學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2021屆高考數學一輪知能訓練：第九章第2講古典概型含解析第2講古典概型1．（2018年新課標Ⅱ）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”,如30＝7＋23。在不超過30的素數中,隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是(）A.eq\f（1，12)B.eq\f（1,14)C.eq\f（1，15）D.eq\f（1,18）2．(2019年廣東中山模擬）袋子里有3個白球，4個黑球，5個紅球，某人一次抽取3個球，若每個球被抽到的機會均等，則該人抽到的球顏色互異的概率是（）A.eq\f（1，4）B。eq\f（1,3)C.eq\f(2,7)D。eq\f(3，11）3．(2014年陜西）如圖X9.2.1，從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()圖X9-2。1A.eq\f（1,5）B.eq\f（2，5)C。eq\f(3，5）D。eq\f(4，5）4．某商場進行購物摸獎活動，規則是：在一個封閉的紙箱中裝有標號分別為1,2，3，4，5的五個小球，每次摸獎需要同時取出兩個球,每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行第二次摸球．若與第一次取出的兩個小球號碼相同,則為中獎．按照這樣的規則摸獎，中獎的概率為()A.eq\f（4,5）B。eq\f(19,25）C.eq\f(23,50)D。eq\f(41，100）5．在平面直角坐標系中，從下列五個點：A(0，0)，B(2,0)，C(1，1)，D（0,2），E（2,2)中任取三個，這三點能構成三角形的概率是（）A.eq\f(2,5)B.eq\f(3，5）C。eq\f（4，5）D．16．齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現從雙方的馬匹中各隨機選一匹進行一場比賽，則田忌馬獲勝的概率為（)A.eq\f(1，3）B。eq\f(1，4）C.eq\f(1,5)D.eq\f（1,6)7．（多選)甲、乙、丙三人在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7門學科中任選3門．若同學甲必選物理,則下列說法正確的是（）A．甲、乙、丙三人至少一人選化學與全選化學是對立事件B．甲的不同的選法種數為15C．已知乙同學選了物理，乙同學選技術的概率是eq\f(1,6)D．乙、丙兩名同學都選物理的概率是eq\f(9，49）8．（多選）設集合M＝{2，3,4},N＝｛1，2，3，4},分別從集合M和N中隨機取一個元素m與n。記“點P（m，n）落在直線x＋y＝k上”為事件Ak(3≤k≤8,k∈N＊），若事件Ak的概率最大,則k的取值可能是（）A．4B．5C．6D．79．某人在微信群中發了一個7元“拼手氣"紅包,被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領到整數元，且每人至少領到1元，則甲領取的錢數不少于其他任何人的概率是________．10．（2019年北京）改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來,移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額不大于2000元大于2000元僅使用A的人數/人273僅使用B的人數/人241(1）估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數;(2）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；（3)已知上個月樣本學生支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發現他本月的支付金額大于2000元．結合（2)的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化?說明理由．

11．(2016年山東）某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉動如圖X9。2-2所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區域中的數．設兩次記錄的數分別為x，y.獎勵規則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶．假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由．圖X9。2。212．(2017年山東）某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2,A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．

第2講古典概型1．C解析：不超過30的素數有2，3,5，7，11,13，17,19,23，29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數有Ceq\o\al（2,10)種不同的取法，其中兩素數相加等于30的有7和23,11和19，13和17，共有3種情況,∴所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2，10））＝eq\f(1,15)。故選C。2．D解析：基本事件總數為Ceq\o\al（3，12)＝220（種），該人抽到的球顏色互異的情況有3×4×5＝60(種），故所求概率為eq\f(60,220）＝eq\f(3,11）。故選D.3．C4．C解析：按照這樣的規則摸獎,第一次中獎的概率為eq\f（4,C\o\al(2,5））＝eq\f（2,5)。第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行第二次摸球．若與第一次取出的兩個小球號碼相同，中獎的概率為eq\f(3,5）×eq\f(1,10）＝eq\f(3,50).∴按照這樣的規則摸獎，中獎的概率為eq\f(2,5）＋eq\f（3,50）＝eq\f（23,50)。5．C解析：從5個點中取3個點,列舉得ABC，ABD,ABE,ACD，ACE，ADE，BCD,BCE，BDE,CDE共有10個基本事件，而其中ACE,BCD兩種情況三點共線，其余8個均符合題意，故能構成三角形的概率為eq\f（8，10)＝eq\f（4，5).故選C.6．A解析：設齊王的上等馬、中等馬和下等馬分別是A，B，C，田忌的上等馬、中等馬和下等馬分別是a,b，c，則總的基本事件有(A,a)，（A，b)，(A，c),（B，a)，（B，b），（B，c)，（C，a），(C，b)，(C，c)，共9種,田忌馬獲勝的基本事件有（B，a)，(C，a），(C,d），共3種，故概率為eq\f(1，3)。故選A。7．BD8.BC9。eq\f（2,5)解析：由題意得共有（1，1,5),(1，5，1),（5,1,1)，（1,2,4），（1,4，2），（2，1，4)，(2，4,1）,(4,1，2）,(4,2,1），（1，3,3)，（3,1，3），(3，3，1)，(2,2,3)，（2，3,2），(3,2，2）這15種可能,其中甲領取的錢數不少于其他任何人的可能有(5，1,1)，(4，1，2),(4,2，1），（3，1,3），（3,3，1），(3，2,2)這6種，∴所求概率為eq\f（6,15）＝eq\f（2，5).10．解:（1)由圖表可知僅使用A的人數有30人,僅使用B的人數有25人，由題意知A，B兩種支付方式都不使用的有5人，∴樣本中兩種支付方式都使用的有100－30－25－5＝40（人)，∴全校學生中兩種支付方式都使用的有eq\f(40,100)×1000＝400（人)．(2）∵樣本中僅使用B的學生共有25人，只有1人支付金額大于2000元,∴該學生上個月支付金額大于2000元的概率為eq\f(1,25）。（3）由(2)知支付金額大于2000元的概率為eq\f(1,25),∵從僅使用B的學生中隨機調查1人,發現他本月的支付金額大于2000元，依據小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能發生的，∴可以認為僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化,且比上個月多．11．解：用數對（x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數，則基本事件空間Ω與點集S＝{(x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應．∵S中元素個數是4×4＝16，∴基本事件總數為n＝16。（1)記“xy≤3”為事件A。則事件A包含的基本事件共有5個，即(1，1），(1,2)，（1,3)，（2，1)，（3，1）．∴P（A)＝eq\f（5，16),即小亮獲得玩具的概率為eq\f（5,16）。（2)記“xy≥8"為事件B,“3<xy〈8”為事件C。則事件B包含的基本事件共有6個，即（2,4），(3，3），(3,4)，（4,2）,(4，3)，(4,4)．∴P（B)＝eq\f(6,16)＝eq\f（3,8)。則事件C包含的基本事件共有5個，即（1,4)，(2，2)，(2,3)，（3，2），（4,1)．∴P（C)＝eq\f(5，16）。∵eq\f(3，8)〉eq\f（5,16)，∴小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．12．解：(1）由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結果組成的基本事件有:(A1，A2），（A1,A3)，(A2,A3），（A1，B1），（A1，B2)，（A1，B3），(A2,B1），(A2,B2),（A2,B3），(A3，B1），（A3，B2），(A3,B3），(B1,B2），（B1，B3)，(B2,B3）,共15個．所選2個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：(A1，A2)，（A1，A3)，（A2,A3）,共3個．則所求事件的概率為：P＝eq\f(3，15)＝eq\f(1,5）.（2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結果組成的基本事件有：（A1