全國100所名校單元測試示范卷·高三·數學卷(十三)第十三單元立體幾何初步(120分鐘150分)第Ⅰ卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的.1.若空間中有兩條直線,則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件解析:若兩直線為異面直線,則兩直線無公共點,反之不一定成立.答案:A2.如果有底的圓柱底面直徑和高都等于球的直徑,則圓柱與球的表面積之比為A.3∶2B.3∶1C.2∶1D.2∶1解析:設球的半徑為r,則S圓柱∶S球=(2πr2+(2r)·2πr)∶4πr2=3∶2.答案:A3.α、β是兩個不重合的平面,a、b是兩條不同直線,在下列條件下,可判定α⊥β的是A.a⊥α,a⊥β B.a?α,a⊥βC.a?α,b?β,a⊥b D.a?α,b⊥α,b∥β解析:根據面面垂直的判定可知,B項可以推出α⊥β.答案:B4.設平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中點,當A、B分別在α、β內運動時,那么所有的動點CA.不共面B.當且僅當A、B在兩條相交直線上移動時才共面C.當且僅當A、B在兩條給定的平行直線上移動時才共面D.不論A、B如何移動都共面解析:根據平行平面的性質,不論A、B如何運動,動點C均在過C且與α,β都平行的平面上.答案:D5.已知以下三視圖中有三個同時表示某一個三棱錐,則不是該三棱錐的三視圖的是解析:依次還原幾何體,可以得出A,B,C中的三視圖是同一個三棱錐,擺放的位置不同而已,而D和它們表示的不是同一個三棱錐.答案:D6.如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,則該三棱柱的體積為A.12 BC.2 D.4解析:連結A1C,∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C,∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1,即四邊形AA1C1C是正方形,∴AA1=AC=1,則該三棱柱的體積V=12×1×2×答案:B7.如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F是AB的三等分點,G、H是CD的三等分點,M、N分別是BC、EH的中點,則四棱錐A1—FMGN的側視圖為解析:側視圖即為光線自物體的左側向右側投影所得的投影圖,點A1、F、M、N的投影分別為點D1、G、C、H,故該物體的側視圖為選項C所示.答案:C8.在直二面角α—l—β中,直線a?α,直線b?β,a,b與l斜交,則A.a不和b垂直,但可能a∥b B.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不和b平行,但可能a⊥b D.a不和b垂直,也不和b平行解析:若a∥b,則a∥β,于是a∥l與已知矛盾;若a⊥b,在β內做直線m⊥l,則m⊥α,于是a⊥m,b,m不平行,所以a⊥β,則a⊥l與已知矛盾,故a不平行b也不垂直b.答案:D9.設有一幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為A.4+π2 B.4+C.4+5π2 D解析:該三視圖的實物圖有三部分組成,上半部分為底面半徑為1高為2的圓柱,下半部分由底面半徑為1高為1的圓柱的一半及邊長為2、2、1的長方體組合而成,故其體積為4+5π答案:C10.設三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱長都為a,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為A.πa2 B.73πa2 C.113πa2 D.5π解析:由題設條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱,根據對稱性可知,外接球的球心為上、下兩底中心O1、O2連線的中點O,如圖所示.在Rt△AO1O中,AO1=23×3a2=3a3OA2=R2=(3a3)2+(a2)2S球=4πR2=4π×7a212答案:B11.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.若BC邊上存在兩個點Q使得PQ⊥DQ.則a的取值范圍是A.(1,+∞) B.[1,2) C.(2,+∞) D.[2,4]解析:如圖所示,若PQ⊥DQ,則有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,則“BC邊上存在兩個點Q使得PQ⊥DQ”就轉化為“BC邊上存在兩個點Q使得AQ⊥DQ”,即以AD為直徑的圓與邊BC有兩個交點,所以a2>1,即a>2.答案:C12.如圖所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分別是BF、CE上的點,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如圖1).將四邊形ADEF沿AD折起,連結BE、BF、CE(如圖2).在折起的過程中,下列說法中錯誤的是A.AC∥平面BEFB.B、C、E、F四點不可能共面C.若EF⊥CF,則平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE與平面BEF可能垂直解析:在圖2中取AC的中點為O,取BE的中點為M,連結MO,易證得四邊形AOMF為平行四邊形,即AC∥FM,∴AC∥平面BEF,故A正確;∵直線BF與CE為異面直線,∴B、C、E、F四點不可能共面,故B正確;在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,∴EF⊥平面CDF,即有CD⊥EF,∴CD⊥平面ADEF,則平面ADEF⊥平面ABCD,故C正確;延長AF至G使得AF=FG,連結BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,過F作FN⊥BG于N,則FN⊥平面BCE.若平面BCE⊥平面BEF,則過F作直線與平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾,故D錯誤.答案:D第Ⅱ卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上.13.一個棱臺被平行于底面的平面所截,若上底底面面積、截面面積與下底底面面積之比為4∶9∶16,則此棱臺的側棱被分成上下兩部分之比為.

解析:根據還臺于錐的辦法可得,此棱臺的側棱被分成上下兩部分之比為1∶1.答案:1∶114.已知m,n為不同的直線,α,β為不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m?α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β,則其中能使m∥α成立的充分條件有(填序號).

解析:①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,這是因為m可能在平面α內;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,這是因為m可能在平面α內;③m?α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,這是因為m可能在平面α內.答案:③15.已知在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P、Q、R分別是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心,給出下列四個結論:①PR與BQ是異面直線;②RQ⊥平面BCC1B1;③平面PQR∥平面D1AC;④過P、Q、R的平面截該正方體所得的截面是邊長為2的等邊三角形.以上結論中正確的是.(寫出所有正確結論的序號)

解析:據圖可知③④正確.答案:③④16.如圖所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB且AB=7,AD=3,CD=4,DE=3,若沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,則四棱錐D—ABCE的外接球的體積為.

解析:因為平面ADE⊥平面ABCE且△ADE為直角三角形,所以四邊形ABCE的外接圓的圓心即為四棱錐D—ABCE的外接球的球心,在△ABC中,AB=7,BC=32,AC=5,∠ABC=π4,由正弦定理得四邊形ABCE的外接圓的直徑為ACsin∠ABC=5sin∠ABC=52答案:1252三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)如圖所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,側面ABB1A1,ACC1A1均為正方形,∠BAC=90°,AB=2,點D1、D分別是棱B1C1、BC的中點.(1)求證:A1D1⊥平面BB1C1C;(2)求證:AB1∥平面CA1D1.解析:(1)由已知得AA1⊥平面A1B1C1,∴側面BCC1B1⊥平面A1B1C1,又A1B1=A1C1,∴A1D1⊥B1C1,∴A1D1⊥平面BB1C1C,5分(2)∵D1、D分別是棱B1C1、BC的中點,∴B1D∥CD1,∴CD1∥平面AB1D.又ADD1A1為矩形,∴A1D1∥AD,∴A1D1∥平面AB1D.∵AD∩DB1=D,∴平面CA1D1∥平面ADB1.又AB1?平面AB1D,∴AB1∥平面CA1D1.10分18.(本小題滿分12分)如圖所示,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分別為PC、PD、BC的中點.(1)求證:PA∥平面EFG;(2)求三棱錐P—EFG的體積.解析:(1)∵E,F分別為PC,PD的中點,∴EF∥CD.∵ABCD為正方形,∴CD∥AB,∴EF∥AB,∵E,G分別是PC,BC的中點,∴EG∥PB,∴平面EFG∥平面PAB.∵PA?平面PAB,∴PA∥平面EFG.6分(2)∵PD⊥平面ABCD,GC?平面ABCD,∴GC⊥PD.∵ABCD為正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,∴GC⊥平面PCD.∵PF=12PD=1,EF=12CD=1,∴S△PEF=12EF×PF=∵GC=12∴VP—EFG=VG—PEF=13S△PEF·GC=13×12×1=119.(本小題滿分12分)如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點.(1)證明:平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)在棱C1D1上是否存在一點F,使B1F∥平面A1BE?證明你的結論.解析:(1)∵多面體ABCD—A1B1C1D1為正方體,∴B1C1⊥平面ABB1A1;∵A1B?平面ABB1A1,∴B1C1⊥A1B.又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴A1B⊥平面ADC1B1,∵A1B?平面A1BE,∴平面ADC1B1⊥平面A1BE.5分(2)當點F為C1D1中點時,可使B1F∥平面A1BE.以下證明之:易知EF∥C1D,且EF=12C1D,設AB1∩A1B=O,則B1O∥C1D且B1O=12C1所以EF∥B1O且EF=B1O,所以四邊形B1OEF為平行四邊形.所以B1F∥OE.又因為B1F?平面A1BE,OE?平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.12分20.(本小題滿分12分)一個多面體的三視圖和直觀圖分別如圖所示,其中M,N分別是AB,AC的中點,G是DF上的一動點.(1)求證:GN⊥AC;(2)當FG=GD時,在邊AD上是否存在一點P,使得GP∥平面FMC?解析:(1)如圖所示,由三視圖可得直觀圖為一個橫放的側棱垂直于底面的三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC,連接DB.可知B,N,D共線,且AC⊥DN,又FD⊥AD,FD⊥CD,且AD∩CD=D,所以FD⊥平面ABCD,所以FD⊥AC.又FD∩DN=D,所以AC⊥平面FDN.所以GN⊥AC.6分(2)當FG=GD時,在邊AD上存在一點P,使得GP∥平面FMC,此時A,P重合.證明如下:取DC中點S,連接AS,GS,GA.因為G是DF的中點,所以GS∥FC,AS∥CM.又GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面GSA∥平面FMC.又GA?平面GSA,所以GA∥平面FMC,即GP∥平面FMC.12分21.(本小題滿分12分)如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D、E分別為AC、AB的中點,沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐A'—BCDE.(1)在棱A'B上找一點F,使EF∥平面A'CD;(2)求四棱錐A'—BCDE體積的最大值.解析:(1)F為棱A'B的中點.證明如下:取A'C的中點G,連結DG,EF,GF,則由中位線定理得DE∥BC,DE=12BC,且GF∥BC,GF=1所以DE∥GF,DE=GF,從而四邊形DEFG是平行四邊形,EF∥DG.又EF?平面A'CD,DG?平面A'CD,故F為棱A'B的中點時,EF∥平面A'CD.6分(2)在平面A'CD內作A'H⊥CD于點H,DE⊥A'D,DE⊥又DE∩CD=D,∴A'H⊥底面BCDE,即A'H就是四棱錐A'—BCDE的高.由A'H≤AD知,點H和D重合時,四棱錐A'—BCDE的體積取最大值.此時V四棱錐A'—BCDE=13S梯形BCDE·AD=13×12(a+2a)a·a=1故四棱錐A'—BCDE體積的最大值為12a3.1222.(本小題滿分12分)一個多面體如圖,ABCD是邊長為a的正方形,AB=FB,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,G,H分別為AE,CE中點.(1)求證:GH∥平面ACF;(2)當平面ACE⊥平面ACF時,求DE的長.解析:(1)如圖,連結AC.在△ACE中,∵G,H分別為AE,CE中點,∴GH∥A