學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2021屆高考數學一輪知能訓練：第四章第3講平面向量的數量積含解析第3講平面向量的數量積1．（2019年福建泉州質檢）如圖X4.3.1，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，則eq\o(AB，\s\up6（→）)·（eq\o（CB,\s\up6（→))＋eq\o(BA,\s\up6(→）))的值為()圖X4。3.1A.eq\f(3，2)B．－eq\f(\r(3)，2）C。eq\f（\r（3),2）D．－eq\f(3，2）2．（2016年新課標Ⅲ)已知向量eq\o(BA，\s\up6(→）)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2），\f(\r（3)，2）)），eq\o（BC,\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）,2)，\f（1,2）))，則∠ABC＝（)A．30°B．45°C．60°D．120°3．（2017年浙江）如圖X4。3。2，已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記I1＝eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB,\s\up6(→）），I2＝eq\o(OB，\s\up6（→))·eq\o(OC，\s\up6（→))，I3＝eq\o（OC,\s\up6(→))·eq\o(OD，\s\up6(→））,則（）圖X4-3。2A．I1〈I2<I3B．I1〈I3<I2C．I3〈I1〈I2D．I2<I1〈I34．（2018年湖北黃岡質檢)若向量a，b的夾角為eq\f(π，3），且|a|＝2，｜b｜＝1,則向量a＋2b與向量a的夾角為（）A.eq\f(π，6）B.eq\f（π，3)C.eq\f（2π，3)D.eq\f(5π,6）5．（2019年北京)設點A,B,C不共線，則“eq\o(AB，\s\up6（→））與eq\o(AC，\s\up6(→))的夾角為銳角”是“｜eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o(AC,\s\up6(→）)｜〉|eq\o（BC，\s\up6（→)）｜”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．（2019年新課標Ⅲ)已知a,b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq\r（5)b，則cos<a，c〉＝________。7．(2018年河南豫南豫北聯考）已知a＝(λ，－6)，b＝(－1,2)，若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是____________．8．（多選)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a，b滿足eq\o（AB,\s\up6（→))＝2a，eq\o(AC，\s\up6(→）)＝2a＋b，則下列結論中正確的是(）A．a為單位向量B．b為單位向量C．a⊥bD．(4a＋b）⊥eq\o(BC，\s\up6（→）)9．(多選)在△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3），eq\o(AC,\s\up6(→))＝（1，k），若△ABC是直角三角形，則k的值可以是（)A．－1B。eq\f（11，3)C.eq\f（3＋\r（13)，2)D.eq\f(3－\r（13），2)10．（2017年山東）已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若eq\r(3)e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數λ的值是________．11．已知｜a|＝4,|b｜＝3，(2a－3b)·（2a＋b)＝61.（1）求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b｜和｜a－b|；（3)若eq\o（AB,\s\up6(→）)＝a,eq\o（AC，\s\up6（→）)＝b,作△ABC，求△ABC的面積．12．已知平面上有三點A,B，C，且向量eq\o（BC，\s\up6（→))＝(2－k，3），eq\o(AC,\s\up6(→））＝（2,4)．(1)若點A,B，C不能構成三角形,求實數k應滿足的條件；（2)若△ABC為直角三角形，求k的值．

第3講平面向量的數量積1．D解析：由題圖知,eq\o(AB,\s\up6(→））與eq\o（CB,\s\up6（→))的夾角為120°.∴eq\o（AB,\s\up6（→)）·(eq\o(CB,\s\up6（→）)＋eq\o(BA，\s\up6（→）））＝eq\o(AB，\s\up6（→))·eq\o（CB，\s\up6（→)）＋eq\o(AB,\s\up6(→)）·eq\o（BA,\s\up6(→))＝cos120°－12＝－eq\f（3,2）。2．A解析：由題意，得cos∠ABC＝eq\f(\o（BA,\s\up6(→））·\o(BC，\s\up6(→)），|\o（BA,\s\up6（→））|｜\o（BC，\s\up6（→）)|)＝eq\f（\f（1,2）×\f（\r(3）,2)＋\f（\r（3）,2)×\f（1，2），1×1)＝eq\f（\r(3),2).∴∠ABC＝30°。故選A.3．C解析：∵∠AOB＝∠COD>90°，∴eq\o（OB,\s\up6（→))·eq\o(OC，\s\up6（→))>0〉eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB,\s\up6(→））〉eq\o（OC，\s\up6（→）)·eq\o(OD,\s\up6(→))(理由OA<OC，OB〈OD)．故選C。4．A解析：∵｜a｜＝2，|b|＝1，a·b的夾角為eq\f（π，3)，∴a·b＝1，∴（a＋2b）·a＝｜a|2＋2a·b＝6，又｜a＋2b|＝eq\r(a＋2b2）＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝2eq\r（3），記a＋2b與a的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a＋2b·a，｜a＋2b|·｜a|)＝eq\f（\r(3)，2)，又0≤θ≤π,∴θ＝eq\f（π，6)，故選A。5．C解析:∵A,B，C三點不共線，∴|eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→))｜>|eq\o（BC,\s\up6(→)）｜?｜eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\o(AC，\s\up6（→））｜>|eq\o（AB,\s\up6(→）)－eq\o（AC,\s\up6（→））|?｜eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\o（AC,\s\up6(→））|2〉｜eq\o（AB，\s\up6（→））－eq\o(AC，\s\up6(→))｜2?eq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6（→)）〉0?eq\o（AB,\s\up6(→)）與eq\o(AC，\s\up6(→)）的夾角為銳角．故“eq\o（AB,\s\up6(→））與eq\o（AC,\s\up6（→)）的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（AC，\s\up6（→))|>|eq\o（BC，\s\up6(→)）|"的充分必要條件，故選C.6。eq\f(2,3）解析:∵c＝2a－eq\r(5)a，a·b＝0，∴a·c＝2a2－eq\r(5)a·b＝2,|c|2＝4｜a｜2－4eq\r（5）a·b＋5|b｜2＝9，∴|c｜＝3，∴cos〈a，c>＝eq\f（a·c,｜a|·｜c|）＝eq\f（2，1×3)＝eq\f（2，3)。7．(－12,3）∪(3，＋∞）解析:a·b＝－λ－12<0?λ>－12，若a、b夾角為π,則存在k〈0使a＝kb，即(λ，－6）＝（－k,2k）,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝－k，,2k＝－6，))∴λ＝3，∴使a、b夾角為鈍角的λ的取值范圍是(－12,3）∪（3，＋∞)．8．AD9。BCD10。eq\f(\r(3)，3)解析：（eq\r(3)e1－e2）·（e1＋λe2）＝eq\r（3)eeq\o\al（2,1）＋eq\r（3)λe1·e2－e1·e2－λeeq\o\al(2,2)＝eq\r(3)－λ，｜eq\r(3）e1－e2|＝eq\r(\r(3）e1－e22）＝eq\r(3e\o\al(2，1）－2\r(3）e1·e2＋e\o\al（2,2））＝2，｜e1＋λe2｜＝eq\r（e1＋λe22)＝eq\r(e\o\al(2,1）＋2λe1·e2＋λ2e\o\al(2，2)）＝eq\r（1＋λ2)，∴eq\r（3)－λ＝2×eq\r（1＋λ2)×cos60°＝eq\r(1＋λ2)，解得λ＝eq\f(\r（3)，3)。11．解：（1)由(2a－3b）·(2a＋b)＝61，得4｜a｜2－4a·b－3｜b|2＝61.將|a｜＝4，|b｜＝3，代入上式，求得a·b＝－6。∴cosθ＝eq\f（a·b，｜a｜｜b｜）＝eq\f（－6,4×3)＝－eq\f(1,2)。又θ∈[0°，180°］，∴θ＝120°.（2)可先平方轉化為向量的數量積．｜a＋b|2＝(a＋b）2＝｜a|2＋2a·b＋|b｜2＝42＋2×(－6）＋32＝13，∴｜a＋b｜＝eq\r(13).同理,｜a－b|＝eq\r（a2－2a·b＋b2）＝eq\r(37)。(3）先計算a，b夾角的正弦，再用面積公式求值．由(1)，知∠BAC＝θ＝120°，|eq\o（AB,\s\up6(→)）｜＝｜a|＝4，|eq\o（AC,\s\up6(→)）|＝｜b｜＝3，∴S△ABC＝eq\f（1，2)×｜eq\o(AC，\s\up6（→））|×｜eq\o(AB,\s\up6(→））|×sin∠BAC＝eq\f(1，2)×3×4×sin120°＝3eq\r(3)。12．解：（1)由點A，B，C不能構成三角形，得A，B，C在同一條直線上，即向量eq\o（BC,\s\up6(→））與eq\o（AC,\s\up6(→))平行．∵eq\o(BC，\s\up6(→)）∥eq\o（AC，\s\up6（→)），∴4(2－k）－2×3＝0,解得k＝eq\f(1，2）。（2）∵eq\o(BC，\s\up6(→）)＝(2－k,3），∴eq\o(CB，\s\up6(→))＝（k－2，－3）．∴eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\o（AC,\s\up6(→)）＋eq\o(CB,\s\up6（→)）＝（k,1)．∵△ABC為直角三角形,則①當∠BAC是直角時，eq\o(AB,\s\up6（→）)⊥eq\o(AC,\s\up6（→）），即eq\o（AB，\s\up6（→））·eq\o（AC,\s\up6（→）)＝0.∴2k＋4＝0。解得k＝－2.②當∠ABC是直角時,eq\o（AB,\s\up6(→））⊥eq\o(BC,\s\up6（→)），即eq\o（AB,\s\up6（→）)·eq\o(BC,\s\