廣西壯族自治區梧州市藤縣第四中學2021-2022學年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲線圍成的區域，若向區域Ω上隨機投一點P，則點P落入區域A的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】CF：幾何概型．【分析】本題利用幾何概型求解．欲求恰好落在陰影范圍內的概率，只須求出陰影范圍內的面積與正方形的面積比即可．為了求出陰影部分的面積，聯立由曲線y=x2和曲線y=兩個解析式求出交點坐標，然后在x∈（0，1）區間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可．【解答】解：聯立得，解得或，設曲線與曲線圍成的面積為S，則S=∫01（﹣x2）dx=而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的區域是一個邊長為2的正方形，∴Ω上隨機投一點P，則點P落入區域A（陰影部分）中的概率P==，故選D．【點評】本題考查的知識點是幾何概型，其中利用積分公式，計算出陰影部分的面積是解答本題的關鍵．2.設函數是區間上的增函數，則實數t的取值范圍是

（

）A．

B．C．D．參考答案：D3.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是（

）A．

B． C．

D．參考答案：A4.已知球的直徑，是該球面上的兩點，，，則三棱錐

的體積為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D5.設平面，直線．命題“”是命題“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D【分析】根據線面平行的判定定理和兩直線的位置關系，利用充要條件的判定方法，即可判定得到答案。【詳解】由題意，平面，直線，若命題“”則可能或，所以充分性不成立，又由當“”時，此時直線與直線可能相交、平行或異面，所以必要性不成立，所以命題“”是命題“”的既不充分也不必要條件，故選D。【點睛】本題主要考查了充要條件的判定問題，其中解答中熟記線面平行的判定與性質，以及兩直線的位置關系的判定，合理應用充要條件的判定方法是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題6.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值是（） A．120 B． 105 C． 15 D． 5參考答案：考點： 循環結構．專題： 算法和程序框圖．分析： 據題意，模擬程序框圖的運行過程，得出程序框圖輸出的k值是什么．解答： 解：第一次循環得到：k=1，i=3；第二次循環得到：k=3，i=5；第三次循環得到：k=15，i=7；滿足判斷框中的條件，退出循環∴k=15故選C點評： 本題考查了求程序框圖的運行結果的問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出結論，是基礎題．7.設集合，B={－2,－1,0,1,2,3}，則集合A∩B為（

）A．{－2,－1,0,1,2}

B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,1,2,3}

D．{－2,－1,0,1,2,3}參考答案：B8.函數的大致圖象是

參考答案：【知識點】函數圖像得確定.

B8C

解析：因為f(0)=-3,所以排除選項A、B；又因為時，,所以排除選項D,故選C.

【思路點撥】利用特殊值法排除三個選項得正確選項.

9.函數（）的圖象的一條對稱軸方程是A．

B.

C.

D．參考答案：B10.對于函數y=g（x），部分x與y的對應關系如下表：x123456y247518數列{xn}滿足：x1=2，且對于任意n∈N*，點（xn，xn+1）都在函數y=g（x）的圖象上，則x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．6047參考答案：D【考點】函數的圖象．【分析】由題意易得數列是周期為4的周期數列，可得x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值計算可得．【解答】解：∵數列{xn}滿足x1=2，且對任意n∈N*，點（xn，xn+1）都在函數y=g（x）的圖象上，∴xn+1=g（xn），∴由圖表可得x1=2，x2=f（x1）=4，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=1，x5=f（x4）=2，∴數列是周期為4的周期數列，故x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×（2+4+5+1）+2+4+5=6047，故選：D．【點評】本題考查函數和數列的關系，涉及周期性問題，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面四邊形為凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側），且，，，，則平面四邊形面積的最大值為

．參考答案：設AC=,在中由余弦定理有同理，在中，由余弦定理有：，即①，又平面四邊形面積為，即②.

①②平方相加得，當時，取最大值.12.（選修4-4：坐標系與參數方程）在極坐標系內，已知曲線C1的方程

為，以極點為原點，極軸方向為正

半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線C2的參數

方程為(為參數)．設點P為曲線C2上的動點，過點P作曲線C1的兩條切線，則這兩條切線所成角余弦的最小值是_______．參考答案：【知識點】參數方程

N3解析：曲線的一般方程為：即，圓心為半徑為1，曲線的一般方程為：點到直線的距離是：則這兩條切線所成角余弦的最小值是【思路點撥】根據參數方程可求出一般方程，再根據直線與圓的關系可求出結果.13.某種飲料分兩次提價，提價方案有兩種，方案甲：第一次提價,第二次提價；方案乙：每次都提價，若，則提價多的方案是

.參考答案：乙設原價為1，則提價后的價格:方案甲：,乙：，因為，因為，所以，即，所以提價多的方案是乙。

【解析】略14.（5分）8名支教名額分配到三所學校，每個學校至少一個名額，且甲學校至少分到兩個名額的分配方案為（用數字作答）參考答案：15【考點】：計數原理的應用．【專題】：排列組合．【分析】：8人分成三組有可以分為（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2）共5類，根據分類計數原理即可求出解：8名支教名額分配到三所學校，每個學校至少一個名額，則8人可以分為（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），∵甲學校至少分到兩個名額，第一類是1種，第二類有4種，第三類有4種，第四類有3種，第五類也有3種，根據分類計數原理可得，甲學校至少分到兩個名額的分配方案為1+4+4+3+3=15種故答案為：15．【點評】：本題考查了分類計數原理得應用，關鍵是分類，屬于基礎題．15.如圖，AB是半圓O的直徑，P在AB的延長線上，PD與半圓O相切于點C，ADPD.若PC=4，PB=2，則CD=____________.參考答案：16.計算定積分

.

參考答案：17.兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，圖中的實心點的個數1、5、12、22、…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a1＝1，第2個五角形數記作a2＝5，第3個五角形數記作a3＝12，第4個五角形數記作a4＝22，……，若按此規律繼續下去，則a5＝____，若an＝145，則n＝____.

參考答案：35，10.根據圖形變化的規律可歸納得.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分，第（1）題6分、第（2）題6分）棱長為2的正方體中，點是棱的中點．（1）求直線與平面所成的角的大小（結果用反三角函數值表示）； （2）求四面體的體積．參考答案：（1）連接，平面，∴即為直線與平面所成角∵，，，∴，（2）連接、，則19.已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，，記函數在上的最大值為m，證明：.參考答案：（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）見解析.【分析】（1）利用導數求函數的單調性即可；（2）對求導，得，因為，所以，令，求導得在上單調遞增，，使得，進而得在上單調遞增，在上單調遞減；所以，令，求導得在上單調遞增，進而求得m的范圍.【詳解】（1）因，所以，當時，；當時，，故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）當時，，則，當時，，令，則，所以在上單調遞增，因為，，所以存在，使得，即，即.故當時，，此時；當時，，此時.即在上單調遞增，在上單調遞減.則.令，，則.所以在上單調遞增，所以，.故成立.20.在平面直角坐標系中，橢圓的中心為坐標原點，左焦點為，為橢圓的上頂點，且.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）已知直線：與橢圓交于，兩點，直線：（）與橢圓交于，兩點，且，如圖所示.(1)證明：；(2)求四邊形ABCD的面積S的最大值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）2設橢圓G的標準方程為(a＞b＞0)．

因為F1（-1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．所以，橢圓G的標準方程為（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

（ⅰ）證明：由消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2-2=0．

則△=8(2k2-+1)＞0，所以|AB|==

===2.同理|CD|=2

因為|AB|=|CD|，所以2=2．

因為m1≠m2，所以m1+m2=0．

（ⅱ）解：由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，設兩平行線AB，CD間的距離為d，則d=．因為m1+m2=0，所以d=,所以S=|AB|?d=2=4≤4.（或S=4=4≤2）所以當2k2+1=2時，四邊形ABCD的面積S取得最大值為2略21.（本題滿分12分）中國男子籃球職業聯賽總決賽采用七場四勝制(即先勝四場者獲勝)．進入總決賽的甲乙兩隊中，若每一場比賽甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為，假設每場比賽的結果互相獨立．現已賽完兩場，乙隊以暫時領先．（Ⅰ）求甲隊獲得這次比賽勝利的概率；（Ⅱ）設比賽結束時兩隊比賽的場數為隨機變量，求隨機變量的分布列和數學期望．參考答案：（1）112/243（Ⅱ）的概率分布為：22.已知函數.（I）討論函數的單調性；（Ⅱ）當m=1時，若方程在區間上有唯一的實數解，求實數a的取值范圍；

（III）當m＞0時，若對于區間[1，2]上的任意兩個實數x1，x2，且x1＜x2，都有成立，求實數m的最大值．參考答案：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=x+m+=，m≥0時，f′（x）＞0，故m≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增；m＜0時，方程x2+mx+m=0的判別式為：△=m2-4m＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故m＜0時，f（x）在（，+∞）遞增，在（0，）遞減；（Ⅱ）m=1時，由題意得：x2+x+lnx=x2+ax，整理得：a=1+，令g（x）=1+，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函數g（x）在（0，e）遞增，令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函數g（x）在（e，+∞）遞減；若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一實數根，須求g（x）在[e，+∞）上的取值范圍，g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e），∴a的范圍是g（）≤a≤1，即1-e≤a≤1；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當m＞0時，函數f