2.2.4點到直線的距離學習目標1.掌握點到直線的距離公式并能靈活運用此公式解決距離問題.2.會求兩條平行直線之間的距離.3.點到直線的距離公式的推導.點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d:(1)d=|A(2)v=(A,B)是直線l的一個法向量,P1(x1,y1)是直線l上任意一點:d=|P兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離d:d=|C1-C2點到直線的距離[例1](1)點A(1,2)到直線l:3x-4y-1=0的距離為()A.45 B.(2)(2021·遼寧沈陽期中)若點A(2,a)到直線l:x-2y+3=0的距離為5,則a=.

解析:(1)點A(1,2)到直線l:3x-4y-1=0的距離為|3×1-4×2(2)A(2,a)到直線l:x-2y+3=0的距離d=|2-2答案:(1)B(2)0或5針對訓練:求點P(3,-2)到下列直線的距離:(1)y=34x+1解:(1)直線y=34x+1由點到直線的距離公式可得d=|3×3-4×(2)因為直線y=6與y軸垂直,所以點P到它的距離d=|-2-6|=8.(3)因為直線x=4與x軸垂直,所以點P到它的距離d=|3-4|=1.點到直線的距離的求解方法:(1)求點到直線的距離時,只需把直線方程化為一般式方程,直接應用點到直線的距離公式求解即可.(2)對于與坐標軸平行(或重合)的直線x=a或y=b,求點到它們的距離時,既可以用點到直線的距離公式,也可以直接寫成d=|x0-a|或d=|y0-b|.(3)若已知點到直線的距離求參數時,只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可.兩條平行線間的距離[例2](1)兩平行直線2x+y-1=0與2x+y+3=0間的距離為()A.55 B.255 C.(2)已知直線l1:mx+y-3=0與直線l2:x-y-m=0平行,則它們之間的距離是()2 C.2解析:(1)根據兩平行線間的距離公式得d=|-1-3|2(2)直線l1:mx+y-3=0與直線l2:x-y-m=0平行,則m×(-1)-1×1=0,解得m=-1;所以直線l1:x-y+3=0與直線l2:x-y+1=0的距離是d=|3-1|1故選C.針對訓練:(1)與直線2x+y+1=0的距離等于55A.2x+y=0 B.2x+y-2=0C.2x+y=0或2x+y-2=0D.2x+y=0或2x+y+2=0(2)直線l1:3x+4y-7=0與直線l2:3x+4y+1=0之間的距離為.

解析:(1)根據題意可設所求直線方程為2x+y+c=0,因為兩直線間的距離等于55所以d=|c-1解得c=0或c=2.故所求直線方程為2x+y=0或2x+y+2=0.故選D.(2)直線l1:3x+4y-7=0與直線l2:3x+4y+1=0之間的距離d=|-7-1答案:(1)D(2)8求兩條平行線間的距離一般有兩種方法:(1)轉化法:將兩平行線間的距離轉化為其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.由于這種求法與點的選擇無關,因此,選點時,常選取一個特殊點,如直線與坐標軸的交點等,以便于運算.(2)公式法:直接用公式d=|C易錯辨析——忽視斜率不存在的直線致錯[典例探究]求經過點P(-3,5),且與原點距離等于3的直線方程.錯解:設所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.所以原點到該直線的距離d=|3所以15k+8=0,所以k=-815故所求直線方程為-815x-y+3×(-815糾錯:沒有考慮斜率不存在時的情況,用點斜式設直線方程時,必須先弄清斜率是否存在,否則可能漏解.正解:當直線的斜率存在時,設所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0,所以原點到該直線的距離d=|3所以15k+8=0,得k=-815故所求直線方程為y-5=-815即8x+15y-51=0.當直線的斜率不存在時,直線方程為x=-3,也滿足題意.故滿足題意的直線方程為8x+15y-51=0或x=-3.[應用探究](2021·福建福州期中)過點P(1,2)引直線,使A(3,2),B(4,-5)兩點到直線的距離相等,則這條直線的方程是()A.7x+y-9=0B.7x+5y-17=0C.7x+y-9=0或7x+5y-17=0D.7x+y-9=0或7x-5y+3=0解析:當所求直線的斜率不存在時,直線方程為x=1,不成立;當所求直線的斜率存在時,設所求直線方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,因為A(3,2),B(4,-5)兩點到直線的距離相等,所以|3k-整理得5k2+42k+49=0,解得k=-7或k=-75所以所求直線方程為-7x-y+2+7=0或-75x-y+2+7整理得7x+y-9=0或7x+5y-17=0.故選C.1.點(2,0)到直線x+y+2=0的距離為(B)A.2222解析:由點到直線的距離公式可得,點(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=|2+0+2|12.已知點(1,m)到直線x+y-2=0的距離等于1,則m等于(D)2 B.1+2C.2-1±2解析:依題意有|1+m-2|2=1?|m-1|=3.(2021·河北保定高二階段練習)已知直線l1:3x-4y+7=0與直線l2:6x-(m+1)y+1-m=0平行,則l1與l2之間的距離為(B)解析:因為直線l1與l2平行,所以36=4m+1因為l2的方程為3x-4y-3=0,所以l1與l2之間的距離d=|7+