高二數學教(學)案必修第二冊第十四章統計(第5課時)6/6第5課時用樣本估計總體的集中趨勢參數【教學目標】1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(平均數、中位數、眾數)．2.理解集中趨勢參數的統計含義．【教學過程】活動一、理解平均數的概念某校高一(1)班同學在老師的布置下，用單擺進行測試，以檢驗重力加速度．全班同學兩人一組，在相同條件下進行測試，得到下列實驗數據(單位：m/s2)：9．629.549.789.9410.019.669.889.6810.329.769.459.999.819.569.789.729.939.949.659.799.429.689.709.849.90怎樣利用這些數據對重力加速度進行估計？我們常用算術平均數eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,a)i[其中ai(i＝1，2，…，n)為n個實驗數據]作為重力加速度的“最理想”的近似值，它的依據是什么呢？處理實驗數據的原則是使近似值與實驗數據越接近越好．設這個近似值為x，它與n個實驗數據ai(i＝1，2，…，n)的離差分別為x－a1，x－a2，x－a3，…，x－an.由于上述離差有正有負，故不宜直接相加．可以考慮離差的平方和，即(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2.因為(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)，所以當x＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)時，離差的平方和最小，故可用eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)作為表示這個量的理想近似值，稱為這n個數據a1，a2，…，an的平均數或均值，一般記為＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n).這樣，我們可以用計算器求得，由高一(1)班學生的實驗數據估計的重力加速度的最佳近似值為9.774m/s2.關于平均數有如下結論：(1)若a1，a2，…，an的平均數為，則ba1＋a，ba2＋a，…，ban＋a的平均數為________；(2)在n個數據中有k1個a1，k2個a2，…，km個am，則這n個數的平均數為____________________(其中k1＋…＋km＝n)；(3)在一組數據中，a1的頻率是p1，a2的頻率為p2，…，an的頻率為pn，則這組數據的平均數為____________________________．反思與感悟1.求52，49，48，54，47，48，55，52的平均數．2.某公司有3名經理，14名科技人員，23名工人，經理工資為4800元，科技人員3400元，工人1600元，求該公司的平均工資．活動二、掌握平均數的應用例1下面是某校學生日睡眠時間(單位：h)的抽樣頻率分布表.睡眠時間人數頻率[6.0，6.5)50.05[6.5，7.0)17[7.0，7.5)[7.5，8.0)0.37[8.0，8.5)6[8.5，9.0]2合計1(1)完成表格；(2)用兩種方法估計該校學生的日平均睡眠時間．反思與感悟若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.2.若每組數據在一個范圍內，則x1，x2，…，xn的值近似地取各組區間中點的數值(稱為“組中值”)．某單位年收入(單位：元)在10000～15000，15000～20000，20000～25000，25000～30000，30000～35000，35000～40000及40000～50000之間的職工所占的百分比分別為10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，試估計該單位職工的平均年收入．活動三、理解眾數與中位數的概念一般地，我們將一組數據中出現次數最多的那個數據叫作該組數據的眾數．將一組數據按照從小到大的順序排成一列，如果數據的個數為奇數，那么排在正中間的數據就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，那么排在正中間的兩個數據的平均數即為這組數據的中位數．思考???平均數、眾數、中位數這三個量都是反映一組數據的什么趨勢？平均數、眾數、中位數這三種估計總體集中趨勢參數的優缺點：名稱優點缺點平均數代表性較好，是反映數據集中趨勢的量．一般情況下，可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息受少數極端值的影響較大，使其在估計總體時的可靠性降低．任何一個數據的改變都會引起平均數的改變．數據越“離群”，對平均數的影響越大眾數①體現了樣本數據的最大集中點；②容易計算①它只能表達樣本數據中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體的特征中位數①不受少數幾個極端數據(即排序靠前或靠后的數據)的影響；②容易計算，便于利用中間數據的信息對極端值不敏感活動四、眾數與中位數的應用例2（1）某校高一(2)班的6名學生的體重(單位：kg)分別為47，49，52，57，60，71.(1)用哪種統計量代表這6名學生的體重比較合適？(2)這6個數據的中位數是多少？（2）下面是某實驗中學某班第一小組5位同學的立定跳遠、跳繩、800米跑的成績折線圖，則這5位同學立定跳遠的中位數，跳繩的平均數，800米跑的眾數分別是()A.1.98，131，3.88B.1.87，130，3.88C.1.98，130，3.88D.1.98，130，3.65例3一次數學測驗中，全班N名學生的數學成績的頻率直方圖如圖所示．已知分數在[110,120)內的學生有14人．(1)求總人數N和分數在[120,125)內的人數n；(2)利用頻率直方圖，估算該班學生數學成績的眾數、中位數和平均數．解(1)因為分數在[110,120)內的學生的頻率為(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以該班總人數N＝eq\f(14,0.35)＝40.分數在[120,125)內的學生的頻率為1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，所以分數在[120,125)內的人數n＝40×0.10＝4.(2)由頻率直方圖可知眾數是最高的小矩形底邊中點的橫坐標，即為eq\f(105＋110,2)＝107.5.設中位數為a.因為0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50，所以a＝110.平均數為(97.5×0.01＋102.5×0.04＋107.5×0.05＋112.5×0.04＋117.5×0.03＋122.5×0.02＋127.5×0.01)×5＝111.所以眾數、中位數、平均數分別是107.5,110,111.[題后反思]在頻率直方圖中，眾數是最高矩形下端中點的橫坐標；中位數使左右兩邊直方圖的面積相等；平均數等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和，即各組區間的組中值與對應頻率之積的和．學校對王老師與張老師的工作態度、教學成績及業務學習三個方面做了一個初步的評估，成績(單位：分)如下表所示：工作態度教學成績業務學習王老師989596張老師909998(1)如果以工作態度、教學成績及業務學習三個方面的平均分來計算他們的成績，并以此作為評優的依據，你認為誰會被評為優秀？(2)如果以20%,60%,20%作為三項成績的比例來計算他們的成績，結果又會如何？解(1)王老師的平均分：eq\f(98＋95＋96,3)≈96(分)．張老師的平均分：eq\f(90＋99＋98,3)≈95.7(分)．王老師的平均分較高，王老師被評為優秀．(2)王老師的平均分：98×20%＋95×60%＋96×20%＝95.8(分)．張老師的平均分：90×20%＋99×60%＋98×20%＝97(分)．張老師的平均分較高，張老師被評為優秀．例4某地統計部門為了解企業員工的收入狀況，決定進行抽樣調查．估計該地共有產業工人大約50000人，企業管理人員約1000人，工人與管理人員的月工資收入差異比較大．該地統計部門用分層抽樣的方法抽取產業工人500人，企業管理人員10人．被抽取的500名產業工人的人均月工資為5328元，10名企業管理人員的人均月工資為8426元，試估計這個地區企業員工的人均月工資．解被抽取的500名產業工人的人均月工資為5328元，故這500名產業工人的月工資總額為(5328×500)元．同理，被抽取的10名企業管理人員的月工資總額為(8426×10)元，所以被抽取的這510名企業員工的月工資總額為(5328×500＋8426×10)元．因此，被抽取的這510名企業員工的人均月工資(即樣本的平均數)為eq\f(5328×500＋8426×10,510)≈5389元．[題后反思]如果將總體分為k層，第j層抽取的樣本為xj1,xj2,…，xjnj，第j層的樣本量為nj，樣本平均數為eq\x\to(x)j,j＝1,2,…，k.記eq\i\su(j＝1,k,n)j＝n，則所有數據的樣本平均數為eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(j＝1,k,∑)eq\o(,\s\up6(nj),\s\do4(t＝1))xjt＝eq\f(1,n)eq\i\su(j＝1,k,)(njeq\x\to(x)j)．【課堂練習】1．已知一組數據按從小到大排列為－1,0,4,x,6,15，且這組數據的中位數為5，那么這組數據的眾數為(D)A．4 B.5C.5.5 D.6提示由題意得eq\f(1,2)(4＋x)＝5，解得x＝6，從而這組數據的眾數為6.2．已知一組觀察值4,3,5,6出現的次數分別為3,2,4,2，則樣本的平均值為(C)A．1.64 B.4.4C.4.55 D.12.5提示由題意得eq\x\to(x)＝eq\f(4×3＋3×2＋5×4＋6×2,3＋2＋4＋2)≈4.55.3．某臺機床加工的1000個產品中次品數的頻率分布表如下：次品數01234頻率0.50.20.050.20.05次品數的眾數、平均數依次為(A)A．0,1.1 B.0,1C.4,1 D.0.5,2提示次品數的平均數為0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.4．如圖所示是某市交警在一個路口統計的某個時段來往車輛的車速情況(單位：km/h)．(1)計算這些車的平均速度．(2)大多數車以哪一個速度行駛？(3)中間的車速是多少？解(1)eq\x\to(x)＝eq\f(40×1＋41×3＋42×6＋43×5＋44×3＋45×2,1＋3＋6＋5＋3＋2)＝42.6(km/h)．(2)這組數的眾數為42km/h，所以大多數車以42