2013年高中數學1.23高階導數教課設計新人教A版選修2-2教課內容：高階導數的定義與計算。教課目標：認識高階導數的定義，熟習高階導數的計算。教課要點：高階導數的定義與計算。教課難點：高階導數的計算。教課方法：講解與練習。教課學時：2學時。●前言：我們已經知道，一個可導函數的導（函）數仍舊是一個函數，這個函數我們又能夠議論它的可導性與導（函）數，以此類推，就產生的函數的一系列導數的問題，這些就是本節課我們將要學習的高階導數的內容。一、引例：先看一個物理問題：已知物體運動位移與時間關系為ss(t)，求它在某一時刻t0的加快度。速度是位移的變化率，即：v(t)limslims(tt)s(t)s'(t)；t0tt0t加速度是速度的變化率，即：a(t)limvlimv(tt)v(t)lims'(tt)s'(t)s''(t).t0tt0tt0t可見，加快度就是位移的導數的導數，也就是我們將要介紹的位移的二階導數。同時也看到，研究高階導數是有其實質價值的。二、高階導數的定義：定義若函數f(x)的導函數f'()可導，則稱函數f(x)在點x0二階可導，并稱x在點x0f'(x)在點x0的導數為f(x)在點x0的二階導數，記作f''(x0)，d2y，，即：dx2xx0一般的，若函數f(x)的n1階導函數f(n1)(x)在點x0可導，則稱函數f(x)在點x0n階可導，并稱f(n1)(x)在點x0的導數為f(x)在點x0的n階導數，記作f(n)(x0)，dny，，即：dxnxx0二階及二階以上的導數稱為高階導數，從前介紹的導數也可稱作一階導數；若函數f(x)在區間I上每一點都可導，即x0I，有f(x)在點x0的獨一n階導數與其對應，這樣成立了一個函數，稱為f(x)在I上的n階導函數，簡稱為f(x)在I上的n階導數，記作：f(n)(x),dyn,。dxn三、高階導數的計算：函數n階導數的計算一般思路就是依據定義，連續利用一階導數的求導公式及求導法例n次即可。除此以外我們再介紹兩個計算函數n階導數的計算公式。1．[uv](n)u(n)v(n)。2．設yuv，則y'u'vuv'；y''u'vuv''u''v2u'v'uv''；y'''u''v2u''uv''''''v3u'''3u''''''；vuvvuv依此類推，我們可由數學概括法證得以下萊布尼茨公式（結果與二項式uvn睜開式極為相像）：NCnku(nk)v(k)，K0此中u(0)u，v(0)v。四、高階導數求解舉例：例1．求冪函數yxn(nN)的各階導數。解：y'xn'nxn1；y''nxn1'n(n1)xn2；y'''n(n1)xn2'n(n1)(n2)xn3；；y(n1)nn1)(n2)2x；y(n)(n1)(n2)21!；(nny(n1)y(n2)0。例2．求指數函數yex的各階導數。解：y(n)ex(n)ex,(nN)。例3．求函數yeax（a為常數）的各階導數。解：y'eax'aeax；y''aeax'a2eax；y'''a2eax'a3eax；；y(n)an1ax'anax(nN)ee例4．求三角函數ysinx與ycosx的各階導數。解：y'sinx'cosxsinx；2y''cosx'sinxsinxsinx2；2y'''sinx'cosxsinx3sinx3；22y(4)cosx'sinxsinx2sinx42；；一般地，sinx(n)sinxn2，近似可得，cosx(n)cosxn，nN2例5．求函數yexcos的5階導數。解：ex(k)exx(k)xkkn,coscos(),0,1,2,,2由萊布尼茨公式得：例6．求函數yx2e2x的20階導數。解：設2x'2x'2x''2x'22x(20)192x'202xue2eu2e2eu2e2e，則；，，，vx2，則v'x2'2x，v''2x'2，v'''v(4)v(20)0；由萊布尼茨公式得：y(20)u(20)vC201u(19)v'C202u(18)v''x2,x0例7．研究函數f(x)2,x的高階導數。x0解：f

'

(x)

2xx00x02xx0f

f'(0)limx0'(0)limx0

f(x)f(0)limx0x0f(x)f(0)limx0x0x200x0；x200x02x0

f‘'(0)

lim

’‘f(x)f(0)

lim2x02f

''

(x)

不存在x02x0

x0x0f'’(0)limf‘(x)f’(0)x0x0x0x0；lim2x0－2x0x0f(k)(x)0x0k3。不存在x0注：本題的解法對分段函數是擁有一般性的，我們應當嫻熟掌握。xa(tsint)yy(x)的二階導數。例8．試求由擺線參量方程a(1所確立的函數ycost)解：yaa0x由含參量方程求導法例的