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2013年高中數(shù)學1.23高階導數(shù)教課設計新人教A版選修2-2教課內容:高階導數(shù)的定義與計算。教課目標:認識高階導數(shù)的定義,熟習高階導數(shù)的計算。教課要點:高階導數(shù)的定義與計算。教課難點:高階導數(shù)的計算。教課方法:講解與練習。教課學時:2學時?!袂把裕何覀円呀?jīng)知道,一個可導函數(shù)的導(函)數(shù)仍舊是一個函數(shù),這個函數(shù)我們又能夠議論它的可導性與導(函)數(shù),以此類推,就產(chǎn)生的函數(shù)的一系列導數(shù)的問題,這些就是本節(jié)課我們將要學習的高階導數(shù)的內容。一、引例:先看一個物理問題:已知物體運動位移與時間關系為ss(t),求它在某一時刻t0的加快度。速度是位移的變化率,即:v(t)limslims(tt)s(t)s'(t);t0tt0t加速度是速度的變化率,即:a(t)limvlimv(tt)v(t)lims'(tt)s'(t)s''(t).t0tt0tt0t可見,加快度就是位移的導數(shù)的導數(shù),也就是我們將要介紹的位移的二階導數(shù)。同時也看到,研究高階導數(shù)是有其實質價值的。二、高階導數(shù)的定義:定義若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'()可導,則稱函數(shù)f(x)在點x0二階可導,并稱x在點x0f'(x)在點x0的導數(shù)為f(x)在點x0的二階導數(shù),記作f''(x0),d2y,,即:dx2xx0一般的,若函數(shù)f(x)的n1階導函數(shù)f(n1)(x)在點x0可導,則稱函數(shù)f(x)在點x0n階可導,并稱f(n1)(x)在點x0的導數(shù)為f(x)在點x0的n階導數(shù),記作f(n)(x0),dny,,即:dxnxx0二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù),從前介紹的導數(shù)也可稱作一階導數(shù);若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一點都可導,即x0I,有f(x)在點x0的獨一n階導數(shù)與其對應,這樣成立了一個函數(shù),稱為f(x)在I上的n階導函數(shù),簡稱為f(x)在I上的n階導數(shù),記作:f(n)(x),dyn,。dxn三、高階導數(shù)的計算:函數(shù)n階導數(shù)的計算一般思路就是依據(jù)定義,連續(xù)利用一階導數(shù)的求導公式及求導法例n次即可。除此以外我們再介紹兩個計算函數(shù)n階導數(shù)的計算公式。1.[uv](n)u(n)v(n)。2.設yuv,則y'u'vuv';y''u'vuv''u''v2u'v'uv'';y'''u''v2u''uv''''''v3u'''3u'''''';vuvvuv依此類推,我們可由數(shù)學概括法證得以下萊布尼茨公式(結果與二項式uvn睜開式極為相像):NCnku(nk)v(k),K0此中u(0)u,v(0)v。四、高階導數(shù)求解舉例:例1.求冪函數(shù)yxn(nN)的各階導數(shù)。解:y'xn'nxn1;y''nxn1'n(n1)xn2;y'''n(n1)xn2'n(n1)(n2)xn3;;y(n1)nn1)(n2)2x;y(n)(n1)(n2)21!;(nny(n1)y(n2)0。例2.求指數(shù)函數(shù)yex的各階導數(shù)。解:y(n)ex(n)ex,(nN)。例3.求函數(shù)yeax(a為常數(shù))的各階導數(shù)。解:y'eax'aeax;y''aeax'a2eax;y'''a2eax'a3eax;;y(n)an1ax'anax(nN)ee例4.求三角函數(shù)ysinx與ycosx的各階導數(shù)。解:y'sinx'cosxsinx;2y''cosx'sinxsinxsinx2;2y'''sinx'cosxsinx3sinx3;22y(4)cosx'sinxsinx2sinx42;;一般地,sinx(n)sinxn2,近似可得,cosx(n)cosxn,nN2例5.求函數(shù)yexcos的5階導數(shù)。解:ex(k)exx(k)xkkn,coscos(),0,1,2,,2由萊布尼茨公式得:例6.求函數(shù)yx2e2x的20階導數(shù)。解:設2x'2x'2x''2x'22x(20)192x'202xue2eu2e2eu2e2e,則;,,,vx2,則v'x2'2x,v''2x'2,v'''v(4)v(20)0;由萊布尼茨公式得:y(20)u(20)vC201u(19)v'C202u(18)v''x2,x0例7.研究函數(shù)f(x)2,x的高階導數(shù)。x0解:f
'
(x)
2xx00x02xx0f
f'(0)limx0'(0)limx0
f(x)f(0)limx0x0f(x)f(0)limx0x0x200x0;x200x02x0
f‘'(0)
lim
’‘f(x)f(0)
lim2x02f
''
(x)
不存在x02x0
x0x0f'’(0)limf‘(x)f’(0)x0x0x0x0;lim2x0-2x0x0f(k)(x)0x0k3。不存在x0注:本題的解法對分段函數(shù)是擁有一般性的,我們應當嫻熟掌握。xa(tsint)yy(x)的二階導數(shù)。例8.試求由擺線參量方程a(1所確立的函數(shù)ycost)解:yaa0x由含參量方程求導法例的
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