2021-2022學年河南省洛陽市洛龍區九年級(下)期中數

學試卷

1.—|的相反數是()

A.--B.-C.-D.--

3232

2.3月5日洛陽市在5個城市區開展全員核酸檢測，某企業接到任務加班加點生產，

于23日凌晨完成本次核酸檢測需要的13萬支核酸提取試劑和病毒采樣管，可滿足

260萬人次的大規模核酸采樣需要.將數據“260萬”用科學記數法表示為()

A.0.26x107B.2.6x106C.26x10$D.2.6x105

3.如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正~I~I~

方形中數字表示該位置小正方體的個數，則該幾何體的左視圖是1一2匚」_3_

下列運算正確的是(

A.a2+a=3a3B.(-2a2)3=8a6

C.(a+1)(-1+a)=a2—1D.2a2.3a3=6a6

5.下列調查中，最適合采用抽樣調查的是()

A.對乘坐某航班的乘客進行安檢

B.對“神舟十一號”飛船發射前零部件質量情況的調查

C.對某校九年級三班學生視力情況的調查

D.對某市場上某一品牌手機使用壽命的調查

6.當a+b=4時，關于x的一元二次方程一a/+bx+2=0的根的情況為()

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根D.無法確定

7.如圖，已知平行四邊形ABCO的頂點0(0,0),4(1,2),點C,

在x軸負半軸上，O/平分/40C交于G,則點G的坐標V

為()周7A

A.(-1.2)/\/

B.(V5-1(2)-1--------—

C.(1-75,2)

D.(2-75,2)

8.對于題目“一段拋物線y=-x2+3x+c(0<x<3)與直線y=x+2有唯一公共

點.若c為整數，確定所有c的值”.甲的結果是c=l,乙的結果是c=3或4,

則()

A.甲的結果正確B.乙的結果正確

C.甲、乙的結果合在一起才正確D.甲、乙的結果合在一起也不正確

9.如圖，點A,8的坐標分別為4(2,0),8(0,2),點C

為坐標平面內一點，BC=1,點M為線段AC的中

點，連接OM,則OM的最大值為()

A.V2+1

B.V2+i

2

C.2V2+1

D.2V2-1

10.如圖①，在ZMBC中，AB=AC,^BAC=120°,點E是邊A8的中點，點P是邊

BC上一動點，設PC=x,P4+PE=y.圖②是y關于x的函數圖象，其中”是圖

象上的最低點.那么a+b的值為()

A.7V3B.2V3+4C.yV3D.yV3

11.計算：(—1)°——=.

12.已知4(0,3),8(2,3)是拋物線y=-x2+bx+c上兩點，該拋物線的頂點坐標是

13.如圖，在菱形ABC。中，AE1BC,垂足為E,點F、G

分別為AB、AO邊的中點，連接FG交AE于點H,若尸G=12,

AD=13,則tanZJlHG的值為.

14.如圖，在每個小正方形的邊長均為1的網格圖中，一段圓弧經過格點A,B,C,格

點4。的連線交圓弧于點E,則圖中陰影部分面積為.

第2頁，共23頁

D

15.如圖，矩形ABC。中，AB=12,BC=10,點E是BC上一點

且BE=2,點尸是CO上一點且CF=4,將矩形ABC。折疊,

使點E和點尸重合，折痕分別與A。、BC交于點HG,則AH

的長為.

16.(l)a-b=2V3,求一b)?瞑的值；

(2)解方程3(2%-5)=(2x-5尸.

17.4月23日是世界讀書日，某校鼓勵師生利用課余時間廣泛閱讀.該校文學社甲乙兩

名同學為了更好的了解全校學生課外閱讀情況，分別隨機調查了20名學生每周用

于課外閱讀的時間，將收集到的數據進行了整理，部分信息如下：

數據收集：甲同學從全校隨機抽取20名學生，進行了每周用于課外閱讀時間的調

查，數據如下(單位：分鐘)：

40,15,20,85,71,90,43,60,120,70,71,80,10,42,65,107,85,71,

125,130.

乙同學從八年級隨機抽取20名學生，進行了每周用于課外閱讀時間的調查，數據

如下(單位：分鐘)：

10,42,86,25,70,55,76,30,18,120,102,82,60,140,82,40,114,

100,90,98.

數據描述：將閱讀時間分為四個等級：4(0<x<40),B(40<%<80),C(80<x<

120),0(120<x<160).

甲同學按下表整理樣本數據：

等級ABCD

人數a9b3

乙同學繪制扇形統計圖如圖；

分析數據：樣本數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：

平均數中位數眾數

甲70C71

乙7279d

根據以上信息，回答下列問題:

(l)a=,b=,c=,d=；m=度；

(2)甲乙兩名同學中，哪名同學隨機調查的數據能較好地反映出該校學生每周用于

課外閱讀時間情況，并簡要說明另一名同學調查的不足之處；

(3)根據正確統計的這組每周課外閱讀時間的樣本數據，若該校學生有1500人，請

估計每周課外閱讀時間在80分鐘(含80分鐘)以上的學生有多少人？

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數尸=x+b的圖象經過點2(-2,0),與反

比例函數y=3。>0)的圖象交于B(a,4).

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；

(2)設M是直線AB上一點，過M作MN〃x軸，交反比例函數y=>0)的圖象

于點N,若A,O,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形，求點M的坐標.

19.文峰塔位于洛陽市洛邑古城內，始建于宋代，清初重建，是洛陽現存不多的古塔之

某數學活動小組想利用學過的數學知識測量文峰塔的高度，如圖，為了測量文

峰塔AB的高度，數學活動小組在。處樹立標桿CD,標桿高度是2米，在。8上

選取觀測點E、F,從E處測得標桿和文峰塔頂部C、A的仰角分別為58。、45。，

從尸處測得C、A的仰角分別為22°、70°.(參考數據：tan22°?0.40,tan58°?1.60,

tan70°?2.75.)

①利用學過的數學知識，求文峰塔48的高度(精確到0.1米).

②數學活動小組經過測量計算得出了文峰塔的高度，但是經過講解員介紹，和文峰

塔實際高度有較大的誤差，請給數學活動小組提出一條減小誤差的建議.

第4頁，共23頁

20.某商場用12000元購進大、小書包各200個，每個小書包比大書包的進價少20元.

在銷售過程中發現，小書包每天的銷量yi（單位：個）與其銷售單價%（單位：元）有

如下關系：y[=-x+76,大書包每天的銷量、2（單位：個）與其銷售單價z（單位：

元）有如下關系：y2=-z+80,其中x,z均為整數.商場按照每個小書包和每個大

書包的利潤率相同的標準確定銷售單價，并且銷售單價均高于進價（利潤率=

銷售單價-進價、

麗-%

（1）求兩種書包的進價；

（2）當小書包的銷售單價為多少元時，兩種書包每天銷售的總利潤相同；

（3）當這兩種書包每天銷售的總利潤的和最大時，直接寫出此時小書包的銷售單價.

21.

圓幕定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割線定理、割線定

理以及它們推論，其中切割線定理的內容是：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是

這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

喜歡思考的天天在了解這個定理之后嘗試給出證明，下面是他的部分證明過程：

①②

已知：如圖①，點尸為。。外一點，切線PA與圓相切于點A,割線PBC與圓相交于點

B、C.求證：PA2=PB-PC.

證明：如圖，連接AB、AC,BO、AO,

???P4切。。于點A,

：.PA^AO,即4PAB+4840=90°.

閱讀以上材料，完成下列問題：

(1)請幫助天天補充完成以上證明過程；

(2)如圖②，割線POE與圓交于點。、E,月.PB=BC=4,PE=7,求。E的長.

22.已知拋物線y=a/+c(a于0)經過點p(3,0)、Q(l,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點A在直線PQ上，過點A作AB1x軸于點B,以AB為斜邊在其左側作等腰

直角三角形48c.

①當。與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C在拋物線上，求C的坐標.

第6頁，共23頁

23.在△ABC中，^BAC=90°,AB=AC,點。在邊BC上，BD=擲,將線段OB

繞點。順時針旋轉至。E,記旋轉角為a,連接BE,CE,以CE為斜邊在其一側作

等腰直角三角形CEF,連接4凡

(1)如圖1,當a=180。時，請直接寫出線段AF與線段8E的數量關系；

(2)當0。<a<180°時，

①如圖2,(1)中線段AF與線段BE的數量關系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,當B,E,F三點共線時，連接AE,判斷四邊形AECF的形狀，并說明

理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數.根據只有符號不同

的兩個數互為相反數，可得答案.

【解答】

解：-|的相反數是|,

故選：C.

2.【答案】B

【解析】解：260萬=2600000=2.6x106.

故選：B.

科學記數法的表示形式為axIO"的形式，其中1<|a|<io,n為整數.確定n的值時，

要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.當

原數絕對值之10時，〃是正整數；當原數的絕對值<1時，〃是負整數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為ax1(T的形式，其中1W

|a|<10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及〃的值.

3.【答案】A

【解析】解：觀察圖形可知，該幾何體的左視圖是

故選：A.

由已知條件可知，左視圖有2列，每列小正方形數目分別為3,1,據此可得出圖形,

從而求解.

本題考查由三視圖判斷幾何體，簡單組合體的三視圖.由幾何體的俯視圖及小正方形內

的數字，可知主視圖的列數與俯視數的列數相同，且每列小正方形數目為俯視圖中該列

小正方形數字中的最大數字.左視圖的列數與俯視圖的行數相同，且每列小正方形數目

為俯視圖中相應行中正方形數字中的最大數字.

4.【答案】C

【解析】解：A、a?與。不是同類項，不能合并，故原題計算錯誤，不合題意;

B、(-2a2)3=-8a6,故原題計算錯誤，不合題意；

C、(a+l)(-l+a)=a2-l,故原題計算正確，符合題意；

D、2a2-3a3=6a5,故原題計算錯誤，不合題意；

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故選：c.

利用合并同類項法則、積的乘方與基的乘方的運算法則、平方差公式、單項式乘以單項

式乘法法則分別進行計算即可.

此題主要考查了整式的混合運算，關鍵是掌握合并同類項、積的乘方與累的乘方的運算

法則、平方差公式、單項式乘以單項式乘法法則.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象

的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價

值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查.由

普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查

結果比較近似.由此對選項逐一分析即可.

【解答】

解：A、對乘坐某航班的乘客進行安檢的調查適合全面調查；

8、對“神州十一號”飛船發射前零部件質量情況的調查適合全面調查；

C、對某校九年級三班學生視力情況的調查適合全面調查；

。、對市場上某一品牌手機使用壽命的調查適合抽樣調查.

故選：D.

6.【答案】A

【解析】解：1?14=h2-4x(-a)x2=

=b2+8a,

而a+b=4,

■■a=4—b,

1?-4=匕2+8(4-b)

=(b—4產+16>0,

??.方程有兩個不相等的實數根.

故選：A.

先計算判別式的值得到/=b2+8a,再把a=4-b代入得4=(b-4)2+16>0,然后

根據判別式的意義判斷方程根的情況.

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0(a豐0)的根與4=b2-4ac有

如下關系：當A』〉。時，方程有兩個不相等的實數根；當4=0時，方程有兩個相等的

實數根；當4<0時，方程無實數根.

7.【答案】C

【解析】解：過G點作GH1x軸于H,

■：0(0,0),4(1,2),

OA="+22=6，AM=1,

在平行四邊形O4BC中，AB//CO,

AAAGO=乙COG,GH=2,

???OF平分"OC,

???乙COG=Z-AOG,

???乙AGO=Z-AOG,

:.AG=OA—V5,

MG=AG-AM=

???M(1-V5,2).

故選：C.

過G點作GHJ.x軸于“，由。，A兩點坐標可求得。4=而，AM=1,結合平行四邊

形的性質及角平分線的定義可求解4G=而，GH=2,即可求得GM=6-1,再由點

的坐標的位置可求解.

本題主要考查平行四邊形的性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，坐標與

圖形的性質，求解AG的長是解題的關鍵.

8.【答案】D

【解析】解：,:一段拋物線y=-x2+3%+c(0<x<3)與直線y=x+2有唯一公共點,

二分兩種情況：

如圖1,拋物線與直線相切，

聯立解析式比+

第10頁，共23頁

—2x+2—c=0,

4=(-2)2-4(2-c)=0,

解得：c=1,

如圖2,拋物線與直線相交，且在OWxW3上只有一個交點,

圖2

此時，兩個臨界點分別為(0,2),(3,5)在拋物線上，

2<c<5,

???c為整數，

c--3,4,5,

綜上所述，c=1,3,4,5,

故選：D.

分兩種情況：拋物線與直線相切和拋物線與直線相交，且在0<x<3上只有一個交點，

進行討論，求出c的值，即可得出答案.

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，一元二次方

程根的判別式，運用分類討論、數形結合的思想是解決問題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：如圖，

??,點C為坐標平面內一點，BC=1,

二點C在以點B為的圓心，半徑為1的圓上，

???AM=CM,OD=OA,

0M是△4CD的中位線,

OM=-CD,

2

當。例最大時，即C￡＞最大，而當。，B,C三點共線時，C在OB的延長線上時，0M

最大，

vOB=0D=2,ABOD=90°,

BD=2V2,

CD=2V2+1,

...OM==夜+1,即0M的最大值為近+

故選：B.

根據同圓的半徑相等可知：點C在半徑為1的上，通過畫圖可知，C在與圓8

的交點時，0M最小，在。8的延長線上時，0M最大，根據三角形的中位線定理可得

結論.

本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理等知識，確定0M為最大值時點C

的位置是關鍵，也是難點.

10.【答案】C

【解析】解：當P與B重合時，由圖②知，BE+BA=6,

???點E是邊AB的中點，

BE=-AB,

2

??.BE=2,AB=4=AC,

作A關于直線BC的對稱點A,連接AE交于P,44'交于K,連接如圖：

11匕時P4=PA\

???PA+PE=PA+PE,

而/'、P、E共線，PA+PE最小，即P4+PE最小,

-AB=AC,Z-BAC=120°,

???乙/lBC=4。=30°,

???4、4關于BC對稱，

???Z-AKC=90°,

AK=A'K=-AC=2,MAK=60°,

2

AA'=AB=4,/.BAA'=/.BAC-Z.CAK=60°,

是等邊三角形，

第12頁，共23頁

???E是AB中點,

/.AA'E=-^AA'B=30°,^AEA'=90。，

2

"AP=A'P,

???Z.PAA'=30°,

???APAK=APAE=30°,

???Z.PAC=/.PAK+Z.CAK=90",

在Rt△4PC中，

AP=AC-tan30°=—,CP=2AP=—=b,

33

在APE中，PE=-AP

23

:.a=AP+PE=2\/3,

.ILnPS18舊1473

??Q+b=2V3H---=------,

33

故選：c.

當P與8重合時，由圖②可得BE=2,AB=4=AC,作A關于直線BC的對稱點A,

連接AE交BC于P,44'交BC于K,連接A'B,此時P4=PA',4'、P、E共線,PA'+PE

最小，即P4+PE最小，根據4B=AC,ABAC=120°,A、4'關于8c對稱，可證△ABA'

是等邊三角形，在Rt△4PC中，得4P=AC-tan30°=竽，CP=24P=竽=b,在Rt△

4PE中，PE=^AP=^,即可得答案.

本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是正確識圖，能作出輔助線，把PA+PE轉

化為PA'+PE的最小值.

11.【答案】3

【解析】解：原式=1-(-2)=1+2=3,

故答案為：3

原式利用零指數基法則，以及立方根定義計算即可求出值.

此題考查了實數的運算，以及零指數幕，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

12.【答案】(1,4)

【解析】

【分析】

本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征的應用，能求出函數的解析

式是解此題的關鍵.把A、3的坐標代入函數解析式，即可得出方程組，求出方程組的

解，即可得出解析式，化成頂點式即可.

【解答】

解：???4(0,3),8(2,3)是拋物線丫=一/+加;+。上兩點，

二代入得：

1-4+2b+c=3

解得：b=2,c=3,

:.y——x2+2%+3

=-(%一I)2+4,

頂點坐標為(1,4),

故答案為(1,4).

13.【答案】蔡

【解析】解：如圖，連接5。交AE于M連接AC,交BD于點0,

???點AG分別為A3、AO邊的中點，

BD=2FG=24,BD//FG.

???Z.AGH=(ADN,

???四邊形A3CQ是菱形，

?.AC1BD,AO=CO,BO=D0=12,

:.AO=yjAD2-DO2=V169-144=5,

v乙ADN+Z.DAO=90°,Z-AGH+^AHG=90°,

???乙ADN=/-AHG,

AtanZ-AHG=tanZ-DAO=—=—,

AO5

故答案為：Y-

由三角形中位線定理可得BD=2FG=24,BD//FG,^AGH=AADN,由菱形的性質

和勾股定理可求4。=5,即可求解.

本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，勾股定理，銳角三角函數等知識，靈活運

用這些性質解決問題是解題的關鍵.

14.【答案】

88

【解析】解：如圖，作AB、BC的垂直平分線，兩線交于。，連接04、OE、OC,

由圖形可知△ACD是等腰直角三角形,

4DAC=45°,

第14頁，共23頁

4EOC=90°,

???AC=CD=yj22+32=V13,

OA=OE=2

1LL1gg907rx(孚)2

x

?<,S陰影=S“CD-SAAOE-s扇形EOC=2V13xV13--x—x--------荻----

3913

-------TT

816

故答案為：—yf7T.

816

找出圓心，根據勾股定理即可求出半徑，根據圖形得出乙4OE的度數，根據三角形面積

公式和扇形面積公式求出即可.

本題考查了勾股定理，圓周角定理，扇形的面積公式的應用，主要考查學生的計算能力.

15.【答案】1

【解析】解：如圖，過點H作//K1BC于K,連接4E,設4H=x,

在矩形ABC。中，AB=12,BC=10,BE=2,CF=4,

二HK=12,KE=2—x,HD=10-x,DF=12—4=8,

在Rt4HKE,RMHCF中，HK2+KE2=HE2,HD2+DF2=HF2,

由折疊可知：HG垂直平分EF,則HE=HF,

HK2+KE2=HD2+DF2,

即122+(2-x)2=(10-x)2+82,

解得x=1,

即4H=1.

故答案為：1.

過點H作HKJ.BC于K,設=根據己知條件，在RMHKE,RtaHDF中,勾股

定理求得HK?+KE2=HE2,HD2+DF2=HF2,根據折疊的性質可知4G垂直平分

EF,則=建立方程，解方程求解即可.

本題考查了折疊的性質，垂直平分線的性質，勾股定理，矩形的性質，掌握勾股定理是

解題的關鍵.

a2+b2

16.【答案】解：(1)(1

2a

a2+b2-2aba

2aa-b

(a—b)2a

-------------------

2aa—b

_a-b，

=--2--

當Q一b二2百時，原式=等=V3；

(2)3(2%-5)=(2%-5/，

3(2%-5)-(2%-5)2=0,

(2%-5)(3-2%+5)=0,

(2%-5)(8-2x)=0,

2%—5=0或8—2%=0,

x-y—2.5,%2=4.

【解析】(1)先算括號里，再算括號外，然后把a-b=2次代入化簡后的式子進行計算

即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答.

本題考查了分式的化簡求值，解一元二次方程-因式分解法，準確熟練地進行計算是解

題的關鍵.

17.【答案】357182108

【解析】解：(1)由甲同學收集的20個數據可得，a=3,b=5,

將甲同學收集的20個數據按從小到大的順序排列為：

10,15,20,40,42,43,60,65,70,71,71,71,80,85,85,90,107,120,125,

130,

第10,11個數均為71,所以中位數c=71,

乙同學收集的20個數據中，82出現了兩次，次數最多，所以眾數d=82；

20個數據中B等級有6人，則m=360°義捺=108°.

故答案為：3,5,71,82：108；

(2)甲同學的較好.因為甲同學選取的樣本具有代表性，全校學生都有可能被調查.

乙同學調查的不足之處是：樣本數據選取不具代表性；

(3)1500=600(A).

故可估計每周課外閱讀時間在80分鐘(含80分鐘)以上的學生有600人.

(1)由已知數據可得a、b的值，根據中位數和眾數的定義可得c、d的值，用360。乘以

乙同學的樣本中8等級人數所占的百分比可得加的值：

(2)根據兩名同學選取樣本的方式可得答案；

(3)用總人數乘以甲同學樣本中C、。兩個等級人數所占比例即可.

此題主要考查數據的統計和分析的知識.準確把握三數(平均數、中位數、眾數)和理解

第16頁，共23頁

樣本與總體的關系是關鍵.

18.【答案】解：(1)???一次函數y=x+b的圖象經過點4(一2,0),

0=-2+b,得b=2,

??.一次函數的解析式為y=x+2,

???一次函數的解析式為y=x+2與反比例函數y=>0)的圖象交于B(a,4),

4=a+2,得a=2,

:.4=p得k=8,

即反比例函數解析式為：y=|(x>0)；

(2)?.?點4(—2,0),

:.OA=2,

設點M(7n-2,7n),點N(《,m)(m：>0),

當MN〃/10且MN=4。時，以A,O,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，

*-(m-2)|=2,

解得，m——2企或m=2V3+2,

???點M的坐標為(2夜-2,2夜)或(2國,2V3+2).

【解析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，解答本題的關鍵是明確題意，利

用數形結合的思想解答.

(1)根據一次函數y=尤+b的圖象經過點4(-2,0),可以求得b的值，從而可以解答本題;

(2)根據平行四邊形的性質和題意，可以求得點M的坐標，注意點M的橫坐標大于0.

19.【答案】解：在Rt△￡1/)￡■中，/.CED=58",CD=2米，

DE==1.25(米)，

tanS8Q1.6'''

在RMCDF中，/.CFD=22",

DF=/￡-=2=5(米)，

tan22°0.4''"

???EF=DF—DE=3.75(米)，

設BF=x米，

BE=EF+BF=(x+3.75)米，

在中，AAFB=70°,

???AB=AF-tan70°?2.75x(米)，

在RtzMBE中，^AEB=45°,

???x?2.14,

???經檢驗：x=2.14是原方程的根,

：.AB=2.75xa5.9（米），

文峰塔AB的高度約為5.9米；

(2)可以多次測量求平均值，以減小誤差.

【解析】⑴先分別在RMCDE和RtACDF中，利用銳角三角函數的定義求出￡>E,DF

的長，從而求出EF的長，設8F=x米，然后在RtAABF中，利用銳角三角函數的定義

求出A8的長，最后在RtUBE中，利用銳角三角函數的定義列出關于x的方程進行計

算即可解答；

(2)可以多次測量求平均值，以減小誤差.

本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題

的關鍵.

20.【答案】解：(1)設大書包的進價為“元/個，則小書包的進價為(a-20)元/個，

200a+200(a-20)=12000,

解得a=40,

???a-20=20,

答：大書包的進價為40元/個，小書包的進價為20元/個；

(2)、?商場按照每個小書包和每個大書包的利潤率相同的標準確定銷售單價，

X-20Z-40

:，-----=------，

2040

??z—2x,

???兩種書包每天銷售的總利潤相同，

?**(x-20)(—x4-76)=(z-40)(—z+80),

(%-20)(-%+76)=(2%-40)(—2%+80),

解得與=20,不=28,

?.?銷售單價均高于進價，

???x=20不合題意，

:.x=28,

答：當小書包的銷售單價為28元時，兩種書包每天銷售的總利潤相同；

(3)設這兩種書包每天銷售的總利潤的和為卬元，

w=(%-20)(-%+76)+(z-40)(—z+80),

由(2)知，z=2%,

???w=Q-20)(-%+76)+(2%-40)(-2%+80)=-5x2+336%—4720,

.?.該函數的對稱軸是直線％=-曰；=33.6,開口向下，有最大值，

2X(-5)

又???%為整數，

.?.當x=34時，卬取得最大值，此時w=924,

答：當這兩種書包每天銷售的總利潤的和最大時，此時小書包的銷售單價是34元.

【解析】(1)根據某商場用12000元購進大、小書包各200個，每個小書包比大書包的

進價少20元，可以列出相應的方程，從而可以求得兩種書包的進價；

第18頁，共23頁

(2)根據商場按照每個小書包和每個大書包的利潤率相同的標準確定銷售單價，兩種書

包每天銷售的總利潤相同，可以列出相應的方程，從而可以得到當小書包的銷售單價為

多少元時，兩種書包每天銷售的總利潤相同；

(3)根據(2)中x和z的關系和題意，可以得到利潤與小書包銷售單價之間的函數關系，

再根據二次函數的性質，即可得到當這兩種書包每天銷售的總利潤的和最大時，此時小

書包的銷售單價.

本題考查二次函數的應用、一元一次方程的應用、一元二次方程的應用，解答本題的關

鍵是明確題意，利用二次函數的性質和方程的知識解答.

21.【答案】(1)證明：如圖，連接AB、AC、BO、AO,

??,P4切。。于點A,

PALAO,即NP4B+/BAO=90°.

???OA—OB,

../.OAB=/.OBA,

v/.OAB+A.OBA+NO=180",

???2Z.OAB+ZO=180°,

???/.OAB+-AO=90。，

2

???Z.PAB=-z.0,

2

2

:.Z.PAB=乙C,

v乙P=乙P,

PABs^PCA,

PAPB

—=—,

PCPA

PA2=PB?PC；

(2)解：,；P42=pB-pc.

同理：PA2=PD-PE.

???PBPC=PD-PE.

.pD="生=4X(4+4)=32

"PE77'

3217

DE=PE-PD=7——=—.

77

答：的長為，.

【解析】(1)證明△PABSAPCA,即可補充完成證明過程；

(2)結合(1)同理可得PA?=PD.PE.所以PBPC=PD-PE.然后代入值即可求出PO的

長，進而可得。E的長.

本題考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，解決本題

的關鍵是得到△PABsxpcA,

22.【答案】解：(1)P(3,O)、(2(1,4)代入丫=。/+(；得：

a=—1

X猊c,解得2

9，

C=2

???拋物線的解析式為：y=-jx2+|；

(2)①過C作CHJ.4B于H,交y軸于G,如圖：

當A與Q(l,4)重合時，AB=4,GH=1,

???△ABC是等腰直角三角形，

???△2。”和4BCH也是等腰直角三角形，

CH=AH=BH=-AB=2,

2

???CG=CH-GH=1,

而拋物線y=-1x2+T的對稱軸是y軸。=0),

C到拋物線對稱軸的距離是CG=1；

②過C作CHJL4B于H,如圖：

設直線PQ解析式為丫=/^+從將P(3,0)、Q(l,4)代入得：

C：配9解瞰:”

二直線PQ為y=-2%+6,

設4(m,-2m+6),則48=|-2m+6|,

：.CH=AH=BH=^AB=|-m+3|,

當—時，

m+320,yc=-m+3xc=m-(—m+3)=2m-3,

第20頁，共23頁

將C(2m-3,-m+3)代入y=-1x2+g得：

1cq

—m+3=--(2m—3)2+

解得?n=［或zn=3(與尸重合，舍去)，

???m=-,2m—3=—2,—m+3=三，

22

5

??"(一”)

當一m4-3<0,yc=—m+3時，xc=m—(m-3)=3f

C(3,-m+3),由P(3,0)可知m=3,

此時A、B、C重合，舍去，

??C(-2.|)

【解析】(l)P(3,0)、Q(L4)代入y=a/+c即可得拋物線的解析式為y=-*+會

(2)①過C作C”_L4B于H,交y軸于G,A與Q(l,4)重合時，AB=4,GH=1,由

是等腰直角三角形，得CH=AH=BH=\AB=2,C到拋物線對稱軸的距離是CG=1；

②過C作于”，先求出直線PQ為y=-2x+6,設4(m,-2m+6),則AB=

-2m+6,yc