學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第4講函數(shù)的概念及其表示1。函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是兩個

設(shè)A，B是兩個

對應(yīng)關(guān)系f：A→B按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的一個數(shù)x,在集合B中都有的數(shù)f（x)與之對應(yīng)

按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的一個元素x，在集合B中都有的元素y與之對應(yīng)

名稱稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)

稱對應(yīng)為從集合A到集合B的一個映射

記法y=f(x），x∈A對應(yīng)f：A→B2.函數(shù)的三要素函數(shù)由、和對應(yīng)關(guān)系三個要素構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x),x∈A中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的.與x的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x）|x∈A}叫作函數(shù)的。

3.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法：、、。

4。分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)。分段函數(shù)雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數(shù).

常用結(jié)論1。常見函數(shù)的定義域（1）分式函數(shù)中分母不等于0.（2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.（3）一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4）零次冪的底數(shù)不能為0。（5)y=ax(a>0且a≠1)，y=sinx，y=cosx的定義域均為R。（6)y=logax（a〉0，a≠1）的定義域為｛x｜x〉0}。(7）y=tanx的定義域為xx≠kπ+π2，k∈Z。2。抽象函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則在f[g（x）]中，m≤g（x)≤n,從而解得x的范圍，即為f[g(x）］的定義域。(2）若f［g(x)］的定義域為[m，n］，則由m≤x≤n確定g(x)的范圍,即為f(x）的定義域。3。基本初等函數(shù)的值域（1)y=kx+b(k≠0）的值域是R。(2）y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為4ac-b24a，+∞;當a<0時（3）y=kx（k≠0)的值域是{y|y≠0｝(4)y=ax(a>0且a≠1）的值域是(0，+∞)。(5)y=logax(a〉0且a≠1）的值域是R.題組一常識題1。[教材改編］以下屬于函數(shù)的有。（填序號)

①y=±x；②y2=x—1；③y=x-2+1-x;④y=x2-2(2.［教材改編]已知函數(shù)f(x）=x+1,x≥0,x2,x<0,則f（-2）3。[教材改編]函數(shù)f(x）=8-xx4.[教材改編]已知集合A=｛1，2,3，4}，B=｛a,b,c}，f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),那么該函數(shù)的值域C的不同情況有種。

題組二常錯題◆索引:求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致錯；分段函數(shù)解不等式時忘記范圍；換元法求解析式,反解忽視范圍;對函數(shù)值域理解不透徹致錯。5.函數(shù)y=x-2·x+26.設(shè)函數(shù)f(x）=(x+1)2,x<1,4-x7.已知f（x）=x-1，則f（x）=。

8.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同，但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)"，那么函數(shù)解析式為y=x2，值域為{1，4}的“同族函數(shù)”共有個。

探究點一函數(shù)的定義域角度1求給定函數(shù)解析式的定義域例1(1)函數(shù)f（x)=ln(x2-x)的定義域為 (）A。（0，1］ B。[0，1]C.（—∞，0)∪(1，+∞) D。（-∞，0)∪［1,+∞）(2)函數(shù)f（x）=1-2x+1xA.(—3,0] B.(-3,1]C。（-∞，-3）∪(—3，0］ D.(-∞，—3）∪(-3,1］

[總結(jié)反思］(1)求函數(shù)定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;（2）若函數(shù)是由幾個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時,定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時一般是列出自變量滿足的不等式（組),得出不等式（組）的解集即可;(4）注意不要輕易對解析式化簡變形，否則易出現(xiàn)定義域錯誤.角度2求抽象函數(shù)的定義域例2(1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2］，則函數(shù)g(x)=f(2x)A.［0,1］ B。[0,1）C。［0，1）∪(1，4］ D.（0，1)(2)若函數(shù)f（x2+1)的定義域為[—1，1],則f（lgx）的定義域為 ()A.[-1，1] B.［1，2]C.[10,100] D.［0,lg2]

[總結(jié)反思](1）無論抽象函數(shù)的形式如何,已知定義域還是求定義域均是指其中的x的取值集合；(2）同一問題中、同一法則下的范圍是一致的，如f［g(x)]與f[h（x）］,其中g(shù)(x)與h（x)的范圍(即它們的值域）一致。變式題(1）若函數(shù)y=f（x）的定義域為(0,1），則f（x+1)的定義域為 ()A。（-1,0) B.(0,1）C.（1,2） D。(-1,1）(2）已知函數(shù)y=f(x2—1)的定義域為[—3，3］,則函數(shù)y=f(x）的定義域為.

探究點二函數(shù)的解析式例3(1)已知f(x+1）=3x+2,則函數(shù)f（x）的解析式是（)A。f(x)=3x-1 B。f（x）=3x+1C。f（x)=3x+2 D。f(x)=3x+4（2)已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）—f（x）=-2x+1,且f(2）=15，則函數(shù)f(x)=。

（3)設(shè)函數(shù)f（x)對不為0的一切實數(shù)x均有f（x)+2f2018x=3x，則f（x)=

［總結(jié)反思］求函數(shù)解析式的常用方法：（1)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f［g(x）]的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍。(2）待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法。（3）配湊法：由已知條件f［g（x）］=F(x）,可將F(x）改寫成關(guān)于g(x）的表達式，然后以x替代g（x),便得f(x）的解析式.(4)解方程組法：已知f（x）與f1x或f（—x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f（x）變式題(1）已知函數(shù)f（2x-1）=4x+3,且f（t)=6，則t= (）A。12 B。13 C.14 (2）若f（x）對于任意實數(shù)x恒有3f（x)-2f（—x)=5x+1，則f(x)= ()A.x+1 B。x—1 C。2x+1 D。3x+3（3)若f(x)為一次函數(shù),且f［f（x)]=4x+1,則f(x）=。

探究點三以分段函數(shù)為背景的問題 微點1分段函數(shù)的求值問題例4（1)［2018·衡水調(diào)研]設(shè)函數(shù)f（x）=x+1,x≥0,12x,x<A.32 B.2+C.1 D。3(2)已知函數(shù)f（x）=2x,x<2,f(

[總結(jié)反思]求分段函數(shù)的函數(shù)值時務(wù)必要確定自變量所在的區(qū)間及其對應(yīng)關(guān)系。對于復(fù)合函數(shù)的求值問題,應(yīng)由里到外依次求值.微點2分段函數(shù)與方程例5（1)已知函數(shù)f(x)=(3+a)x+a,x<1,loA.2 B。—2C.-3 D。3（2)函數(shù)f(x)=2x,x≤0,x-lnx,x>0,

［總結(jié)反思］（1）若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參；（2）若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進行分類討論,再求值.微點3分段函數(shù)與不等式問題例6（1)[2018·惠州二模]設(shè)函數(shù)f（x）=2-x-1,x≤0,x12,x>0A。(-1，1) B.(—1，+∞)C。（—∞，-2）∪(0,+∞) D.（-∞,—1)∪（1,+∞)（2)[2018·全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f（x）=2-x,x≤0,1,x>0,則滿足f（A。（-∞,-1］ B.（0,+∞）C。（-1，0） D。（-∞，0）

[總結(jié)反思]涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題，主要表現(xiàn)為解不等式,當自變量取值不確定時,往往要分類討論求解;當自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)時,只需依據(jù)自變量的情況,直接代入相應(yīng)解析式求解.應(yīng)用演練1.【微點1】若函數(shù)f(x）=2x+1,x<0,x,x≥0A。0 B。2C。-2 D.12。【微點2】設(shè)函數(shù)f（x)=22x-1+3,x≤0,1-logA.12 B.C.12或18 D3.【微點3】已知函數(shù)f(x)=3+log2x,x>0,x2-A。[—1,1］ B.[-2，4]C。(—∞，-2］∪(0，4) D.（—∞，—2]∪［0，4]4。【微點3】[2018·湖北咸寧聯(lián)考］已知函數(shù)f(x)=x2-2x,x≥0,1x,A。［-1,3］ B。(—∞,-1］∪［3,+∞)C.［—3,1］ D.（—∞，-3]∪［1,+∞）5。【微點2】設(shè)函數(shù)f（x)=3x-b,x<1,2第4講函數(shù)的概念及其表示考試說明1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.2。在實際情境中,會根據(jù)不同的需求選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法,列表法，解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用（函數(shù)分段不超過三段）。【課前雙基鞏固】知識聚焦1.非空數(shù)集非空集合任意唯一確定任意唯一確定f:A→Bf:A→B2。定義域值域定義域值域3.解析法圖像法列表法4.對應(yīng)關(guān)系對點演練1。④[解析］①②對于定義域內(nèi)任給的一個數(shù)x,可能有兩個不同的y值,不滿足對應(yīng)的唯一性，故①②錯。③的定義域是空集，而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集,故③錯。只有④表示函數(shù)。2.45[解析]因為f(-2）=(—2）2=4，所以f[f（—2）]=f（4)=4+1=5。3。(-∞,-3）∪（—3,8]［解析]要使函數(shù)有意義,需8—x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定義域是（—∞,-3)∪（—3，8]。4。7[解析]只含有一個元素時有｛a｝,{b｝，｛c｝;有兩個元素時，有｛a,b}，{a，c｝，｛b，c}；有三個元素時，有｛a，b，c}。所以值域C共有7種不同情況。5。{x|x≥2}［解析］要使函數(shù)有意義,需x-2≥0,x+2≥0,解得x≥2，6。（—∞，-2］∪［0，10][解析］∵f(x）是分段函數(shù),∴f(x）≥1應(yīng)分段求解.當x<1時，f(x）≥1?（x+1）2≥1?x≤—2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1。當x≥1時，f(x)≥1?4-x-1≥1，即x-1≤3,∴1≤x綜上所述,x≤-2或0≤x≤10，即x∈(-∞,—2］∪［0,10].7。x2—1（x≥0）［解析］令t=x，則t≥0，x=t2，所以f（t）=t2-1（t≥0),即f（x)=x2-1（x≥0).8.9[解析］設(shè)函數(shù)y=x2的定義域為D,其值域為｛1,4}，D的所有可能的個數(shù)，即是同族函數(shù)的個數(shù)，D的所有可能為{-1，2｝,{—1,-2｝，{1,2｝，{1，—2},｛-1,1,2}，｛—1,1,-2｝，{-1,2，—2｝，{1，2，—2}，｛—1,1，2,-2｝,共9個，故答案為9.【課堂考點探究】例1［思路點撥］(1)根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)大于0求解；(2）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負及分母不為0求解.（1)C(2)A[解析]（1)由x2-x>0，得x>1或x〈0，所以定義域為(-∞,0)∪(1，+∞).（2）由題意,自變量x應(yīng)滿足1-2x≥0,x+3例2[思路點撥］（1）由f(x）的定義域得f（2x)的定義域，再結(jié)合lnx≠0求解;(2)由x∈［-1，1],求得x2+1的范圍是［1,2］，再由1≤lgx≤2即可得函數(shù)f（lgx）的定義域.(1)D(2)C［解析］（1)∵f(x)的定義域為［0，2],∴要使f(2x)有意義,則有0≤2x≤2,∴0≤x≤1，∴要使g(x）有意義，應(yīng)有0≤x≤1,lnx≠0,（2）因為f(x2+1）的定義域為［-1，1]，所以—1≤x≤1,故0≤x2≤1，所以1≤x2+1≤2。因為f(x2+1）與f（lgx)是同一個對應(yīng)法則，所以1≤lgx≤2,即10≤x≤100，所以函數(shù)f（lgx)的定義域為［10,100］。故選C。變式題（1)A(2)[—1，2］[解析］(1）由題意知0<x+1〈1，解得—1〈x〈0.故選A。（2)因為函數(shù)y=f(x2-1）的定義域為［—3,3]，所以-3≤x≤3，所以-1≤x2—1≤2，所以函數(shù)y=f（x)的定義域為[—1,2］。例3[思路點撥］(1)用配湊法將3x+2配湊成3（x+1）-1;（2)設(shè)出二次函數(shù),利用待定系數(shù)法,根據(jù)等式恒成立求出待定系數(shù)即可;（3)構(gòu)造含f(x）和f2018x的方程組，消去f2018x即可得f(x)（1)A(2)—x2+2x+15（3)4036x-x[解析]（1）由于f（x+1）=3（x+1）-1，所以f（x）=3x—1(2）由已知令f（x)=ax2+bx+c（a≠0)，則f(x+1）-f(x）=2ax+b+a=—2x+1,∴2a=—2,a+b=1，∴a=-1,b=2,又f(2)=15，∴c=15,∴f(x)=—x2+2x+15。（3）f（x)+2f2018x=3x①，且x≠用2018x代替①中的x，得f2018x+2f（x）=3×2018解①②組成的方程組，消去f2018x得f(x）=4036變式題(1）A(2）A(3）2x+13或-2x—1［解析](1）設(shè)t=2x-1，則x=t故f(t)=4×t+12+3=2t+令2t+5=6，則t=12,故選A(2)因為3f(x)—2f（—x）=5x+1①,所以3f(—x）—2f(x)=—5x+1②,聯(lián)立①②，解得f（x）=x+1，故選A.(3)設(shè)f（x）=ax+b(a≠0),由f［f（x）]=af(x）+b=a2x+ab+b=4x+1，得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=—2,b=-1，∴f（x）=2x+13或f(x)=-2x-例4［思路點撥］(1）先求f（-1）的值,再求f［f(—1）］的值；（2)先估算log27的范圍,再確定選用哪段解析式求值.（1）D(2)72[解析］（1)由題意可得f（—1)=12-1=2,∴f[f(-1)］=f（2)=（2）因為2<log27〈3,所以1<log27-1〈2，所以f（log27）=f（log27—1）=2log27-1=例5[思路點撥］（1)先求得f(1）=0,再據(jù)f(0)=3求分段函數(shù)中的參數(shù)；（2）分a≤0和a〉0兩種情況討論求解.(1)D(2)0或1[解析]（1)根據(jù)題意可知f(1）=loga1=0，所以f［f(1)］=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,即a=3，故選D。(2）∵f(x）=2x,x≤0,x-ln當a〉0時，f(a）=a—lna,則有1+a—lna=2,解得a=1；當a≤0時,f（a）=2a，則有1+2a=2,解得a=0.例6［思路點撥]（1)分x0≤0和x0>0兩種情況討論求解;(2)根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將函數(shù)圖像畫出來，結(jié)合圖像可得不等式成立的條件。(1）D（2)D［解析]（1）當x0≤0時,由f(x0）=2-x0—1>1,即2-x0>當x0〉0時,由f（x0)=x012〉1,解得x0∴x0的取值范圍是(—∞,-1）∪（1，+∞）。(2）f(x）的圖像如圖所示.當x+1≤0,2x≤0,即x≤-1時,若滿足f（x+1)〈f(2x)，則滿足x+1>2x，即x〈1,此時x≤—1；當x+1>0,2x<0,即—1<x<0時,f(x+1)<f(2應(yīng)用演練1。A[解析]由函數(shù)f(x）=2x+1,x<0,x,x≥0,得f(1）+f2.B[解析］因為f（a)=4，所以22a所以a=12,a≤0或a=3。B[解析］由于f(x）=3+lo所以當x>0時,3+log2x≤5，即log2x≤2=log24,得0<x≤4;當x≤0時,x2-x-1≤5,即（x-3)（x+2）≤0，得-2≤x≤0。所以不等式f(x)≤5的解集為[—2，4].4.A［解析]當x≥0時,由x2—2x≤x，得0≤x≤3;當x<0時,由1x≤x，得—1≤x〈0故不等式f（x)≤x的解集為［-1，3］。5。12［解析]由ff56=4，可得f5若52-b≥1,即b≤32,可得252-b若52—b<1,即b〉32,可得3×52-b—b=4，解得b=78〈32【備選理由】例1考查給定函數(shù)解析式，求抽象函數(shù)的定義域問題；例2考查分段函數(shù)的求值,但涉及三角函數(shù)及函數(shù)的周期性；例3考查分段函數(shù)與方程問題，