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文檔簡介

2.6.1

余弦定理

已知三角形的三邊，求三角形的三個內角已知三角形的兩邊及一個角，求其他邊和角問題提出1

一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.余弦定理1余弦定理的證明

【1】向量法

如圖，因為AC=AB+AC，所以AC2=(AB+BC)2，即AC2=AB2+BC2+2AB·BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B)同理，根據AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到

余弦定理1余弦定理的證明

【2】解析法(建系法)

余弦定理1余弦定理的描述

適用范圍：任意的三角形結構特征：“平方”“乘積”“夾角”“余弦”簡單應用：已知兩邊一角或已知三邊，求三角形其他邊角余弦定理1

勾股定理與余弦定理的聯系:

勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方與其中一個角之間的關系，因此勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.用余弦定理判斷三角形的類型：

余弦定理1余弦定理的推論

已知兩邊及一角解三角形

解析:(1)在△ABC中,由余弦定理得,

答案:(1)7

(2)5

【例2】

在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,b=3,c=4,則△ABC最小角的余弦值是

.

解析:因為a=2,b=3,c=4,所以A是最小角,已知三邊解三角形若將例2改為:已知a∶b∶c=2∶3∶4,則△ABC最大角的余弦值是(

)解析:因為a∶b∶c=2∶3∶4,所以c邊所對角最大.設a=2k,b=3k,c=4k(k>0),答案:B忽視三角形的構成條件——兩邊之和大于第三邊.

忽略構成三角形的條件坑①

利用余弦定理判斷三角形的形狀例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,試判斷三角形的形狀.(2)在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,試判斷該三角形的形狀.1.在△ABC中,若a<b<c,且c2<a2+b2,則△ABC為(

)A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.不存在解析因為c2<a2+b2,所以C為銳角.因為a<b<c,所以C為最大角,所以△ABC為銳角三角形.答案B變式訓練2在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c2=bccosA+cacosB+abcosC,則△ABC是

三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)

答案直角

三角形的面積公式1.在△ABC中,若ha,hb,hc分別

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