塑性成形技術(shù)基礎(chǔ)第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日?qǐng)D2-12條件應(yīng)力-應(yīng)變曲線第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）屈雷斯加（Tresca)屈服準(zhǔn)則

材料（質(zhì)點(diǎn)）中的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一臨界值時(shí)，材料發(fā)生屈服，該臨界值取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。屈雷斯加屈服準(zhǔn)則又稱為最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，其表達(dá)式為:τmax=C第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日

式中C通過試驗(yàn)求得。由于C值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，常用簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)確定。當(dāng)試樣屈服時(shí)，σ2=σ3=0、σ1=σs，代入上式得C=1/2σs。于是，屈雷斯加屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

σ1-σ3=σs（2-14）第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日屈雷斯加屈服準(zhǔn)則存在的問題：

（1）若大小順序不知，無法使用。故有時(shí)也將其寫為：

（2）未考慮中間主應(yīng)力的影響。第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日3）密塞斯（mises)屈服準(zhǔn)則

當(dāng)受力物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力偏張量的第2不變量達(dá)到某一臨界值時(shí)，材料發(fā)生屈服，該臨界值取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。即：第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日式中C1通過試驗(yàn)求得。C1值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，用簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)確定。當(dāng)試樣屈服時(shí)，、代入上式得。于是，密塞斯屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:（2-15）第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日密塞斯屈服準(zhǔn)則的物理意義：

將上式兩邊各乘以，于是得：

第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日

左邊項(xiàng)為材料單位體積彈性形狀變化能，右邊項(xiàng)為單向拉伸屈服時(shí)，單位體積的形狀變化能。

密塞斯屈服準(zhǔn)則可以表述為：

材料質(zhì)點(diǎn)屈服的條件是當(dāng)其單位體積的彈性形狀變化能達(dá)到某一臨界值；該臨界值只取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。

稱為彈性形狀變化能準(zhǔn)則。第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日4）屈雷斯加和密塞斯屈服準(zhǔn)則的比較

為評(píng)價(jià)中間主應(yīng)力影響，引入應(yīng)力參數(shù)：代入密塞斯屈服準(zhǔn)則表達(dá)式，經(jīng)整理后得：

（2-16）

第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，、；當(dāng)

時(shí)，、；當(dāng)

時(shí)，、。由變化至

時(shí)，相應(yīng)的值變化范圍為1～。現(xiàn)以為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo),得隨變化的幾何圖形，如圖所示。第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日

圖4-13與的關(guān)系第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日

屈雷斯加屈服準(zhǔn)則，在和之間如何變化，。在圖2-13中為一水平線。

可見，在軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則是一致的；平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，兩個(gè)準(zhǔn)則的差別最大，達(dá)15.5％；在其余應(yīng)力狀態(tài)下，兩個(gè)準(zhǔn)則的差別小于15.5％，視中間應(yīng)力的相對(duì)大小而定。

第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.4塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

分析塑性變形問題，需要知道塑性變形時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)之間的關(guān)系。這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做本構(gòu)方程，也稱物理方程。

第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日1）塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)

彈性變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。彈性變形是可逆的，應(yīng)變由應(yīng)力狀態(tài)唯一確定，和應(yīng)力狀態(tài)如何達(dá)到的歷史無關(guān)。應(yīng)力應(yīng)變之間的這種線性關(guān)系，可由廣義虎克定律來描述。

第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日

塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)：

（1）塑性變形時(shí)體積不變；

（2）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的；

（3）應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重合；

（4）塑性變形是不可逆的。

外力去除后，塑性變形部分仍然保留下來。最終的塑性應(yīng)變狀態(tài)與加載的歷史有關(guān)。

第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日

質(zhì)點(diǎn)受應(yīng)力作用，發(fā)生塑性應(yīng)變，變?yōu)榱硪环N應(yīng)力狀態(tài)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)塑性應(yīng)變既有和新的應(yīng)力狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，又有應(yīng)力改變前保留下來的應(yīng)變，最終應(yīng)變是兩者之和。若加載一直受到后種應(yīng)力狀態(tài)作用，則產(chǎn)生的塑性應(yīng)變必然和前種情況下結(jié)果不同。即：最終應(yīng)力狀態(tài)一樣，但加載歷史不同，最終塑性應(yīng)變狀態(tài)不同。

第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日

離開加載歷史建立應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系是不可能的。一般，只能建立應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系。與某瞬時(shí)應(yīng)力狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的只是塑性應(yīng)變?cè)隽俊Ｒ髴?yīng)變?nèi)浚醇虞d過程各段增量積分。但加載過程中，各應(yīng)力分量始終保持比例關(guān)系，主軸的方向、順序不變，則塑性應(yīng)變分量也按比例增加。這時(shí)，塑性應(yīng)變?nèi)颗c應(yīng)力就有對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系。這種加載稱簡(jiǎn)單加載。

第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的概念

定義：

（2-17）

為等效應(yīng)力。在單向拉伸時(shí)，σ1=σ，σ2=σ3=0，代入上式，得=σ。顯然，等效應(yīng)力和單向拉伸時(shí)的應(yīng)力等效。

第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日定義：

為等效應(yīng)變。單向拉伸,，

代入上式，得。可見，等效應(yīng)變與單向拉伸時(shí)的應(yīng)變也是等效的。

（2-18）第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日3）增量理論

（1）基本假設(shè)條件

①理想剛塑性材料的假設(shè)，即彈性應(yīng)變?cè)隽繛榱悖苄詰?yīng)變?cè)隽烤褪强倯?yīng)變?cè)隽浚?/p>

②材料服從密塞斯屈服準(zhǔn)則，即：

第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日③塑性變形時(shí)體積不變，即：（2）列維-密塞斯方程（2-19）

第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日簡(jiǎn)記為：

①應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力偏量主軸（即應(yīng)力主軸）重合；

②應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力偏張量成正比。

（2-20）

第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日（3）圣維南塑性流動(dòng)方程

將式（2-20）兩邊各除以dt，得：

或：

（2-21）

第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日4）全量理論

（1）基本假設(shè)條件

①理想剛塑性材料的假設(shè)；

②塑性變形和彈性變形屬同一量級(jí)；

③加載過程符合簡(jiǎn)單加載條件，則應(yīng)力偏張量的各個(gè)分量與應(yīng)變偏張量的各個(gè)分量成正比。

第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日（2）伊留申理論

式中：

對(duì)于剛塑性材料，考慮到塑性變形時(shí)體積不變，，故有：

（2-22）

第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日

實(shí)際塑性變形過程，加載情況很難嚴(yán)格滿足簡(jiǎn)單加載條件，因此，該理論的應(yīng)用受到限制。但是，如果將簡(jiǎn)單加載條件適當(dāng)放寬，滿足主軸方向不變，主軸次序基本不變，則實(shí)踐表明，上述全量理論亦可近似應(yīng)用。

第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日求解塑性成形力學(xué)問題的基本方程（1）靜力平衡微分方程（2-11）第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日（2）小變形的幾何方程（2-13）第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日（3）塑性方程或：（2-14）（2-15）第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日（4）本構(gòu)方程（2-20）（2-22）

第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.5應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性和變形抗力影響

塑性指金屬在外力作用下發(fā)生永久變形而不破壞其完整性的能力；塑性高，金屬具有的塑性成形適應(yīng)能力強(qiáng)，可產(chǎn)生的塑性變形大。對(duì)金屬施加的外力稱為變形力；金屬抵抗變形的力稱為變形抗力，它反映金屬變形的難易程度。

第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日1）應(yīng)力狀態(tài)對(duì)材料塑性的影響

應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性的影響，實(shí)際上是通過靜水壓力σ0起作用的。壓應(yīng)力個(gè)數(shù)越多、數(shù)值越大，則靜水壓力就越大，材料的塑性越好；反之，拉應(yīng)力個(gè)數(shù)越多、數(shù)值越大，靜水壓力小，材料的塑性也越差。

原因如下：

第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日（1）拉應(yīng)力會(huì)促使晶間變形，加速晶界破壞，壓應(yīng)力阻止或減少晶間變形；壓應(yīng)力作用的增強(qiáng)，晶間變形愈加困難。

（2）壓應(yīng)力作用有利于塑性變形過程中形成的各種損傷的愈合；而拉應(yīng)力則相反，會(huì)促使損傷的發(fā)展。第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日（3）壓應(yīng)力作用能抑制材料中原存在的各種缺陷的發(fā)展，部分或全部地消除其危害。

（4）壓應(yīng)力作用可抵消不均勻變形所引起的附加拉應(yīng)力，從而有利于防止裂紋的產(chǎn)生。第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）應(yīng)力狀態(tài)對(duì)變形抗力的影響

塑性成形時(shí)材料的變形抗力與應(yīng)力狀態(tài)有著密切的關(guān)系。可用屈服準(zhǔn)則來解釋。設(shè)有兩個(gè)同材質(zhì)的單元體，其應(yīng)力狀態(tài)分別為三向壓縮和兩壓一拉（見圖2-14），

第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日?qǐng)D2-14三向同號(hào)和異號(hào)應(yīng)力狀態(tài)下的屈服準(zhǔn)則第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日

根據(jù)屈服準(zhǔn)則可知，為了使該單元體發(fā)生塑性變形，對(duì)于三向壓力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：

即：

第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日對(duì)于而兩壓一拉應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：

即：

顯然，第一種情況下的絕對(duì)值（即變形抗力）要比第二種情況下的大。

第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日

還可以這樣理解：為了使滑移發(fā)生，滑移面上的剪應(yīng)力應(yīng)達(dá)到臨界值。在同號(hào)主應(yīng)力狀態(tài)下，各主應(yīng)力在滑移面上所引起的剪應(yīng)力分量總要相互抵消一部分；在異號(hào)主應(yīng)力狀態(tài)下卻是相互疊加的。因此，對(duì)于第一種情況，需要施加更大的外力（即增大），方能使該面上剪應(yīng)力達(dá)到臨界值而發(fā)生滑移。第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.6真實(shí)應(yīng)力—應(yīng)變曲線

1）條件應(yīng)力—應(yīng)變曲線

在室溫、靜力拉伸條件下，在萬能材料實(shí)驗(yàn)機(jī)上用標(biāo)準(zhǔn)式樣求得退火低碳鋼的條件應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖2-26所示。其中：

，第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日?qǐng)D2-15條件應(yīng)力-應(yīng)變曲線第四十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日

事實(shí)上，此曲線并不代表材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，原因是：

（1）A0—試樣原始面積；

（2）試樣產(chǎn)生縮頸后會(huì)產(chǎn)生形狀硬化，處于三向不均勻拉應(yīng)力狀態(tài)；

（3）線應(yīng)變不科學(xué)，不能代表真實(shí)應(yīng)變。第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日?qǐng)D2－16縮頸處斷面應(yīng)力分布第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）用拉伸試驗(yàn)繪制真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線

定義：材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下，單位面積上的變形力稱為真實(shí)應(yīng)力或流動(dòng)應(yīng)力。

在未產(chǎn)生縮頸均勻拉伸階段，有：

第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日真實(shí)應(yīng)力：真實(shí)應(yīng)變：第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日

在產(chǎn)生縮頸后，真實(shí)應(yīng)力：真實(shí)應(yīng)變：第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日3）實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線的近似數(shù)學(xué)表達(dá)式

為計(jì)算方便，需將試驗(yàn)所得的真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線，用一數(shù)學(xué)表達(dá)式來近似描述。研究表明，很多金屬材料的真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線可以簡(jiǎn)化成冪強(qiáng)化模型，用冪次式表示為：

第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日

上述函數(shù)所代表的幾何圖形，隨著B、n的不同而變化，不同材料的試驗(yàn)曲線各不一樣。為使理論曲線能較好地?cái)M合實(shí)際曲線，必須合理確定B和n值。根據(jù)理論曲線必須通過實(shí)際曲線失穩(wěn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使兩條曲線在失穩(wěn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的斜率相等的條件，可以導(dǎo)出：第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日4）變形溫度和應(yīng)變速率的影響

(1)溫度的影響

溫度升高，真實(shí)應(yīng)力S和硬化速率降低；再結(jié)晶時(shí)，真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線趨于一水平線，原因：溫度升高，原子動(dòng)能增加，原子結(jié)合力減弱，臨界剪應(yīng)力降低；發(fā)生回復(fù)或再結(jié)晶，部分或全部消除硬化；晶界滑移易于發(fā)生，減小晶界對(duì)晶內(nèi)變形阻礙作用；擴(kuò)散性蠕變作用加強(qiáng)。第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日?qǐng)D2-17不同溫度下應(yīng)變速率對(duì)真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線的影響a）冷變形b）溫變形c）熱變形第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日(2)應(yīng)變速率的影響

應(yīng)變速率增加，真實(shí)應(yīng)力亦增加，但增加的程度與變形溫度有關(guān)，冷變形時(shí)增加的程度小，熱變形時(shí)增加的程度大。第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日原因是：

★應(yīng)變速率增加，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度加快，使臨界剪應(yīng)力增加；

★變形是在較高溫度下進(jìn)行，由于沒有足夠時(shí)間進(jìn)行回復(fù)或再結(jié)晶，影響金屬的軟化效果，擴(kuò)散性蠕變作用也不能充分發(fā)揮；

第五十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日★隨著應(yīng)變速率的增加，溫度效應(yīng)亦增加，它導(dǎo)致真實(shí)應(yīng)力的降低；

★冷變形時(shí)的溫度效應(yīng)大，由此引起的真實(shí)應(yīng)力的降低必然比熱變形時(shí)的降低顯著。

第五十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日

兩方面因素相互抵消的結(jié)果，造成隨著應(yīng)變速率增加，真實(shí)應(yīng)力增加，冷變形增加程度比熱變形小。第五十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.7主應(yīng)力法求解塑性成形力學(xué)問題舉例

1）求圓柱體鐓粗時(shí)接觸面上壓應(yīng)力分布、總變形力和單位面積變形力。

已知：圓柱體的直徑為d，高度為h，

材料屈服點(diǎn)為，采用常摩擦條件

第五十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日求解：鐓粗時(shí)接觸面上的壓力

總變形力F

和單位面積變形力p

解：

1）切取有代表性的基元體（切塊法）圓柱體的幾何尺寸及基元體如圖所示。第五十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日?qǐng)D2-18圓柱體鐓粗

第五十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）對(duì)基元體列靜力平衡方程

，略去無窮小項(xiàng)，則上式化簡(jiǎn)成：

軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)，故：，又：

則有：第五十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日3）引入主應(yīng)力假設(shè)，列近似屈服方程，得：

，

4）對(duì)近似平衡方程和近似屈服方程進(jìn)行聯(lián)解，積分常數(shù)根據(jù)應(yīng)力邊界條件確定。