PAGEPAGE11長江學院數學建模一周論文論文題目：野兔生長問題姓名1：學號：姓名2：學號：姓名3：學號：專業：班級：指導教師：2015年7月2日摘要本文依據已知的野兔連續十年的生長統計數據，考慮外界環境及內部因素對野兔的繁殖規律的影響，并找出其中的規律。充分利用前三年給出的野兔的數量變化。分析這三年的野兔生長變化情況，建立所需數學模型，并得出合理的數量關系式，得出野兔的一般變化率。然后，建立一個種群增長的差分方程模型，求出的野兔生長規律。求解當前野兔對應的Leslie矩陣的特征根，發現該特征根大于1，根據Leslie矩陣的穩定性理論知道：如果不進行避孕注射該野兔種群將無限增長（如果環境允許）；據此，利用Leslie矩陣穩定的充要條件求出應該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩定，求解的主要思路是：特征根取為1、把繁殖率當成未知數，將此時的各年齡段的存活率代入方程=6\*ROMANVI。最后，只需將野兔的存活率代入那個以繁殖率為未知數的方程（方程=6\*ROMANVI），求出在哪些年內野兔的增長有異常現象，。考慮到求解的數據比較多，采取計算機模擬的方法來確定移走野兔后所需要進行避孕的母兔只數為了檢驗計算機模擬的正確性，用理論去驗證。關鍵字：線性方程組、差分方程模型、Leslie矩陣、計算機模擬問題重述位于某國的國家公園中棲息著近10000只野兔。管理者要求有一個健康自由的環境以便觀察這個10000只野兔的數量變化情況。管理者逐年統計了野兔的數量，發現在過去的10年中，野兔的生長變化并不穩定，呈現波浪式起伏，根據這些信息我們需要解決以下問題：探討年齡在1歲到10歲之間的野兔的合理的存活率的模型，推測這個野兔群落的當前的年齡結構。知道哪些環境和內部因素對野兔生長數量的影響，并測算出各個影響的程度如何。探求偶然突發事件對野兔生長數量的巨大影響和它的規律性。根據野兔的生長變化，對野兔的生長特點進行分析。問題假設1、假設野兔的性別比近似認為1：1，并且采用措施維持這個性別比；2、假設母兔可以懷孕的年齡為1歲—6歲、最高年齡為10歲，10歲的死亡率為100%，并且6—10歲的野兔的只數呈線性遞減；3、假設野兔在各年齡段中的分布率不變，即年齡結構不變，并采用各種措施維持這一結構；4、假設兔子的內部因素對其生存率的影響不大5、假設0歲野兔能夠活到1歲的比例為75%；6假設各個環境因素對野兔生長的影響是互不影響的。符號說明：表示一年中野兔的只數（i=0表示0歲野兔的只數，i=1表示1--10歲大象只數，i=2表示1—10歲野兔的只數）；：表示存活率（表示0歲野兔的存活率，表示1—60歲野兔的存活率，表示61歲—70歲野兔的存活率）；：表示時段k第i年齡組的野兔數量；：第i年齡組每個（母兔）個體在1個時段內平均繁殖的數量；：第i年齡組的存活率；：Leslie矩陣；：矩陣的那個唯一正特征根；：表示移出野兔的只數；問題分析對于問題一，利用給出的近兩年來運出的野兔的數量統計表，可以分析近十年來的野兔群落的變化情況，比如各個年齡段的野兔占總的野兔的只數的比例是多少，還可以根據十年野兔總數的不規則變化來建立方程，用于求解野兔生存規律。對于問題二，因為考慮的是公園在未來很長一段時間的野兔生長變化問題，所以可以建立一個按年齡分組的種群增長的差分方程模型，根據差分方程的Leslie矩陣的特征根，結合Leslie矩陣的穩定性理論對當前野兔種群的情況進行分析。為了保持野兔種群的穩定，必須使得Leslie矩陣的最大特征根為1，而這樣，特征根取為1、把繁殖率當成未知數，將此時的各年齡段的存活率代入方程特征方程，求解這個以繁殖率為未知數的方程可以得到野兔在某一年的繁殖率的取值；根據一條件建立方程來求解野兔在哪些年數量變化有異常情況。對于問題三，可以建立一個按年齡分組的種群增長的差分方程模型結合Leslie矩陣的穩定性理論對當前野兔種群的情況進行分析，然后求解這個以繁殖率為未知數的方程可以得到野兔在T=10年的繁殖率的取值，接著把取值代入線性方程求出野兔在這一年的數量探討野兔的存活率和當前野兔的年齡結構下面將根據給出的近兩年來運出的野兔的數量與性別統計表，分析近兩年來的野兔群落的情況，建立一個線性方程組數學模型，通過求解方程組得到年齡在1歲到10歲之間的野兔的存活率，并給出野兔各年齡所占的比例，進而得到這個野兔群落的當前的年齡結構。1、線性方程組模型的建立（1）首先，計算一年中野兔的只數。野兔群是由0歲，1—0歲，10歲—12歲組成,且穩定在10000只。設0歲的只數為X0，1—10歲野兔只數為X1，10歲—12歲野兔只數為X2。所以得到第一個方程：X0+X1+X2=10000（=1\*ROMANI）（2）其次，考慮到前一年野兔的總數等于前兩年存活下來的野兔加上新生的幼兒再減去運出的野兔數。設0歲野兔的存活率為，1—10歲野兔的存活率為，10歲—12歲野兔的存活率為。則經過一年后，新生的野兔存活下來的只數為X0；1到10歲的野兔存活下來的只數為X1；10歲——12歲的野兔能存活下來的只數為X2，因此得到第二個方程：（X0+X1+X2）+X0-622=10000（=2\*ROMANII）聯立（=1\*ROMANI）、（=2\*ROMANII）得到方程組：（*）2、模型的求解根據近兩年來運出的野兔的數量與性別統計表，得到如下分析結果：（1）計算0歲的野兔只數由表中統計，1歲—3歲的野兔占1歲—10歲的野兔比例為：（67/620+169/876）/2=15.05%所以得到：3歲—10歲能生小野兔的母野兔占1歲—10歲的野兔比例為：（1-15.032%）0.5=42.48%因為能生小野兔的母野兔每3個月生一只小野兔，且十胞胎的機會為1.35%，相當于每年生126只，所以0歲的野兔占1歲—10歲的野兔比例為：0.42480.2896=0.12303這樣0歲的野兔共有：=0.12303（=3\*ROMANIII）（2）計算10歲—12歲的野兔只數從表中計算運出的9歲的野兔占運出的總野兔比率為：（14/622+22/876）/2=0.0238由于運出的野兔都是1歲—10歲的，所以0.0238也可看為9歲的野兔占1—10歲的野兔的只數比例，得到10歲的野兔占的比例為0.0238，由假設可以知道：10歲—12歲的野兔只數為：=1/2100.0238X1（=4\*ROMANIV）10歲——12歲的野兔經過一年能存活下來的只數為：（=5\*ROMANV）（3）、將（=3\*ROMANIII）、（=5\*ROMANV）和（=4\*ROMANIV）兩個式子代入上面方程組（*）得：又由假設知道，0歲野兔的存活率為=75%代入上述方程組，然后用Mathematica解之得：再依次將、代入（=3\*ROMANIII）、（=5\*ROMANV）和（=4\*ROMANIV）求得：所以，0歲野兔的總只數為1091（只）；1—10歲的野兔的存活率為98.9719%，總只數為8865（只）；10歲—12歲的野兔只數為1091（只）。把0—10歲的野兔分為八個年齡段，由假設知道，各個年齡段占總數可以用各個年齡段移出的只數除以移出的總只數來衡量。下面以1—10年齡段的野兔只數計算為例：前一年總共移出622只，其中1—10歲移出為67只；前兩年總共移出876只，其中1—10歲移出169只。故1—10年齡段的野兔只數可以這樣計算：==1332（只）T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817（附表1）3、結果分析（1）由結果可以知道，2—10歲野兔的存活率為98.9718%，這與題目給出的大于95%是相一致的，所以可以認為結果是合理的；（2）從圖1可以看出，各個年齡段的野兔所占的比例基本上是一樣的，2—3歲和4—7歲的野兔比例相對比較大，因為這段野兔正處于年齡的黃金時期。由此，可以認為求出的野兔年齡也是合理的。估計注射避孕藥后野兔數量的變化首先建立一個按年齡分組的種群增長的差分方程模型；然后用Leslie矩陣穩定的充要條件分析如果不進行避孕注射種群的增長情況；最后仍然利用Leslie矩陣穩定的充要條件求出應該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩定，進而利用一個方程求出每年注射避孕藥的母野兔只數。1、按年齡分組的種群增長的差分方程模型的建立記時段k第i年齡組的野兔數量為，k=0，1，2，…，i=1，2，…n,第i年齡組的繁殖率為，即第i年齡組每個（母野兔）個體在1個時段內平均繁殖的數量，第i年齡的存活率為，我們這里假設和不隨時段k變化，在穩定的環境下這個假設是合理的。和可由統計資料獲得。的變化規律由以下的基本事實得到：時段k+1第1年齡組種群數量是時段k各年齡組繁殖數量之和，即時段k+1第i+1年齡組的種群數量是時段k第i年齡組存活下來的數量，即記時段k種群按年齡組的分布向量為由繁殖率和存活率構成的矩陣為根據Leslie矩陣的性質可以得到如下的定理：定理1：矩陣有唯一的正特征根，且它是單重根的，對應正特征向量矩陣的其他n-1個特征根都是滿足該定理表明矩陣的特征方程只有一個正根，并且易知，2、如果不進行避孕注射種群的增長情況（1）建立Leslie矩陣首先，由第一問的求解知道，0歲的野兔的存活率為0.75；1—10歲野兔的存活率為0.989718；根據假設10—12歲野兔只數是線性遞減的，而且到70歲所有的野兔都死完了，所以很容易求出存活率為（1-0.1）=0.90.989718=0.8907；9—10歲野兔的繁殖率為0.1448。然后根據上面的矩陣L建立起如果不進行避孕注射種群的增長的Leslie矩陣如下所示：=這是一個7171的矩陣。（2）討論的特征根，分析種群增長規律用Matlab軟件求得特征根為R=1.0481，根據定理1知道，如果不進行避孕注射，該野兔種群將無限增長下去（如果環境允許），所以要進行避孕注射。3、求出每年注射避孕藥的母野兔只數根據Leslie矩陣的性質知道，要保持種群穩定，必須使得特征根r=1，即使得下面式子成立：（=6\*ROMANVI）具體到本題來就是使得如下成立：解這個方程求出要保持野兔種群的穩定，繁殖率應該為=0.0377保持野兔種群數量不變的繁殖率b0與沒采取避孕時的繁殖率b有一定的差距，所以需要避孕掉具有（b-b0）繁殖率母野兔所生的幼象。假設每年要避孕只大象，由于一次注射可以使得一只成熟的母野兔在兩年內不會受孕，所以每年實際上共有2只大野兔處于避孕期。這樣根據需要避孕掉具有（b-b0）繁殖率母野兔所生的幼野兔的數目等于注射避孕藥使得野兔沒有繁殖幼野兔的數目這個條件得到一個方程：解之得=1393所以每年注射避孕藥的母野兔只數為：1393（只）4、分析不確定因素的影響（1）最初一兩年避孕母野兔發情期增多，與未避孕母野兔產生競爭求偶的公野兔，使部分能懷孕的母野兔不能懷孕。而避孕的母野兔每月發情一次，會擾亂了正常求偶的母野兔，這樣會造成未避孕母野兔的繁殖率出現下降，避孕的母野兔數量應該減少。（2）隨著時間的增長，如果持續使用避孕藥，會使野兔的年齡結構發生變化，野兔的結構呈老齡化，所以隨著時間的增長，要保證野兔群的穩定，避孕藥的使用量必定會逐年減少直至禁用。模型的評價和改進方法1、模型的優點本文解決問題的模型都是比較簡單的，但是這并不影響得到的結果的準確性，因為這些簡單的模型都有很強的理論依據；在求解第二問的時候，充分利用Leslie矩陣穩定性理論來求解應該讓多少母野兔進行避孕注射，這些理論在差分方程中都是經典的理論，經得起許多事實的考驗；第三問的求解中運用了計算機模擬方法來模擬移出野兔屬于哪個年齡段，這樣不僅求解方便、簡潔（只需要把算法程序寫好就可以得到結果），得到的結果與實際也更接近；第三問用計算機模擬得到數據后，又用理論去驗證，這樣使得結果更具有說服力；這個模型是針對一定空間區域內，在一般規律下，對生物種群數量隨時間的變化范圍作出的估計。這種估計對于研究某一區域內的種群有直接的好處，也利于人類研究人類自身。對于一定區域內的生物種群，如果考慮種群生存環境的一般現象，我們可以從事實上看到我們應用的模型對于該類問題的解決有重大的預見效果。現在，在關于生物種群數量的研究中，有很多種方法，而logistic模型對于這類與現實搭配的事實更趨于成功。由以上的分析，我們看到了該模型對于相對較小誤差的測量，是可以得到相當準確的預測值的。于是，我們認為，在環境不發生重大改變的情況下，研究生物種群數量與時間的關系就可以采用我們在解決本問題時的解法。2、模型需要改進的地方（1）因為假設了野兔性別是嚴格地1：1關系，而實際中不一定那么地嚴