圖與網絡模型第一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日1引言

圖論是應用非常廣泛的運籌學分支，它已經廣泛地應用于物理學控制論，信息論，工程技術，交通運輸，經濟管理，電子計算機等各項領域。對于科學研究，市場和社會生活中的許多問題，可以同圖論的理論和方法來加以解決。例如，各種通信線路的架設，輸油管道的鋪設，鐵路或者公路交通網絡的合理布局等問題，都可以應用圖論的方法，簡便、快捷地加以解決。第二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日2

隨著科學技術的進步，特別是電子計算機技術的發展，圖論的理論獲得了更進一步的發展，應用更加廣泛。如果將復雜的工程系統和管理問題用圖的理論加以描述，可以解決許多工程項目和管理決策的最優問題。因此，圖論越來越受到工程技術人員和經營管理人員的重視。第三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日3

1736年瑞士科學家歐拉發表了關于圖論方面的第一篇科學論文，解決了著名的哥尼斯堡七座橋問題。德國的哥尼斯堡城有一條普雷格爾河，河中有兩個島嶼，河的兩岸和島嶼之間有七座橋相互連接，如圖1a所示。第四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日4AB圖1aCD第五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日5

當地的居民熱衷于這樣一個問題，一個漫步者如何能夠走過這七座橋，并且每座橋只能走過一次，最終回到原出發地。盡管試驗者很多，但是都沒有成功。為了尋找答案，1736年歐拉將這個問題抽象成圖1b所示圖形的一筆畫問題。即能否從某一點開始不重復地一筆畫出這個圖形，最終回到原點。歐拉在他的論文中證明了這是不可能的，因為這個圖形中每一個頂點都與奇數條邊相連接，不可能將它一筆畫出，這就是古典圖論中的第一個著名問題。第六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日6圖1bACDB第七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日7§1圖與網絡的基本概念

在實際的生產和生活中，人們為了反映事物之間的關系，常常在紙上用點和線來畫出各式各樣的示意圖。例1:圖8-1是我國北京、上海、重慶等十四個城市之間的鐵路交通圖，這里用點表示城市，用點與點之間的線表示城市之間的鐵路線。諸如此類還有城市中的市政管道圖，民用航空線圖等等。第八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日8太原重慶武漢南京徐州連云港上海鄭州石家莊塘沽青島濟南天津北京圖11-1第九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日9

例2:有六支球隊進行足球比賽，我們分別用點v1…v6表示這六支球隊，它們之間的比賽情況，也可以用圖反映出來，已知v1隊戰勝v2隊，v2隊戰勝v3隊，v3隊戰勝v5隊，如此等等。這個勝負情況，可以用圖8-2所示的有向圖反映出來。第十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日10v3v1v2v4v6v5圖8-2第十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日11例3：在一個人群中，對相互認識這個關系我們可以用圖來表示，圖11-3就是一個表示這種關系的圖。(v1)趙(v2)錢(v3)孫(v4)李(v5)周(v6)吳(v7)陳e2e1e3e4e5圖8-3第十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日12

當然圖論不僅僅是要描述對象之間關系，還要研究特定關系之間的內在規律，一般情況下圖中點的相對位置如何、點與點之間聯線的長短曲直，對于反映對象之間的關系并不是重要的，如對趙等七人的相互認識關系我們也可以用圖8-4來表示。(v1)趙(v2)錢孫(v3)李(v4)周(v5)吳(v6)陳(v7)e2e1e3e4e5圖8-4第十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日13

從以上的幾個例子可以看出，我們用點和點之間的線所構成的圖，反映實際生產和生活中的某些特定對象之間的特定關系。一般來說，通常用點表示研究對象用點與點之間的線表示研究對象之間的特定關系。由于在一般情況下，圖中的相對位置如何，點與點之間線的長短曲直，對于反映研究對象之間的關系，顯的并不重要，因此，圖論中的圖與幾何圖，工程圖等本質上是不同的。第十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日14a1a2a3a4a14a7a8a9a6a5a10a12a11a13a15(v1)趙(v2)錢(v3)孫(v4)李(v5)周(v6)吳(v7)陳圖11-5如果我們把上面例子中的“相互認識”關系改為“認識”的關系，那么只用兩點之間的聯線就很難刻畫他們之間的關系了，這是我們引入一個帶箭頭的聯線，稱為弧。圖11-5就是一個反映這七人“認識”關系的圖。相互認識用兩條反向的弧表示。第十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日15

§1圖與網絡的基本概念無向圖：由點和邊構成的圖，記作G=（V，E）。有向圖：由點和弧構成的圖，記作D=（V，A）。第十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日16次（度）：與頂點關聯的邊數。簡單圖：沒有環和重邊的圖。懸掛點：次為1的點。懸掛邊：次為1的邊。孤立點：次為0的點。(e8)=(v4，v4),稱為自回路(環)；v6是孤立點，v5為懸掛點，e7為懸掛邊，頂點v3的次為4，頂點v2的次為3。第十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日17定理1：在一個圖中，所有頂點次的和等于邊的兩倍。定理2：在任意一個圖中，奇頂點的個數必為偶數。第十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日18圈（Circuit）封閉的鏈稱為圈如：μ={(1,2),(2,4),(4,3),(3,1}

鏈:由圖G中的某些點與邊相間構成的序列{V1,e1,V2,e2,……,Vk,ek},若滿足ei=[Vi,Vi],則稱此點邊序列為G中的一條鏈。如：μ={(1,2),(3,2),(3,4)}4231第十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日19回路：若路的第一個點和最后一個點相同，則該路為回路。賦權圖：對一個無向圖G的每一條邊(vi,vj)，相應地有一個數wij，則稱圖G為賦權圖，wij稱為邊(vi,vj)上的權。網絡：

在賦權的圖D中指定一點，稱為發點，指定另一點稱為收點，其它點稱為中間點，并把D中的每一條弧的賦權數稱為弧的容量，D就稱為網絡。第二十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日20連通圖：對無向圖G，若任何兩個不同的點之間，至少存在一條鏈，則G為連通圖。第二十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日21二、圖的矩陣表示

圖非常直觀，但是不容易計算，特別不容易在計算機上進行計算，一個有效的解決辦法是將圖表示成矩陣形式，通常采用的矩陣是鄰接矩陣、邊長鄰接矩陣、弧長矩陣和關聯矩陣。第二十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日221鄰接矩陣

鄰接矩陣A表示圖G的頂點之間的鄰接關系，它是一個n×n的矩陣，如果兩個頂點之間有邊相聯時，記為1，否則為0。第二十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日23v1v2v3v4第二十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日24

v1v2v3v4v10111v21110v31101v41010無向圖的鄰接矩陣是對稱矩陣。v1v2v3v4第二十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日25v1v5v4v3v2也可以對有向圖第二十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日26

v1v2v3v4v5v100011v210010v301100v401101v510010第二十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日27二、邊長矩陣

在圖的各邊上一個數量指標，具體表示這條邊的權（距離，單價，通過能力等）——賦權圖或網絡。以邊長代替鄰接矩陣中的元素得到邊長矩陣。第二十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日28v1v2v3v4256434第二十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日29

v1v2v3v4v10256v22430v35304v46040第三十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日303弧長矩陣對有向圖的弧可以用弧長矩陣來表示。其中0表示兩點之間沒有弧連接。第三十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日31v1v5v4v3v2142322612第三十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日32

v1v2v3v4v5v1010

02v200204v302010

v403206v50

0

0

00第三十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日33§2最短路問題最短路問題：對一個賦權的有向圖D中的指定的兩個點Vs和Vt找到一條從Vs

到Vt

的路，使得這條路上所有弧的權數的總和最小，這條路被稱之為從Vs到Vt的最短路。這條路上所有弧的權數的總和被稱為從Vs到Vt的距離。第三十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日34最短路徑問題是圖論中十分重要的最優化問題之一，它作為一個經常被用到的基本工具，可以解決生產實際中的許多問題，比如城市中的管道鋪設，線路安排，工廠布局，設備更新等等。也可以用于解決其它的最優化問題。第三十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日35一、求解最短路的Dijkstra算法(雙標號法）步驟：1.給出點V1以標號(0,s)2.找出已標號的點的集合I，沒標號的點的集合J以及弧的集合3.如果上述弧的集合是空集，則計算結束。如果vt已標號（lt,kt），則vs到vt的距離為lt，而從vs到vt的最短路徑，則可以從kt

反向追蹤到起點vs

而得到。如果vt

未標號，則可以斷言不存在從vs到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，則轉下一步。4.對上述弧的集合中的每一條弧，計算sij=li+cij

。在所有的sij中，找到其值為最小的弧。不妨設此弧為（Vc,Vd），則給此弧的終點以雙標號（scd,Vc）,返回步驟2。第三十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日36例：求v1至v8的最短路。v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682第三十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日37(1)v1:[0,v1]計算min{0+2,0+1,0+3}=min{2,1,3}=1v4:[1.v1]v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682[1,v1][0,v1](2)I={v1}檢查弧（v1,v2),(v1,v4),(v1,v6)第三十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日38v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(3)I={v1,v4}計算min{0+2,0+3,1+10,1+2}=min{2,3,11,3}=2v2:[2,v1][0,v1][1,v1][2,v1]考慮弧（v1,v2),(v1,v6),(v4,v2),(v4,v7)第三十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日39v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682（4）I={v1,v2,v4}

計算min{0+3,2+6,2+5,1+2}=min{3,8,7,3}=3v6:[3,v1][2,v1][1,v1][0,v1][3,v1]考慮弧（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)第四十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日40v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(5)I={V1,V2,V4,V6}計算min{2+6,2+5,1+2,3+4}=min{8,7,3,7}=3v7:[3,v4][2，V1][1，V1][0，V1][3，V1][3,v4]考慮弧(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7),(v6,v7)第四十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日41V2V3V7V1V8V4V5V66134105275934682(6)I={V1,V2,V4,V6,V7}計算min{2+6,2+5,3+3,3+8}=min{8,7,6,11}=6v5:[6,v7][2,v1][1,v1][0,v1][3,v1][3,v4][6,v7]考慮弧(v2,v3),(v2,v5),(v7,v5),(v7,v8)第四十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日42v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(7)I={V1,V2,V4,V6,V7}計算min{2+6,6+9,6+4,3+8}=min{8,15,10,11}=8v3:[8,v2][2,V1][1,V1][0,V1][3,V1][3,V4][6,V7][8,v2]考慮弧(v2,v3),(v5,v3),(v5,v8),(v7,v8)第四十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日43v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(8)I={v1,v2,v3,v4,v6,v7}

計算min{8+6,6+4,3+7}=min{14,10,11}=10v8:[10,v5][2,v1][1,v1][0,v1][3,v1][3,v4][6,v7][8,v2][10,v5]考慮弧（v3,v8),(v5,v8),(v7,v8)第四十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日44v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(9)I={v1,v2,v3,v4,v6,v7,v8}v1到v8的最短路徑為v1—v4—v7—v5—v8，最短路長度為10。[2,v1][1,v1][0,v1][3,v1][3,v4][6,v7][8,v2][10,v5]反向追蹤：v8-v5-v7-v4-v1第四十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日45

例2求下圖中v1到v6的最短路v23527531512v1v6v5v3v4第四十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日46解：采用Dijkstra算法，可解得最短路徑為v1v3v4v6

各點的標號圖如下：(3,1)v23527531512

V1（0,s)v5(8,4)v6(2,1)v3(3,3)v4第四十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日47

例3電信公司準備在甲、乙兩地沿路架設一條光纜線，問如何架設使其光纜線路最短？下圖給出了甲乙兩地間的交通圖。權數表示兩地間公路的長度（單位：公里）。

V1（甲地）15176244431065v2V7（乙地）v3v4v5v6第四十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日48解：這是一個求無向圖的最短路的問題。可以把無向圖的每一邊（vi,vj）都用方向相反的兩條弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化為有向圖，即可用Dijkstra算法來求解。也可直接在無向圖中用Dijkstra算法來求解。只要在算法中把從已標號的點到未標號的點的弧的集合改成已標號的點到未標號的點的邊的集合即可。第四十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日49最終解得：最短路徑v1v3v5v6v7，每點的標號見下圖（0,s）

V1（甲地）1517624431065(13,3)v2

(22,6)V7（乙地）V5(14,3)V6(16,5)

V3(10,1)

V4(18,5)第五十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日50

例4:設備更新問題。某公司使用一臺設備，在每年年初，公司就要決定是購買新的設備還是繼續使用舊設備。如果購置新設備，就要支付一定的購置費，當然新設備的維修費用就低。如果繼續使用舊設備，可以省去購置費，但維修費用就高了。請設計一個五年之內的更新設備的計劃，使得五年內購置費用和維修費用總的支付費用最小。第五十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日51年份12345年初價格1111121213使用年數0-11-22-33-44-5每年維修費用5681118已知：設備每年年初的價格表維修價格表：第五十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日52例4的解：將問題轉化為最短路問題，如下圖：用vi表示“第i年年初購進一臺新設備”,弧（vi,vj）表示第i年年初購進的設備一直使用到第j年年初。v1v2v3v4v5v6第五十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日53123456116223041592162230413172331417235186所有弧的權數計算如下表：第五十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日54

(繼上頁)把權數賦到圖中，再用Dijkstra算法求最短路。

v1v2v3v4v5v6162230415916223041312317181723第五十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日55最終得到下圖，可知，v1到v6的距離是53，最短路徑有兩條：

v1v3v6和v1v4v6

V1（0,s）v3v4(41,1)v5v62230415916(22,1)3041312317181723

V2（16,1）16(30,1)(53,3)(53,4)第五十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日56例：某交通網絡如下圖，求v1到v8的最短路線v1v2v4v5v6v7v86312216104310446練習：求最短路第五十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日57樹是圖論中的重要概念，所謂樹就是一個無圈的連通圖。

圖8-11中，(a)就是一個樹，而(b)因為圖中有圈所以就不是樹，(c)因為不連通所以也不是樹。圖8-11v1v2v3v4v5v6v7v8v9v1v2v3v5v8v7v6v4v1v2v3v4v5v7v6v8v9(a)(b)(c)8.3最小生成樹問題第五十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日58

給了一個無向圖G=(V,E)，我們保留G的所有點，而刪掉部分G的邊或者說保留一部分G的邊，所獲得的圖G，稱之為G的生成子圖。在圖8-12中，(b)和(c)都是(a)的生成子圖。如果圖G的一個生成子圖還是一個樹，則稱這個生成子圖為生成樹，在圖8-12中，(c)就是(a)的生成樹。最小生成樹問題就是指在一個賦權的連通的無向圖G中找出一個生成樹，并使得這個生成樹的所有邊的權數之和為最小。圖8-12(a)(b)(c)第五十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日59樹的性質243512435124351如果樹T有m個結點，則邊的個數為m-1。

樹中任意兩個節點間有且只有一條鏈。

在樹中任意去掉一條邊，則不連通。第六十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日60定理圖G有生成樹的充分必要條件為圖是連通圖。定義（最優樹）在賦權圖G中，一棵生成樹所有樹枝上權的和，稱為生成樹的權。具有最小權的生成樹，稱為最優樹（或最小樹）。求最小樹的方法有破圈法和避圈法。第六十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日61一求解最小支撐樹問題的破圈法方法：去邊破圈的過程。步驟：1）在給定的賦權的連通圖上任找一個圈。

2）在所找的圈中去掉一條權數最大的邊。

3）若所余下的圖已不含圈，則計算結束，余下的圖即為最小支撐樹，否則返回1）。第六十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日62423142314231生成樹2生成樹3生成樹1////例：用破圈法求右圖的最小支撐樹。4231

74581總權數=3+4+1=8第六十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日63二求解最小支撐樹的避圈法方法：選邊的過程。步驟：1）從網絡中任意選一點vi，找出與vi相關聯的權最小的邊[vi,vj]，得第二個頂點vj。

2）把頂點集V分為互補得兩部分A,ā，其中：

A：與已選邊相關聯得點集

ā

：不與已選邊相關聯得點集第六十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日64

3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈A,vj∈ā,挑選其中權最小的。

4）重復3），直至全部頂點均屬于A即可。V4V2V3V1

74581例：用避圈法求由圖的最小支撐樹。第六十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日65①任選點v1，挑與之相關聯的權最小的邊（v1,v4）.②A={v1,v4},ā={v3,v2}

從邊（v1,v3）,（v1,v2）,（v2,v4）,（v4,v3）中選權最小的邊（v1,v2）。V4V2V3V1

74581③A={v1,v2,v4},ā={v3}

從邊（v1,v3）,（v2,v3）,（v3,v8）中選權最小的邊（v2,v3）。④A={v1,v2,v3，

v4}第六十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日66

例5、某大學準備對其所屬的7個學院辦公室計算機聯網，這個網絡的可能聯通的途徑如下圖，圖中v1,…,v7

表示7個學院辦公室，請設計一個網絡能聯通7個學院辦公室，并使總的線路長度為最短。

v1331728541034v7v6v5v4v2v3圖8-14第六十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日67解：此問題實際上是求圖8-14的最小生成樹，這在例4中已經求得，也即按照圖8-13的(f)設計，可使此網絡的總的線路長度為最短，為19百米。“管理運籌學軟件”有專門的子程序可以解決最小生成樹問題。第六十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日68v1v7v4v3v2v5v620159162532817412336練習用破圈法或者避圈法求最小生成樹

第六十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日69v1v7v4v3v2v5v693174123總造價=1+4+9+3+17+23=57第七十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日70§4最大流問題最大流問題：給一個帶收發點的網絡，其每條弧的賦權稱之為容量，在不超過每條弧的容量的前提下，求出從發點到收點的最大流量。第七十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日71一、最大流的數學模型例6某石油公司擁有一個管道網絡，使用這個網絡可以把石油從采地運送到一些銷售點，這個網絡的一部分如下圖所示。由于管道的直徑的變化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一樣的。cij的單位為萬加侖/小時。如果使用這個網絡系統從采地v1向銷地v7運送石油，問每小時能運送多少加侖石油？63522241263v1v2v7v4v3v6圖8-26v5第七十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日72

我們可以為此例題建立線性規劃數學模型：設弧(vi,vj)上流量為fij，網絡上的總的流量為F，則有：第七十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日73

在這個線性規劃模型中，其約束條件中的前6個方程表示了網絡中的流量必須滿足守恒條件，發點的流出量必須等于收點的總流入量；其余的點稱之為中間點，它的總流入量必須等于總流出量。其后面幾個約束條件表示對每一條弧(vi,vj)的流量fij要滿足流量的可行條件，應小于等于弧(vi,vj)的容量cij，并大于等于零，即0≤fij≤cij。我們把滿足守恒條件及流量可行條件的一組網絡流{fij}稱之為可行流，（即線性規劃的可行解），可行流中一組流量最大（也即發出點總流出量最大）的稱之為最大流（即線性規劃的最優解）。

第七十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日74二、最大流問題網絡圖論的解法

對網絡上弧的容量的表示作改進。為省去弧的方向，如下圖:(a)和(b)、(c)和(d)的意義相同。

vivjvivjcij0（a）（b）

cijcijvivj（cji）（c）vivj

cij

cji（d）第七十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日75用以上方法對例6的圖的容量標號作改進，得下圖63522241263v1v2v5v7v4v3v600000000000第七十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日76

求最大流的基本算法（1）找出一條從發點到收點的路，在這條路上的每一條弧順流方向的容量都大于零。如果不存在這樣的路，則已經求得最大流。（2）找出這條路上各條弧的最小的順流的容量pf，通過這條路增加網絡的流量pf。（3）在這條路上，減少每一條弧的順流容量pf

，同時增加這些弧的逆流容量pf，返回步驟（1）。

第七十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日77用此方法對例6求解：第一次迭代：選擇路為v1v4v7

。弧（v4,

v7

）的順流容量為2，決定了pf=2，改進的網絡流量圖如下圖：第七十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日7863522241263v1v2v5v7v4v3v6000000000004202第七十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日79

第二次迭代：選擇路為v1v2v5v7

。弧（v2,

v5

）的順流容量為3，決定了pf=3，改進的網絡流量圖如下圖：

635222413v1v2v5v7v4v3v60000000042022033303第八十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日80第三次迭代：選擇路為v1v4v6v7

。弧（v4,

v6

）的順流容量為1，決定了pf=1，改進的網絡流量圖如下圖：222413v1v2v5v7v4v3v600100042022033333013第八十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日81

第四次迭代：選擇路為v1v4v3v6v7

。弧（v3,

v6

）的順流容量為2，決定了pf=2，改進的網絡流量圖如下圖：

22243v1v2v5v7v4v3v61100012032033350312002333第八十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日82第五次迭代：選擇路為v1v2v3v5v7

。弧（v2,

v3

）的順流容量為2，決定了pf=2，改進的網絡流量圖如下圖：22v1v2v5v7v4v3v61012020333501202333150020205第八十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日83

經過第五次迭代后在圖中已經找不到從發點到收點的一條路，路上的每一條弧順流容量都大于零，運算停止。得到最大流量為10。最大流量圖如下圖：22v1v2v5v7v4v3v6123522355第八十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日84練習：求從發點V1到收點V7的最大流。弧的流量放在括號內。如圖.V=20v1v2v34v5v6v786314383410764第八十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日85§5最小費用最大流問題最小費用最大流問題：給了一個帶收發點的網絡，對每一條弧（vi,vj），除了給出容量cij外，還給出了這條弧的單位流量的費用bij，要求一個最大流F，并使得總運送費用最小。第八十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日86一、最小費用最大流的數學模型例7由于輸油管道的長短不一，所以在例6中每段管道（vi,vj

）除了有不同的流量限制cij外，還有不同的單位流量的費用bij

，cij的單位為萬加侖/小時，bij的單位為百元/萬加侖。如圖。從采地v1向銷地v7運送石油，怎樣運送才能運送最多的石油并使得總的運送費用最小？求出最大流量和最小費用。第八十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日87v7(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(2,4)（2,3）(4,4)(1,3)(2,8)（3,2）v1v2v4v3v6(6,3)v5（Cij，Bij）第八十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日88

這個最小費用最大流問題也是一個線性規劃的問題。解：我們用線性規劃來求解此題，可以分兩步走。第一步，先求出此網絡圖中的最大流量F，這已在例6中建立了線性規劃的模型，通過管理運籌學軟件已經獲得結果。

第八十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日89第二步，在最大流量F的所有解中，找出一個最小費用的解，我們來建立第二步中的線性規劃模型如下：仍然設弧（vi,vj）上的流量為fij，這時已知網絡中最大流量為F，只要在例6的約束條件上，再加上總流量必須等于F的約束條件：f12+f14=F,即得此線性規劃的約束條件，此線性規劃的目標函數顯然是求其流量的最小費用。

由此得到線性規劃模型如下：第九十頁，共一百一十頁，2022年，8月28日90

第九十一頁，共一百一十頁，2022年，8月28日91

用管理運籌學軟件，可求得如下結果：f12=4,f14=6,f25=3,f23=1,f43=3,F57=5,f36=2,f46=1,f47=2,f67=3,f35=2。其最優值(最小費用)=145。第九十二頁，共一百一十頁，2022年，8月28日92如果我們把例7的問題改為：每小時運送6萬加侖的石油從采地v1到銷地v7最小費用是多少？應怎樣運送？這就變成了一個最小費用流的問題。

第九十三頁，共一百一十頁，2022年，8月28日93一般來說，所謂最小費用流的問題就是：在給定了收點和發點并對每條弧(vi,vj)賦權以容量cij及單位費用bij的網絡中，求一個給定值f的流量的最小費用，這個給定值f的流量應小于等于最大流量F，否則無解。第九十四頁，共一百一十頁，2022年，8月28日94求最小費用流的問題的線性規劃的模型只要把最小費用最大流模型中的約束條件中的發點流量F改為f即可。在例6中只要把f12+f14=F改為f12+f14=f=6得到了最小費用流的線性規劃的模型了。第九十五頁，共一百一十頁，2022年，8月28日95二、最小費用最大流的網絡圖論解法對網絡上弧（vi,vj）的（cij,bij）的表示作如下改動，用(b)來表示(a)。vivj（cij,bij）（0,-bji

）（b）（a）vivj（cij,bij）（cij,bij）vivj（cji,bji）（cij,bij）vivj（cji,bji）（0,-bji)（0,-bji)（c）（d）第九十六頁，共一百一十頁，2022年，8月28日96用上述方法對例7中的圖形進行改進，得圖如下(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(4,4)(1,3)(2,8)（3,2）v1v2v5v7v4v3v6(6,3)(0,-3)(0,-8)(0,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(0,-4)（0,-3）圖8-28第九十七頁，共一百一十頁，2022年，8月28日97

求最小費用最大流的基本算法在對弧的標號作了改進的網絡圖上求最小費用最大流的基本算法與求最大流的基本算法完全一樣，不同的只是在步驟（1）中要選擇一條總的單位費用最小的路，而不是包含邊數最小的路。第九十八頁，共一百一十頁，2022年，8月28日98用上述方法對例7求解：第一次迭代：找到最短路v1v4v6v7。第一次迭代后總流量為1，總費用10。v5(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(3,4)(0,3)(2,8)（3,2）v1v2v7v4v3v6(5,3)(1,-3)(0,-8)(1,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(1,-4)（0,-3）圖8-29第九十九頁，共一百一十頁，2022年，8月28日99第二次迭代：找到最短路v1v4v7。第二次迭代后總流量為3，總費用32。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(3,4)(0,3)(0,8)（3,2）v1v2v5v7v4v3v6(3,3)(3,-3)(2,-8)(1,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(1,-4)（0,-3）