“錫慧在線”開學第一周20201.1.1平均變化率蘇教版選修2-2數學蘇教版選修2-2《導數及其應用》第1課時

只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態，而且也表明過程：運動——恩格斯牛頓萊布尼茨

微積分的創始人，本章我們將要學習的導數是微積分的核心概念之一.世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所察覺，而有些變化卻讓人們發出感嘆與驚呼！

甲乙兩人投入相同資金經營同一種商品，甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元．你能比較和評價甲、乙兩人的經營成果嗎？為什么？

甲乙兩人投入相同資金經營同一種商品，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，你能比較和評價甲、乙兩人的經營成果嗎？為什么？結論：僅考慮一個量的變化是不行的，要考慮一個量相對于另一個量改變了多少。情境1上證指數分時圖D（13:00,2894）E（13：04,2838）A(9:30,2878)問題：如何從數學角度刻畫股指“跳水”？情境2B(10:03,,2925)C(11:10,2884)結論：股指差不能反映股指變化的快慢程度情境3某市2004年3月18日至4月20日每天最高氣溫數據記錄表序號日期最高溫度13月18日3.523月19日4.533月20日543月21日5.353月22日5.663月23日5.773月24日683月25日6.493月26日6.9103月27日7113月28日7.2123月29日7.3133月30日7.5143月31日7.6154月1日7.7164月2日7.8174月3日8184月4日8.8194月5日9204月6日9.3214月7日9.5224月8日10.1234月9日11244月10日11.5254月11日12264月12日12.7274月13日13.2284月14日14294月15日14.6304月16日15.9314月17日17.1324月18日18.6334月19日24.4344月20日33.43月18日4月18日4月20日4月20日那天人們會驚呼“天氣熱得太快了”！溫差15.1℃溫差14.8℃結論：氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度問題：如何從數學角度刻畫氣溫“陡升”？情境3某市2004年3月和4月某天日最高氣溫記載:2030342102030A(1,3.5)

B(32,18.6)0

C(34,33.4)210T(℃)

t(d)溫差14.8℃溫差15.1℃

比值反映了在某一時間段內氣溫、股指變化的快慢程度．2天31天

問題：用怎樣的數學模型刻畫變量變化的快慢程度？比值稱為函數在某一區間上的平均變化率．xoyf(x2)－f(x1)x2－x1f(x2)－f(x1)x2－x1一般地，函數在區間

上的平均變化率為以直代曲曲線越“平緩”，說明變量變化越

曲線越“陡峭”，說明變量變化越快慢用平均變化率來近似地量化曲線在某區間上的陡峭程度平均變化率概念建構k平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”．

平均變化率的幾何意義就是函數f(x)圖象上兩點(x1,f(x1))、(x2,f(x2))所在直線的斜率.2030342102030A(1,3.5)

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C(34,33.4)210xy概念建構某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試比較從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重變化的快慢情況．例1解：從出生到第3個月，嬰兒體重的平均變化率為從第6個月到第12個月，嬰兒體重的平均變化率為t/月W/kg639123.56.58.611O該嬰兒從出生到第3個月體重增加的速度比第6個月到第12個月體重增加的速度要快.這兩種不同的變化率的實際意義是什么？數學應用甲乙水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙(如圖)，t秒鐘后容器甲中水的體積為V(t)=5et(單位cm3)，計算第一個10秒內V的平均變化率．這種變化的實際意義是什么？

平均變化率的絕對值較大，則變化較快解答：負號表示容器甲中的水在減少例2

已知函數,分別計算函數及在區間[-3，-1]，[0，5]上的平均變化率.

例3解:函數在[-3，-1]上的平均變化率為

函數在[0，5]上的平均變化率為

函數在[-3，-1]上的平均變化率為

函數在[0，5]上的平均變化率為[m,n](m<n)一次函數y=kx+b在區間[m,n](m<n)上的平均變化率與區間的長度和位置無關，恒為直線y=kx+b的斜率k.ABOxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)△y△x例4

已知函數，分別計算在下列區間上的平均變化率：(5)[1，1.001](4)[1，1.01];(3)[1，1.1]；(2)[1，2]；(1)[1，3]；，1];，1];(3)[0，1]；(2)[-1，1]；(1)[-2，1]；，1]3401-1越來越趨近于2A組B組越來越趨近于2用平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應注意當x2—x1很小時，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”。由以上例題你對平均變化率有怎樣的認識？平均變化率體現變化的結果，并沒有體現變化的過程●用“平均變化率”來表示變化的快慢●平均變化率刻畫了曲線的陡峭程度●函數的平均變化率在數值上等于指定區間兩端點連線的斜率，

平均變化率的值可正、可負、也可以為零

●函數的平均變化率反映變化的結果，不能體現函數值較細微的變化解題感悟變量變化快慢問題生活化數學化平均變化率曲線的陡峭程度視覺化數量化形的角度數的角度概念幾何意義曲線越陡峭，變化越快曲線越平緩，變化越慢課堂總結

如何精確刻畫變化？1.我們都吹