2022-2023學年江蘇省連云港市成考專升本高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程y''-2y'=x的特解應設為A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+C

2.

3.

4.

5.

6.

7.A.2B.1C.1/2D.-2

8.

9.

10.

11.設y=2-x，則y'等于()。A.2-xx

B.-2-x

C.2-xln2

D.-2-xln2

12.

13.函數y=f(x)在(a，b)內二階可導，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，則曲線y=f(x)在(a，b)內()．

A.單調增加且為凹B.單調增加且為凸C.單調減少且為凹D.單調減少且為凸14.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

15.當x→0時，x是ln(1+x2)的

A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小16.微分方程y’-4y=0的特征根為（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

17.微分方程y′-y=0的通解為()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

18.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.設y=cosx，則y'=______

26.函數f(x)=2x2-x+1，在區間[-1，2]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_________。

27.

28.設函數y=x2+sinx，則dy______．

29.

30.

31.設當x≠0時，在點x=0處連續，當x≠0時，F(x)=-f(x)，則F(0)=______．

32.

33.

34.設y=(1+x2)arctanx，則y=________。

35.

36.37.微分方程y＋9y＝0的通解為________．38.函數y=x3-2x+1在區間[1，2]上的最小值為______．39.

40.

三、計算題(20題)41.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．42.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

43.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．44.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則45.求微分方程的通解．

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.

48.

49.求曲線在點(1，3)處的切線方程．50.

51.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.53.

54.證明：55.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

56.

57.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．58.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．59.60.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．四、解答題(10題)61.

62.設F(x)為f(x)的一個原函數，且f(x)=xlnx，求F(x)．63.用洛必達法則求極限：

64.求由曲線y=1-x2在點(1/2，3/4]處的切線與該曲線及x軸所圍圖形的面積A。

65.

66.

67.設z=z(x，y)由方程e2-xy+y+z=0確定，求dz．

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.

在t=1處的切線方程_______。

六、解答題(0題)72.設z=z(x，y)由ez-xyz=1所確定，求全微分dz。

參考答案

1.C因f(x)=x為一次函數，且特征方程為r2-2r=0,得特征根為r1=0，r2=2.于是特解應設為y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

2.B

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A本題考查了等價無窮小的代換的知識點。

8.B

9.A

10.A

11.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易錯誤選C，這是求復合函數的導數時丟掉項而造成的!因此考生應熟記：若y=f(u)，u=u(x)，則

不要丟項。

12.B

13.B解析：本題考查的知識點為利用一階導數符號判定函數的單調性和利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

由于在(a，b)內f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)內單調增加，又由于f"(x)＜0，可知曲線y=f(x)在(a，b)內為凹，可知應選B．

14.A

15.D解析：

16.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B．

17.C所給方程為可分離變量方程．

18.C

19.D

20.C

21.0

22.3

23.

24.33解析：

25.-sinx

26.1/2

27.ee解析：28.(2x+cosx)dx；本題考查的知識點為微分運算．

解法1利用dy=y'dx．由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx，

可知dy=(2x+cosx)dx．

解法2利用微分運算法則dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx．

29.00解析：

30.-131.1本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由連續性的定義可知，若F(x)在點x=0連續，則必有，由題設可知

32.y=f(0)

33.34.因為y=(1+x2)arctanx，所以y"=2xarctanx+(1+x2)。=2xarctanx+1。

35.

36.＜0

37.

本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

38.0本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

先求出連續函數f(x)在(a，b)內的所有駐點x1,…，xk．

比較f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即為f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相應的x即為，(x)在[a，b]上的最大(小)值點．

由y=x3-2x+1，可得

Y'=3x2-2．

令y'=0得y的駐點為，所給駐點皆不在區間(1，2)內，且當x∈(1，2)時有

Y'=3x2-2＞0．

可知y=x3-2x+1在[1，2]上為單調增加函數，最小值點為x=1，最小值為f(1)=0．

注：也可以比較f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即為f(x)在[1，2]上的最小值．

本題中常見的錯誤是，得到駐點和之后，不討論它們是否在區間(1，2)內．而是錯誤地比較

從中確定f(x)在[1，2]上的最小值．則會得到錯誤結論．

39.

40.

解析：41.函數的定義域為

注意

42.

43.44.由等價無窮小量的定義可知

45.

46.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.48.由一階線性微分方程通解公式有

49.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

50.

51.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

52.

53.

則

54.

55.

56.

57.

列表：

說明

58.

59.

60.由二重積分物理意義知

61.解

62.由題設可得知本題考查的知識點為兩個：原函數的概念和分部積分法．

63.

64.

65.

66.

67.

；本題考查的知