學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精突破點(diǎn)6古典概型與幾何概型[核心知識(shí)提煉］提煉1古典概型問(wèn)題的求解技巧(1）直接列舉：涉及一些常見(jiàn)的古典概型問(wèn)題時(shí),往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來(lái),然后進(jìn)行求解．(2)畫(huà)樹(shù)狀圖：涉及一些特殊古典概型問(wèn)題時(shí),直接列舉容易出錯(cuò)，通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖,列舉過(guò)程更具有直觀性、條理性，使列舉結(jié)果不重、不漏．(3)逆向思維:對(duì)于較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而可得所求事件的概率．(4）活用對(duì)稱：對(duì)于一些具有一定對(duì)稱性的古典概型問(wèn)題，通過(guò)列舉基本事件個(gè)數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來(lái)處理反而比較復(fù)雜，利用對(duì)稱思維，可以快速解決。提煉2幾何度量法求解幾何概型準(zhǔn)確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關(guān)鍵，常見(jiàn)的幾何度量涉及的測(cè)度主要包括長(zhǎng)度、面積、體積、角度等。提煉3求概率的兩種常用方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．（2)若一個(gè)較復(fù)雜的事件的對(duì)立面的分類較少，可考慮利用對(duì)立事件的概率公式,即“正難則反”．它常用來(lái)求“至少"或“至多"型事件的概率．［高考真題回訪]回訪1古典概型1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ）從分別寫有1，2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(）A。eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C.eq\f（3,10） D．eq\f（2,5）D［從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10，25）＝eq\f（2，5）。故選D。］2．（2016·全國(guó)卷Ⅰ）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1，2)C.eq\f(2,3) D。eq\f(5,6)C[從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫-白黃、黃白-紅紫、黃紫—紅白、白紫-紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白-黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝eq\f（4，6)＝eq\f(2,3)，故選C.]3.（2014·全國(guó)卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為_(kāi)_______．eq\f（2，3)[兩本不同的數(shù)學(xué)書(shū)用a1,a2表示，語(yǔ)文書(shū)用b表示，則Ω＝{（a1,a2,b),（a1,b,a2)，（a2，a1，b)，（a2，b,a1)，（b，a1，a2)，(b,a2,a1）}．于是兩本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的情況有4種，故所求概率為eq\f（4，6）＝eq\f（2,3）。]回訪2幾何概型4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ）如圖6-1，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（)圖6。1A。eq\f(1,4） B。eq\f（π,8)C。eq\f（1,2) D.eq\f（π，4）B［不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1,可得S正方形＝4。由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱,得S黑＝S白＝eq\f(1，2）S圓＝eq\f（π，2)，所以由幾何概型知所求概率P＝eq\f(S黑，S正方形）＝eq\f（\f（π,2)，2×2)＝eq\f（π，8).故選B。］5．（2016·全國(guó)卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A。eq\f(7,10） B。eq\f(5,8）C。eq\f（3,8） D。eq\f(3,10)B［如圖,若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來(lái)到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長(zhǎng)度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f（40－15,40)＝eq\f(5,8），故選B。］熱點(diǎn)題型1古典概型題型分析:古典概型是高考考查概率的核心，問(wèn)題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件,難度較小．【例1】（1)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)白球與2個(gè)黑球，先從袋中任意取出一個(gè)球，取出后不放回，然后從袋中任意取出一個(gè)球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為（)A。eq\f（3，5) B．eq\f(3，10）C.eq\f(1，2） D。eq\f(6，25）（2）已知M＝{1,2，3，4｝，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是(）A。eq\f（9,16) B.eq\f（7,16）C.eq\f(4,16) D.eq\f(3,16)(1)B（2)A［(1)設(shè)3個(gè)白球分別為a1,a2,a3,2個(gè)黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個(gè)球的所有可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1,a3),(a1，b1），（a1，b2),(a2，a3），(a2，b1)，（a2,b2)，(a3，b1）,(a3,b2）,（b1，b2)，（a2，a1），（a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1）,（a3，a2），（b1,a2)，(b2，a2）,（b1，a3），（b2,a3)，(b2,b1），共20種．其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1）,(a1，b2)，(a2，b1),（a2，b2），(a3，b1),（a3，b2）,共6種，故所求概率為eq\f(6，20)＝eq\f（3,10)。故選B.(2）記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)"．因?yàn)閒(x)＝ax3＋bx2＋x－3,所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1。因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上為增函數(shù),所以f′(x）≥0在R上恒成立．又a〉0,所以Δ＝(2b）2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立,即a≥eq\f（b2,3）.所以當(dāng)b＝1時(shí)，有a≥eq\f(1,3），故a可取1,2,3,4，共4個(gè)數(shù);當(dāng)b＝2時(shí),有a≥eq\f(4,3），故a可取2，3，4，共3個(gè)數(shù)；當(dāng)b＝3時(shí)，有a≥3，故a可取3，4，共2個(gè)數(shù);當(dāng)b＝4時(shí)，有a≥eq\f（16,3),故a無(wú)可取值．綜上,事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種）．又a，b∈{1,2,3，4｝，所以(a,b）共有4×4＝16（種）．故所求事件A的概率為P(A)＝eq\f(9，16).故選A。］［方法指津]利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn)1．關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)．2．注意點(diǎn)：（1）對(duì)于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時(shí)要正確分類,分類時(shí)應(yīng)不重不漏．（2）當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮求其對(duì)立事件的概率．[變式訓(xùn)練1］（2017·南京二模）某校有三個(gè)興趣小組，甲、乙兩名學(xué)生每人選擇其中一個(gè)參加,且每人參加每個(gè)興趣小組的可能性相同，則甲、乙不在同一個(gè)興趣小組的概率為_(kāi)_______．eq\f(2,3)[設(shè)三個(gè)興趣小組分別為a，b，c，則甲、乙兩名學(xué)生選擇興趣小組的可能結(jié)果有(a，a)，（a，b),（a，c），(b，a)，（b，b)，（b，c），（c，a），（c，b)，(c，c），共9種．其中甲、乙不在同一個(gè)興趣小組的結(jié)果有6種，故所求概率為P＝eq\f（6，9)＝eq\f（2，3).］熱點(diǎn)題型2幾何概型題型分析：高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型．求解幾何概型的關(guān)鍵是計(jì)算線段的長(zhǎng)度、平面圖形的面積等，難度較小．【例2】（1)(2017·廣州二模）在區(qū)間［－1，5］上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則方程x2－2ax＋4aA。eq\f（2,3） B.eq\f（1,2)C.eq\f(3，8） D。eq\f（1，3）(2）某校早上8：00開(kāi)始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024068】（1）C（2)eq\f(9，32)[（1）因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4a－3＝0有兩個(gè)正根，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2a＞0，，4a－3＞0，,4a2－44a－3≥0,））解得eq\f(3,4）＜a≤1或a≥3，所以所求概率P＝eq\f（1－\f(3，4)＋5－3,5－－1)＝eq\f（3，8），故選C.（2）設(shè)小張和小王到校的時(shí)間分別為x和y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（30≤x≤50，,30≤y≤50，,y－x≥5,))則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示．故所求概率P＝eq\f(\f（1，2）×15×15，20×20)＝eq\f（9，32）.］[方法指津]判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法1．當(dāng)題干涉及兩個(gè)變量問(wèn)題時(shí)，一般與面積有關(guān)．2．當(dāng)題干涉及一個(gè)變量問(wèn)題時(shí)，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域:若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長(zhǎng)度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)．提醒：數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問(wèn)題的常用方法，求解時(shí),畫(huà)圖務(wù)必準(zhǔn)確、直觀．[變式訓(xùn)練2］如圖6.2,圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝eq\f（π,3），若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn),則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為()圖6。2A．100 B．200C．400 D．450C[如圖，設(shè)OA與圓C相切于點(diǎn)D，連接OC，CD，∠AOB＝eq\f(π，3），則∠COD＝eq\f(π，6），設(shè)圓C的半徑為1,可得