直線與圓的方程題型總結(2023版)題型一：直線的傾斜角及斜率1．傾斜角定義：把軸繞著交點按逆時針方向轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時，規定傾斜角為0。2．傾斜角的范圍3.每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.4．斜率的定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即：＝tan(≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；5．斜率公式：經過兩點、的直線的斜率為；6．斜率的應用：證明三點共線：例1.直線的傾斜角是()A.B.C.D.例2.直線的傾斜角的范圍是__________.例3.直線經過，兩點，那么直線的傾斜角的取值范圍是()A．B.C.D.例4.直線l與兩直線y=1,x－y－7=0分別交于P，Q兩點，線段PQ的中點是(1，－1)，那么直線l的斜率是___________.例5.兩條直線，，其中a為實數，當這兩條直線的夾角在內變動時，的取值范圍是__________.例6.直線y=繞原點按逆時針方向旋轉30°后所得直線與圓的位置關系是_______.例7.過經過的直線的傾斜角為，且，那么的取值范圍___.例8.點的直線的傾斜角的范圍,那么m值的范圍是_________.例9.兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的___________條件.例10.曲線與直線有兩個公共點時，實數k的取值范圍是___.例11.實數滿足，那么的最大值、最小值分別為____________.例12.在平面直角坐標系中，點的坐標分別為．如果是圍成的區域〔含邊界〕上的點，那么的取值范圍是.例13.假設三點共線那么的值為________.例14.假設過點的直線與曲線有公共點，那么直線的斜率的取值范圍為________.題型二：直線的方程直線方程的形式：名稱條件方程說明斜截式斜率軸上的截距不包括垂直于軸的直線點斜式點P(x,y)，斜率=k〔〕不包括垂直于軸的直線兩點式不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線截距式軸上的截距a軸上的截距b不包括坐標軸，平行于坐標軸和過原點的直線一般式Ax+By+C=0A、B不同時為0設直線方程的一些常用技巧：1．知直線縱截距，常設其方程為；2．知直線過點，當斜率存在時，常設其方程為，當斜率不存在時，那么其方程為；3．與直線平行的直線可表示為；4．與直線垂直的直線可表示為.注：求直線方程的根本思想和方法是恰中選擇方程的形式，利用待定系數法求解。例15.l過點，且它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5，那么l為_________.例16.過點的直線分別交軸、軸的負半軸于兩點，當最小時，直線的方程是________.例17.直線的傾斜角為，滿足，并且在軸上的截距為1，那么直線方程為________.例18.直線經過P〔2，3〕，且在兩坐標軸上的截距相等，那么該直線方程為.例19.直線過點P〔-2，1〕，傾斜角與直線的傾斜角互補，那么直線的方程是.例20.過點,且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是.例21.直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點，那么三角形面積的最小值為_________.例22.，那么直線不經過〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例23.直線，不管m怎樣變化恒過點_________.例24.，直線過定點_________.例25.函數－1〔〕的圖象恒過定點A，假設點A在直線上，其中，那么的最小值為.∶∶∶x+y+=0∶x+y+=0與組成的方程組平行且或無解重合且有無數多解相交有唯一解垂直題型三：直線與直線的位置關系例26.設aR,那么“a=1〞是“直線l1:與直線l2:平行〞的______條件.例27.“〞是“直線與直線互相垂直〞的條件.例28.直線的方程為，那么與平行，且過點〔—1，3〕的直線方程是______.例29.△三邊的方程為：，，；〔1〕判斷三角形的形狀；〔2〕當邊上的高為1時，求的值。例30.設分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，那么直線與的位置關系是________.真題：【2023高考陜西，理15】設曲線在點〔0,1〕處的切線與曲線上點處的切線垂直，那么的坐標為．【2023遼寧理】定義在上的函數滿足：①；②對所有，且，有.假設對所有，，那么k的最小值為〔〕B．C．D．【2023新標2理】點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩局部，那么b的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))【2023江西理】在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，那么=【2023四川文】在平面直角坐標系內，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標是________．【2023四川】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，那么的最大值是____________，的取值范圍是__________,【2023遼寧】點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．假設△OAB為直角三角形，那么必有()A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0題型四：點與直線及平行線間的距離問題點到直線的距離及兩平行直線間的距離：1.點到直線的距離；2.兩平行線間的距離為例31.直線5x+12y+3=0與直線10x+24y+5=0的距離是．例32.P點在直線3x+y-5=0上,且點P到直線x-y-1=0的距離為1,那么P點坐標為．例33.假設點P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且P在不等式2x＋y－3<0表示的平面區域內，那么a的值______．例34.過點P(1,2)作直線l，使直線l與點M(2,3)和點N(4，－5)距離相等，那么直線l的方程為__________．例35.直線及點〔1〕證明直線過某定點，并求該定點的坐標〔2〕當點到直線的距離最大時，求直線的方程題型五：對稱〔中心對稱和軸對稱〕問題——代入法：1.點關于軸的對稱點的坐標為；關于軸的對稱點的坐標為；關于的對稱點的坐標為；關于的對稱點的坐標為.2.點關于直線的對稱點的坐標的求法：〔1〕設所求的對稱點的坐標為，那么的中點一定在直線上.〔2〕直線與直線的斜率互為負倒數，即3.直線關于直線的對稱直線方程的求法：在直線上去兩點〔其中一點可以是交點，假設相交〕求這兩點關于對稱軸的對稱點，再求過這兩點的直線方程；軌跡法(相關點法)；待定系數法，利用對稱軸所在直線上任一點到兩對稱直線的距離相等，…4.點關于定點的對稱點為，曲線：關于定點的對稱曲線方程為.5.直線系方程：與直線平行的直線系方程為〔〕與直線垂直的直線系方程為過直線和的交點的直線系的方程為：〔不含〕例36.點關于直線的對稱點為______.點關于直線的對稱點為___．例37.直線關于直線對稱的直線的方程為__________．例38.點關于點的對稱點坐標是__________．例39.直線關于點對稱的直線方程__________．例40.直線關于直線對稱的直線方程為__________．例41.一條光線從點射到直線后，再反射到一點，這條光線從A到B的長度為__________．例42.直線與的夾角平分線為，假設的方程為，那么的方程是_______.例43.、，從點射出的光線經直線反向后再射到直線上，最后經直線反射后又回到點，那么光線所經過的路程是____________.例44.ΔABC頂點A(3，－１)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，那么BC邊所在的直線方程為__________.例45.點，在直線上求一點P，使最小.例46.直線2x―y―4=0上有一點，它與兩定點A〔4,－1〕、B〔3,4〕的距離之差最大，那么P的坐標是_.真題：【2023高考山東，理9】一條光線從點射出，經軸反射后與圓QUOTE相切，那么反射光線所在直線的斜率為〔〕〔A〕或〔B〕QUOTE或QUOTE-23〔C〕或〔D〕或【2023湖南文】在等腰三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發，經發射后又回到原點〔如圖〕.假設光線經過的中心，那么等于〔〕A．B．C．D．題型六：圓的標準方程及一般方程1.圓的定義：平面內與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓2.圓的標準方程：圓心為，半徑為，假設圓心在坐標原點上，這時，那么圓的方程就是3．圓的一般方程：只有當時，①表示的曲線才是圓，把形如①的方程稱為圓的一般方程當時，①表示以〔-，-〕為圓心,為半徑的圓；4．圓的參數方程：〔1〕圓心為原點半徑為r的圓的參數方程為參數例47.設方程〔1〕當且僅當m在什么范圍內，該方程表示一個圓。〔2〕當m在以上范圍內變化時，求半徑最大的圓的方程。〔3〕求圓心的軌跡方程例48.求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與圓的關系．例49.圓和點，點P在圓上，求面積的最小值例50.求經過點，且與直線和都相切的圓的方程．例51.如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是.例52.動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，那么點的軌跡方程為〔〕B.C.D.真題：【2023高考北京，文2】圓心為且過原點的圓的方程是〔〕B．C．D．【2023高考新課標2，理7】過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，那么()A．2B．8C．4D．10【2023山東文】圓心在直線上的圓與軸的正半軸相切，圓截軸所得弦的長為，那么圓的標準方程為題型七：點與圓、直線與圓的位置關系點與圓的位置關系：給定點及圓.①在圓內②在圓上③在圓外直線與圓的位置關系：直線和圓有相交、相離、相切。可從代數和幾何兩個方面判斷：〔1〕幾何方法〔比擬圓心到直線的距離與半徑的大小〕：設圓心到直線的距離為，那么相交；相離；相切。〔2〕代數方法〔判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況〕：相交；相離；相切；1.切線方程、切點弦方程例53.圓，求過點與圓相切的切線．例54.過圓外一點，作這個圓的兩條切線、，切點分別是、，那么直線的方程為.例55.過圓外一點引圓的兩條切線，那么經過兩切點的直線方程為〔〕A.B.C.D.真題：【2023山東理】過點〔3，1〕作圓的兩條切線，切點分別為A，B，那么直線AB的方程為〔A〕2x+y-3=0〔B〕2x-y-3=0〔C〕4x-y-3=0〔D〕4x+y-3=0【2023福建理】設分別為和橢圓上的點，那么兩點間的最大距離是B.C.D.【2023高考廣東，理5】平行于直線且與圓相切的直線的方程是〔〕A．或B.或C.或D.或【2023江蘇高考，10】在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為【2023湖南文】假設圓與圓外切，那么〔〕【2023陜西文】點M(a,b)在圓外,那么直線ax+by=1與圓O的位置關系是〔〕 (A)相切 (B)相交 (C)相離 (D)不確定【2023江西文】過直線x+y-=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線，假設兩條切線的夾角是60°，那么點P的坐標是__________2.弦長、弧長問題例56.直線被圓截得的弦的長為.例57.直線截圓得的劣弧所對的圓心角為..例58.假設直線與圓切于點，那么的值.例59.圓,是軸上的動點,、分別切圓于兩點(1)假設點的坐標為〔1，0〕，求切線、的方程(2)求四邊形的面積的最小值(3)假設，求直線的方程例60.過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________．真題：【2023江西理】在平面直角坐標系中，分別是軸和軸上的動點，假設以為直徑的圓與直線相切，那么圓面積的最小值為〔〕A.B.C.D.【2023天津理】設，，假設直線與圓相切，那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕【2023·杭州模擬】直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，假設|MN|≥2eq\r(3)，那么k的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C．[－eq\r(3)，eq\r(3)]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))3.直線與圓的位置關系例61.直線和圓，那么此直線與圓的位置關系是.例62.圓和直線，〔1〕假設圓上有且只有4個點到直線l的的距離等于1，求半徑的取值范圍；〔2〕假設圓上有且只有3個點到直線l的的距離等于1，求半徑的取值范圍；〔3〕假設圓上有且只有2個點到直線l的的距離等于1，求半徑的取值范圍；例63.圓上到直線的距離為1的點有幾個？例64.假設曲線與曲線有四個不同的交點,那么實數的取值范圍是()A.B.C.D.例65.假設直線與曲線有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.例66.圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數的值．例67.在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上〔Ⅰ〕求圓的方程；〔Ⅱ〕假設圓與直線交與兩點，且，求的值.例68.圓,過點的直線,那么與的位置關系為.例69.圓與直線的位置關系為.例70.圓的方程為.是該圓過點〔3，5〕的11條弦的長，假設數列是等差數列,那么數列的公差的最大值為.真題：【2023·蘭州模擬】假設圓x2＋y2＝r2(r＞0)上僅有4個點到直線x－y－2＝0的距離為1，那么實數r的取值范圍為()A．(eq\r(2)＋1，＋∞)B．(eq\r(2)－1,eq\r(2)＋1)C．(0,eq\r(2)－1)D．(0,eq\r(2)＋1)【2023高考重慶，理8】直線l：x+ay-1=0〔aR〕是圓C：的對稱軸.過點A〔-4，a〕作圓C的一條切線，切點為B，那么|AB|=〔〕A．2B.C.6D.【2023高考廣東，理20】過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，．〔1〕求圓的圓心坐標；〔2〕求線段的中點的軌跡的方程；〔3〕是否存在實數，使得直線與曲線只有一個交點：假設存在，求出的取值范圍；假設不存在，說明理由．【2023北京文】圓和兩點，，假設圓上存在點，使得，那么的最大值為〔〕A.B.C.D.【2023浙江文】圓截直線所得弦的長度為4，那么實數的值為A.B.C.D.【2023年四川卷〔理14〕】設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，那么的最大值是。【2023年全國新課標Ⅱ〔理16〕】設點M〔,1〕，假設在圓O:上存在點N，使得∠OMN=45°，那么的取值范圍是________.題型八：圓與圓的位置關系用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷：兩圓的圓心分別為，半徑分別為，那么：〔1〕當時，兩圓外離；〔2〕當時，兩圓外切；〔3〕當時，兩圓相交；〔4〕當時，兩圓內切；〔5〕當時，兩圓內含。例71.兩圓和的公共弦長為.例72.平面區域，恰好被面積最小的圓及其內部所覆蓋．(Ⅰ)試求圓的方程．(Ⅱ)假設斜率為1的直線與圓C交于不同兩點滿足,求直線的方程．例73.假設圓始終平分圓的周長,那么實數應滿足的關系是()A．B．C．D．例74.兩圓與相交于、兩點，求它們的公共弦AB所在直線的方程．例75.兩圓和