約250mm,樁頂沉降非常小,約1mm。在摩擦樁中,軟粘土層固結度達到90%的時間為1.3年,固結4年以后,地表軟粘土沉降量約260mm。在固結基本完成以后,土層和樁的沉降變形也趨于穩定。(3)在端承樁試驗中,上覆1m砂土荷載固結4年以后,下拉荷載最大值達到673kN。下拉荷載沿樁身向下逐漸增大,最大值出現在樁端附近,沿樁身向上逐漸減小。在摩擦樁試驗中,下拉荷載最大值達到420kN,最大值出現在樁的中部,樁的上部與端部較小。(4)在端承樁試驗中,軟粘土層側摩阻力系數β估算值為0.

1～0

.25,α值為0.9～1.0。而摩擦樁試驗中,軟粘土層側摩阻力系數β估算值為0

.15～0.25,α值為0.9～1.0。例4、粘性流體流動的相似理論問題N-S方程:

(納維-斯托克斯方程)A體系

w

x

w

y

ww

x

z

w

ww

zxxxxy(1)(2)

1

P2w2w2w

g

xxxx

xyz

x222B體系

w

x

w

ww

x

z1

P

w

ww

zxxx

yxy

2w2w2w

g

xx2x2x2

xyz

x(A)~(B)相似，有相似常數存在。ywxwwwy

C

速度相似常數xzzww

w

w

w

C

時間相似常數

x

y

z

l

x

y

z

l

C幾何相似常數l

C

C粘度相似常數密度相似常數(3)P

CP壓力相似常數P

g

g

g

g

Cg

加速度相似常數xx將比例常數代入原型方程,即:(3)代入(2)

2

w

ww

C

w

Cw

w

x

w

x

wwxxCCx

xy

yzz

(4)l

222C

CwwwC

1

P

C

g

wxxxP

xyzCCl

xg

x2Cl222C

C2C

C

C(5)

CgwwwP比較(1)、(4)，必有由(a)=(b)得：C

C

C2lCCll(a)

(b)

(c)

(d)

(e)C

Cw

1Ho

相似準數:不穩定流動1wCll由(b)=(c)得：CwCwl雷諾準數:

慣性力/粘性力

1RelC強制流動狀態(水平管道)CPCCP

w歐拉準數

:

壓力/慣性力強制流動由(b)=(d)得：1

Eu2w2情況下。CgClgl弗魯德準數

:

重力/慣性力(垂直流

動)。由(b)=(e)得：

1FrC2w2w基本準數：Ho、Eu、Re、Fr派生準數：由基本準數組合而得。gl

t3Gr

格拉斯霍夫準數：2自然流動狀態

浮升力/粘性力

Ga

FrRe

t2阿基米德準數：

Ar

G0伽利略準數：G返

回2、相似第二定理、量綱分析法：

定理表示一現象各物理量之間的關系方程式，都可以轉換成無量綱方程，無量綱方程的各項即是相似判據

(相似準數)。（1）、量綱基本概念量綱：度量物理量的類型。例：長度

l，

單位

m，cm，mm

；時間

t，

單位

h，min，sec；質量

m，單位

kg，g，mg；量綱采用麥克斯韋爾符號來表示，通常以[L]、[T]、[M]來表示長度、時間、質量。量綱只涉及物理量的種類，不涉及度量單位。自然界中，某個物理系統內，各物理量以一定的規律聯系著，如定義、物理定律、數理方程都表示了這種聯系。其中有些物理量是不能由其他物理量導出的，稱為基本物理量。其他的物理量稱為導出物理量。對力學問題：長度

[L]時間

[T]

為基本量綱質量

[M]力

[F]

、速度[V]、加速度[MT-2]等為導出量綱，可表達成基本量綱的組合形式。力:

[MLT-2

]:

[LT-1]功:

[ML

T

]2

-2能量壓強:

[ML

T

]2

-2力矩彈模:

[ML

T

]2

-2速度應變加速度:

[LT-2

]-1

-2:

[ML

T

]-1

-2:

[ML

T

]0

0

0

泊松比:[M

L

T

]0

0

0:[M

L

T

]稱為無量綱量（2）量綱性質1）當物理量的度量單位改變時，無量綱物理量的數值不會變化，而有量綱物理量的數值會隨之改變。[

X

]

[M

L

T

]當基本物理量長度

[L]、時間

[T]、質量

[M]的度量單位，分別變為1/m、1/l、1/t時，導出量在新單位體系下的數值將

m

l

t變為原數值的倍2）量綱均勻性（和諧性）物理方程是反映客觀規律，表明了物理現象中各相關物理量的聯系形式。所有關系式（方程式、不等式等）中的各項均應具有相同的量綱，才能進行加、減和采用等號、不等號等關系符號相連接。這種性質稱為量綱均勻性。1例：外力做功與動能增量的關系

2f

s

mv2

2Nmmkgs

FL

2ML2T-2M

V3）量綱齊次性當物理方程或關系式（方程式、不等式等）中的各物理量度量單位同時改變時，原方程或關系式的結構形式不變，這種性質稱為量綱齊次性。量綱性質應用實例1：質量m在半徑r處以速度V作勻速圓周運動，求：離心力的公式

m

Mx

y

z設：離心力

F

m

r

V

r

L

F

M

LT

2

V

L

T

1

My

zLzzxT

M

L

T2M

L

LTxy1x

1,y

z

z

21,x

1,y

1,z

解出：22V1

2F

mr

V

mr量綱性質應用實例2：試用量綱分析法分析溢流堰過流時單寬流量q

的表達式。Hq已知q

與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g

有關。解：1.

分析影響因素，列出函數方程根據已知條件可知，溢流堰過流時單寬流量q

與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g

有關，用函數關系式表示為q

f

(H,,

g)2.

將q寫成H，ρ，g的指數乘積形式，即

q

kH

ga

b

c3.

寫出量綱表達式a

b

cdimq

dim(H

g

)4.

選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量的量綱為2

1a3

b2

c[L

T

]

[L]

[ML

]

[LT

]5.

由量綱和諧性（均勻性）原理求各量綱指數a=3/2b=0c=1/2L：2=a-3b+cT：-1=-2cM：0=b6.

代入指數乘積式，得

3/2

0

1/23/23/2q

kH

g

k

gH即3/2q

k

gH

m

2gH1其中，k

為無量綱系數，即流量系數m，由實驗1來確定。（3）相似第二定理（布金漢π定理）的描述設描述所研究物理現象的各個物理量及其關系式如下：f

(x,

x

,,

x

)

012n式中x

x

x

x

具有不同的量綱,其中k個物理量為基本物理量,其余為導出量123nk個基本物理量的量綱表達式為：[x1

]

[xx

xk]1001

2[x2

]

[xx

xk]0101

2[xk

]

[xx

xk]0011

2其余n-k

個導出物理量的量綱表達式為：

1

2k[x

]

[x

x

x

]111k1

1

2k[x

]

[x

x

x

]222k212k[x

]

[x

x

x

]nknknkn現將k個基本物理量的度量單位各縮小到原單位的1/m

、

1/m

、12??????、

1/m

倍，則在新度量單位下，各物理量的數值分別變為：k(x

)

m

(x

)新度量單位下各物理量的數值11

1原度量單位下各物理量的數值(x

)

m

(x

)222(x

)

m

(x

)kkk12k(x

)

m

m

m

(x

)111k1k112k(x

)

m

m

m

(x

)222k2k212k(x

)

m

m

m

(x

)nknknknnf

(x,

x

,,

x

)

0根據量綱齊次性,

將該關系式代入原方程12n因為根據量綱的齊次性，原方程的結構形式不變，則f

(mx

,m

x

,m

x

,m

m

m

(x

),,m

m

m

(x

))

012k12k111nknknk1

12

2k

kk1n特別地,取m1

1(x1)1m2

mk

(x2

)1(xk

)

1

2k則,原方程變為:[x

]

[x

x

x

]111k1f

(1,

1,1,

,

)

0[x

]

[x

x

x

]

k1nk222k212式中,x1

k

1[

]

[x

x

x

x]1knknknk

kx

x

xn211112xn

nk12kx

x

xnknknk去掉常數項,

f

(1,

1,1,

,

)

0可轉化為:1nkF(

,

,

)

012nk該式表明：表示一物理現象的各物理量之間的關系方程式，可以轉換成無量綱參數方程，無量綱方程的各項即是相似判據（相似準數）。

定理（4）相似第二定理的應用步驟1.確定影響因素。根據對所研究現象的認識，確定影響這個現象的各個物理量。f

(x,

x

,,

x

)

012n2、從n個物理量中選取所包含的k個基本物理量，對力學系統，一般取m=3。選取的基本物理量應相互獨立。3.

確定導出物理量與基本物理量的量綱表達式：[x

]

[x

x

x

]

1

2k111k1[x

]

[x

x

x

]

k222k212[x

]

[x

x

x

]12knknknkn4、定出各相似準數π項x1

k

1

kx

x

x11112xn

nk12kx

x

xnknknk5.

寫出描述現象的關系式。F(

,

,

)

01

2nk（4）量綱分析方法提出的根據及問題提出根據（1）自然界一切物理現象的內在規律，都可以用

完整的物理方法來表示。（

2）任何完整物理方程，必須滿足量綱和諧性原理。量綱分析法用途:推導各物理量的量綱；簡化物理方程；檢驗物理方程、經驗公式的正確性與完善性，為科學地組織實驗過程、整理實驗成果提供理論指導。因為凡是嚴格正確反映客觀規律的物理方程，其方程各項的量綱都必須是一致的，這被之為量綱和諧性(均勻性)原理。但是在很多經驗公式中，量綱是不和諧的，所以可能有人認為量綱和諧性原理是錯誤的。量綱和諧性原理是已經被無數事實證明的客觀真理。因為只有兩個同類型的物理量才能相加減，否則沒有物理意義的。而一些經驗公式是在沒有理論分析的情況下，根據部分實驗資料或實測數據統計而得，這類公式經常是量綱是不和諧的。這說明人們對客觀事物的認識還不夠全面和充分，只能用不完全的經驗關系式來表示局部的規律性。這些公式隨著人們對物理現象本質的深刻認識，將逐步被修正或被正確完整的公式所替代。量綱分析法應用例1、單由度系統的受迫振動問題如圖所示的單自由度系統，其質量塊f(t)m在外力f(t)作用下的運動方程為：myd

y

d

y2m

k

y

f

(t

)d

td

t(1)2ck其中:η為粘性阻尼系數;k為彈性剛度;f(t)

為激振力;y:振動位移.f

(t)d2ydt2(

,

,

,

,

,

)

0F

y

m

t

k

f

mk

ydydt從6個物理量中選取相互獨立的3個基本物理量，m、y、t其量綱分別為：質量

[M]、位移

[L]、時間