廣東省珠海市橫山中學2022-2023學年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，則sinB=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】余弦定理．【分析】利用余弦定理，結(jié)合條件，兩邊除以ac，求出cosB，即可求出sinB的值．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2accosB=ac，即cosB=，∴sinB==，故選：C．【點評】此題考查了余弦定理，考查學生的計算能力，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．2.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量不大于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85]g范圍內(nèi)的概率是()A．0.62

B．0.38

C．0.02

D．0.68參考答案：C略3.下列命題錯誤的是(

)A.命題“若則方程有實根”的逆否命題為：“若方程無實根則”

B.對于命題“使得”，則“均有”C.若為假命題，則均為假命題D.“”是

“”的充分不必要條件參考答案：C略4.在△ABC中，∠A=60°，，，則△ABC解的情況（） A．無解 B．有唯一解 C．有兩解 D．不能確定參考答案：B【考點】正弦定理． 【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值． 【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)解出sinB，再由∠B+∠C=180°﹣∠A=120°，得出B＜120°，所以∠B=30°，從而∠C=90°．由此可得滿足條件的△ABC有且只有一個． 【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，a=，b=， ∴根據(jù)正弦定理，得sinB===， ∵∠A=60°，得∠B+∠C=120° ∴由sinB=，得∠B=30°，從而得到∠C=90° 因此，滿足條件的△ABC有且只有一個． 故選：B． 【點評】本題給出三角形ABC的兩條邊的一個角，求滿足條件的三角形個數(shù)．著重考查了利用正弦定理解三角形的知識，屬于基礎題． 5.有一段演繹推理是這樣的:“冪函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)；已知是冪函數(shù)；則在(0,+∞)上是增函數(shù)”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為（

）A.大前提錯誤

B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤

D.非以上錯誤參考答案：A當時，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，當時，冪函數(shù)在上是減函數(shù)，據(jù)此可知題中的大前提是錯誤的.

6.設a＞1，則log0.2a,

0.2a，

a0.2的大小關(guān)系是()A．0.2a＜log0.2a＜a0.2

B．log0.2a＜0.2a＜a0.2C．log0.2a＜a0.2＜0.2a

D．0.2a＜a0.2＜log0.2a參考答案：B7.若，則下列不等式成立的是A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用的單調(diào)性直接判斷即可。【詳解】因為在上遞增，又，所以成立。故選：C【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題。8.設有一個正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為4，用直徑等于1的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，硬幣下落后與網(wǎng)格線沒有公共點的概率為----------------------（

）A

B

C

D參考答案：C9.如圖，一個幾何體的三視圖是三個直角三角形，則該幾何體的最長的棱長等于（）A．2

B．3

C．3 D．9參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度、判斷出線面的位置關(guān)系，由圖判斷出幾何體的最長棱，由勾股定理求出即可．【解答】解：由三視圖知幾何體是一個三棱錐P﹣ABC，直觀圖如圖所示：PC⊥平面ABC，PC=1，且AB=BC=2，AB⊥BC，∴AC=，∴該幾何體的最長的棱是PA，且PA==3，故選：B．10.若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍（

）A．

B．

C．D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.各邊長為1的正四面體，內(nèi)切球表面積為，外接球體積為

．參考答案：【考點】球的體積和表面積．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】畫出圖形，確定兩個球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的比值，即可求棱長為1的正四面體的外接球體積、內(nèi)切球的表面積．【解答】解：設正四面體為PABC，兩球球心重合，設為O．設PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內(nèi)切球的高．設正四面體PABC底面面積為S．將球心O與四面體的4個頂點PABC全部連接，可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．每個正三棱錐體積V1=?S?r而正四面體PABC體積V2=?S?（R+r）根據(jù)前面的分析，4?V1=V2，所以，4??S?r=?S?（R+r），所以，R=3r，因為棱長為1，所以AD=，所以PD=，所以R=，r=所以棱長為1的正四面體的外接球體積為π?（）2=、內(nèi)切球的表面積為4π?（）2=，故答案為：，【點評】本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的表面積，找出兩個球的球心重合，半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計算能力．12.若實數(shù)a，b滿足2a+2b=1，則a+b的最大值是

．參考答案：﹣2【考點】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，從而可求a+b的最大值，注意等號成立的條件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，當且僅當，即a=b=﹣1時取等號，∴a=b=﹣1時，a+b取最大值﹣2．故答案為：﹣2．13.函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：略14.過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，M、N為準線l上兩點，AM⊥l，BN⊥l，M、N為垂足，C為線段AB中點，D為線段MN中點，CD交拋物線于點E，下列結(jié)論中正確的是

.（把你認為正確的序號都填上）①＋為定值②以AB為直徑的圓與l相切③以MN為直徑的圓與AB所在直線相切④以AF為直徑的圓與y軸相切⑤E為線段CD中點參考答案：①②③④⑤略15.在件產(chǎn)品中有件是次品，從中任意抽了件，至少有件是次品的抽法共有______________種（用數(shù)字作答）.參考答案：

解析：件次品，或件次品，16.(|x﹣1|+|x﹣3|)dx=

．參考答案：10【考點】定積分．【專題】計算題；導數(shù)的綜合應用．【分析】由和的積分等于積分的和展開，把被積函數(shù)去絕對值后進一步轉(zhuǎn)化為四個定積分求解．【解答】解：（|x﹣1|+|x﹣3|）dx=|x﹣1|dx+|x﹣3|dx=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx+（3﹣x）dx+（x﹣3）dx==10．故答案為：10．【點評】本題考查了定積分，關(guān)鍵是把被積函數(shù)去絕對值后注意積分區(qū)間的變化，是基礎題．17.若命題“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若，解不等式；（3）若，且在上的最小值為，求的值．參考答案：(1)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，為奇函數(shù)。…………4分（2），f(x)在R上單調(diào)遞減

…………6分不等式化為，解得

…………9分…………10分，由（1）可知為增函數(shù)令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2(t≥)

…………13分若m≥，當t＝m時，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2若m<，當t＝時，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去綜上可知m＝2

…………15分

略19.已知命題p：方程x2﹣2mx+7m﹣10=0無解，命題q：x∈（0，+∞），x2﹣mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命題，且￢（p∧q）也是真命題，求m的取值范圍．參考答案：【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】由p∨q是真命題，且￢（p∧q）也是真命題得：p與q為一真一假；分別求出命題p，q為真假時參數(shù)m的范圍，可得答案．【解答】解：當命題p為真時，有：△=（﹣2m）2﹣4（7m﹣10）＜0，解得：2＜m＜5；當命題q為真時，有：m≤=x+，對x∈（0，+∞）恒成立，即m≤（x+）min，而x∈（0，+∞）時，（x+）min=4，當x=2時取等號．即m≤4．由p∨q是真命題，且￢（p∧q）也是真命題得：p與q為一真一假；當p真q假時，，即4＜m＜5；當p假q真時，，即m≤2或m≥5，綜上，所求m的取值范圍是（﹣∞，2]∪（4，5）．20.（本小題12分）解不等式參考答案：解

原不等式可化為.

………..（6分）所以原不等式的解集為

………（12分）略21.已知定義在R上的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）用定義證明f（x）在R上是減函數(shù)；（3）已知不等式f（logm）+f（﹣1）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（﹣x）+f（x）=0恒成立，代入解析式利用指數(shù)的運算化簡，求出a的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明，即取值﹣作差﹣變形﹣判斷符號﹣下結(jié)論；（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為：f（logm）＞f（1），再由函數(shù)的單調(diào)性得logm＜1，利用對數(shù)的單調(diào)性對m進行分類討論，再求出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）由于f（x）是奇函數(shù)，則f（﹣x）+f（x）=0對于任意的x∈R都成立，即，則…可得﹣1+a?2x﹣2x+a=0，即（a﹣1）（2x+1）=0…因為2x＞0，則a﹣1=0，解得a=1…（2）設x1、x2∈R，且x1＜x2，則f（x2）﹣f（x1）=﹣==…，因為x1＜x2，所以，所以，，，從而f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）…所以f（x）在R上是減函數(shù)…（3）由f（logm）+f（﹣1）＞0可得：f（logm）＞﹣f（﹣1）…因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（logm）＞f（1），又因為f（x）在R上是減函數(shù)，所以logm＜1…①當m＞1時，不等式成立；②當0＜m＜1時，解得0＜m＜；綜上可得，0＜m＜，或m＞1…故m的取值范圍是（0，）∪（1，+∞）…【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，函數(shù)單調(diào)性定義的證明步驟：取值﹣作差﹣變形﹣判斷符號﹣下結(jié)論，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解不等式問題，屬于中檔題．22.（12分）已知某山區(qū)小學有100名四年級學生，將全體四年級學生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組，現(xiàn)要從中抽取10名學生，各組內(nèi)抽取的編號依次增加10進行系統(tǒng)抽樣．（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫出所有被抽出學生的號碼；（2）分別統(tǒng)計這10名學生的數(shù)學成績，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求這樣本的方差；（3）在（2）的條件下，從這10名學生中隨機抽取兩名，記ξ為成績大于75分的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．參考答案：（1）由題意，抽出號碼為22的組數(shù)為第3組.

……………1分因為2＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應該為02，抽出的10名學生的號碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.……………2分（2）這10名學生的平均成績?yōu)椋海健?81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，…………4分故樣本方差為：(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.………6分（3）的取