統計模型一元線性回歸模型學習目標1.通過實例,了解樣本相關系數的統計含義,了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系,培養數學抽象的核心素養.2.結合實例,會通過相關系數比較多組成對數據的相關性,培養數據分析的核心素養.3.結合具體實例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數的統計含義,了解最小二乘法的原理,掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘法的估計方法,會使用相關的統計軟件,體會數學建模與數據分析的核心素養.4.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測,提升數學運算的核心素養.知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究1.相關關系(1)概念:兩個變量之間存在一定的關系,但沒有達到可以相互決定的程度,它們之間的關系帶有一定的隨機性,這樣的兩個變量之間的關系稱為相關關系.(2)線性相關:一般地,如果成對數據如下表序號i123…n變量xx1x2x3…xn變量yy1y2y3…yn則在平面直角坐標系xOy中描出點(xi,yi),i=1,2,3,…,n,就可以得到這n對數據的散點圖(也可直接由數據或憑借直觀),如果散點圖中的點位于一條直線附近,則稱變量x與y線性相關.如果一個變量變大,另一個變量大體上也增大,則稱兩個變量

;如果一個變量變大,另一個變量大體上變小,則稱這兩個變量

.正相關負相關(2)基本性質.①|r|≤1,且y與x正相關的充要條件是

,y與x負相關的充要條件是

.②|r|越小,說明兩個變量之間的線性相關性越弱,|r|越大,說明兩個變量之間的線性相關性越強,求得的回歸直線方程越有價值.③|r|=1的充要條件是成對數據構成的點都在回歸直線上.r>0r<0思考:假設兩個隨機變量的相關系數r=0,這是否說明這兩個隨機變量不相關?提示:只能說明這兩個隨機變量不線性相關,而不能說明這兩個隨機變量不相關.5.非線性回歸:通過變換化為線性回歸.師生互動·合作探究探究點一回歸直線方程及其性質[例1](2022·廣東陽江高二月考)為了研究某疫苗的有效率,某地進行臨床試驗,對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗,一段時間后發現仍然有20人感染.同期,從相同條件下選取了2000只未注射疫苗的小白鼠,分成5組,各組感染只數如下調查只數x200300400500600感染只數y23467(1)求y關于x的線性回歸方程;[例1](2022·廣東陽江高二月考)為了研究某疫苗的有效率,某地進行臨床試驗,對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗,一段時間后發現仍然有20人感染.同期,從相同條件下選取了2000只未注射疫苗的小白鼠,分成5組,各組感染只數如下調查只數x200300400500600感染只數y23467針對訓練:某百貨店今年春節期間,消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數越來越多,該店經理對春節前7天參加抽獎活動的人數進行統計,y表示第x天參加抽獎活動的人數,得到統計表格如下x1234567y58810141517經過進一步統計分析,發現y與x具有線性相關關系.針對訓練:某百貨店今年春節期間,消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數越來越多,該店經理對春節前7天參加抽獎活動的人數進行統計,y表示第x天參加抽獎活動的人數,得到統計表格如下x1234567y58810141517經過進一步統計分析,發現y與x具有線性相關關系.(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關;解:(2)正相關.針對訓練:某百貨店今年春節期間,消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數越來越多,該店經理對春節前7天參加抽獎活動的人數進行統計,y表示第x天參加抽獎活動的人數,得到統計表格如下x1234567y58810141517經過進一步統計分析,發現y與x具有線性相關關系.方法總結探究點二相關系數[例2](2022·寧夏石嘴山高二月考)流行性感冒(簡稱流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一種傳染性強、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播,在我國北方通常在冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個流行高峰.兒童相對免疫力低,在幼兒園等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數統計,得到如下數據年齡x23456患病人數y2222171410(1)求y關于x的線性回歸方程;[例2](2022·寧夏石嘴山高二月考)流行性感冒(簡稱流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一種傳染性強、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播,在我國北方通常在冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個流行高峰.兒童相對免疫力低,在幼兒園等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數統計,得到如下數據年齡x23456患病人數y2222171410針對訓練:用線性回歸模型求得甲、乙、丙三組不同的數據的線性相關系數分別為0.81,-0.98,0.63,其中

組數據的線性相關性最強.(填甲、乙、丙中的一個)

解析:|r|越接近1,兩個變量的線性相關性越強,而|-0.98|>|0.81|>|0.63|,所以乙組數據的線性相關性最強.答案:乙方法總結變量之間線性相關系數r具有如下性質:(1)r2≤1,即變量之間線性相關系數r的取值范圍為[-1,1].(2)|r|越大,變量之間的線性相關程度越高;|r|越接近0,變量之間的線性相關程度越低.(3)當r>0時,兩個變量的值總體上呈現出同時增減的趨勢,此時稱兩個變量正相關;當r<0時,一個變量增加,另一個變量有減少的趨勢,稱兩個變量負相關;當r=0時,稱兩個變量沒有線性相關關系.探究點三非線性回歸分析[例3]某企業新研發了一種產品,產品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產品的非原料成本y(單位:元)與生產該產品的數量x(單位:千件)有關,經統計得到如下數據x12345678y1126144.53530.5282524根據以上數據,繪制了散點圖如下(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y與x的回歸方程.(3)試預測當生產該產品10000件時,每件產品的非原料成本.針對訓練:(2021·陜西咸陽高二月考)近年來,共享單車進駐城市,綠色出行引領時尚.某公司計劃對未開通共享單車的A縣城進行車輛投放,為了確定車輛投放量,對過去在其他縣城的投放量情況以及年使用人次進行了統計,得到了投放量x(單位:千輛)與年使用人次y(單位:千次)的數據如下表所示,根據數據繪制投放量x與年使用人次y的散點圖如圖所示.x1234567y611213466101196(1)觀察散點圖,可知兩個變量不具有線性相關關系,擬用對數型函數模型y=a+blgx或指數型函數模型y=c·dx(c>0,d>0)對兩個變量的關系進行擬合,請問哪個模型更適宜作為投放量x與年使用人次y的回歸方程模型(給出判斷即可,不必說明理由),并求出y關于x的回歸方程;解:(2)投入8千輛單車,則年使用人次為3.47×100.25×8=347千人次,每年的收益為千元,總投資8000×200=1600000=1600千元,假設需要n年開始盈利,則n·277.6>1600,即n>5.76,故需要6年才能開始盈利.方法總結解非線性回歸模型的基本思路:(1)先根據數據變化特點、散點圖等,判斷擬合函數,設出回歸模型;(2)再利用換元法把非線性回歸模型轉化為線性回歸模型,按照線性回歸的系數公式求得回歸直線方程;(3)然后通過換元把線性回歸方程化為非線性回歸方程.當堂檢測DDA.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0解析:由散點圖得變量x,y負相關,所以r1,r2<0.因為剔除點